帶電粒子自主招生專題課程

1、【例3】 在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)o不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖7所示?，F(xiàn)加一個垂直于平面向內(nèi)、磁感強度為的勻強磁場，要求這些電子穿過磁場后都能平行于軸向正方向運動，求符合該條件磁場的最小面積。解析：電子在磁場中運動半徑是確定的，設(shè)磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運動軌道如圖所示，因為電子只能向第一象限平面內(nèi)發(fā)射，其中圓o1和圓o2為從圓點射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個圓。圓o2在軸上方的個圓弧odb就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點o為圓心，以r為半徑的圓弧o1omo2 。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場，故由幾何

2、知識知電子的飛出點必為每條可能軌跡的最高點。可證明，磁場下邊界為一段圓弧，只需將這些圓心連線（圖中虛線o1o2）向上平移一段長度為的距離即圖中的弧ocb就是這些圓的最高點的連線，即為磁場區(qū)域的下邊界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場區(qū)域面積：。 還可根據(jù)圓的知識求出磁場的下邊界。設(shè)某電子的速度v0與x軸夾角為，若離開磁場速度變?yōu)樗椒较驎r，其射出點也就是軌跡與磁場邊界的交點坐標(biāo)為（x，y），從圖10中看出，即（x0，y0），這是個圓方程，圓心在（0，r）處，圓的 圓弧部分即為磁場區(qū)域的下邊界。三空間軌跡問題【例4】 在三維直角坐標(biāo)中，沿+z方向有磁感強度為b的勻強磁場，沿z方向有電場強

3、度為e的勻強電場。在原點o有一質(zhì)量為m 、電量為q的粒子（不計重力）以正x方向、大小為v的初速度發(fā)射。試求粒子再過z軸的坐標(biāo)與時間。yzxbe【答案】z = ，t = 。（其中k = 1，2，3，）【例9】 如圖所示，oxyz坐標(biāo)系的y軸豎直向上，在坐標(biāo)系所在的空間存在勻強電場和勻強磁場，電場方向與x軸平行從y軸上的m點（0，h，0）無初速釋放一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的小球，它落在xz平面上的n（c，0，b）點（c0，b0）若撤去磁場則小球落在xy平面的p（l，0，0）點（l0）已知重力加速度為yxzom(0,h,0)n(c,0,b)p(l,0,0)（1）已知勻強磁場方向與某個坐標(biāo)軸平

4、行，試判斷其可能的具體方向；（2）求電場強度e的大小；（3）求小球落至n點時的速率v【解析】：磁場方向為x方向或y方向；（2）；（3）abcdso【例10】 如圖，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的半徑為r0。在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強度的大小為b。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場。一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫a的s點出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時間的運動之后恰好又回到出發(fā)點s，則兩電極之間的電壓u應(yīng)是多少？（不計重力，整個裝置在真空中）。 答案：u=

5、mv2/2q=qb2r20/2m【例11】 如圖所示，空間分布著如圖所示的勻強電場e（寬度為l）和勻強磁場b（兩部分磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強度大小相等，方向相反），一帶電粒子電量為q，質(zhì)量為m（不計重力），從a點由靜止釋放，經(jīng)電場加速后進入磁場穿過中間磁場進入右邊磁場后能按某一路徑而返回a點，重復(fù)前述過程。求中間磁場的寬度d和粒子的運動周期。答案：答案： 【例12】 如圖(甲)所示，x0的區(qū)域內(nèi)有圖(乙)所示大小不變、方向隨時間周期性變化的磁場，磁場方向垂直紙面向外時為正方向現(xiàn)有一個質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子，在時刻從坐標(biāo)原點o以速度v沿著與x軸正方向成750角射入粒子運動一段時間后到達p點，p

6、點的坐標(biāo)為(a，a)，此時粒子的速度方向與op延長線的夾角為粒子只受磁場力作用 (1)若為已知量，試求帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑r和周期的表達式， (2)說明粒子在op間運動的時間跟所加磁場變化周期t之間應(yīng)有什么樣關(guān)系才能使粒子完成上述運動；(3)若為未知量，那么所加磁場的變化周 期t，磁感應(yīng)強度的大小各應(yīng)滿足什么條件，才能使粒子完成上述運動?(寫出t、應(yīng)滿足條件的表達式) 答案.（1） （3） 【例13】 如圖所示，一個質(zhì)量為、電量為的正離子，從a點正對著圓心o以速度射入半徑為的絕緣圓筒中圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞兩次后仍從a點射出，求

7、正離子在磁場中運動的時間(設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電量損失，不計粒子的重力) 若碰n次從a射出又如何？aaabv0答案：【例14】 如圖，正方形勻強磁場區(qū)邊界長為a,由光滑絕緣壁圍成。質(zhì)量為m、電量為q的帶電粒子垂直于磁場方向和邊界，從下邊界中央的a孔射入磁場中，粒子碰撞時無能量損失，不計重力和碰撞時間，磁感應(yīng)強度的大小b，粒子在磁場中運動的半徑小于a。欲使粒子仍能從a孔中反向射出，粒子的入射速度應(yīng)為多少？在磁場中運動時間是多少？答案：（1） n0，1，2 n0，1，2（2）r， n0，1，2 n0，1，2【例15】 如圖所示，虛線ab右側(cè)是磁感應(yīng)強度為b的勻強磁場，左側(cè)是磁感應(yīng)強度為2

8、b的勻強磁場，磁場的方向垂直于圖中的紙面并指向紙面內(nèi)，現(xiàn)有一帶正電的粒子自圖中o處以初速度v0開始向右運動。從開始時刻到第10次通過ab線向右運動的時間內(nèi)，該粒子在ab方向的平均速度？abv00ov【解析】帶電粒子從o點出發(fā)，受到洛侖茲力作用，做圓周運動，經(jīng)過半個周期后，穿過ab邊界向左飛出，受到大小為原來二分之一的洛侖茲力作，做半徑為原來兩倍的圓周運動，同樣經(jīng)過半個周期，穿過ab邊界向右飛出，這樣周而復(fù)始地穿過ab邊界，形成了如圖所示似“舞龍”的完美對稱的運動軌跡。解析粒子在磁場中只受洛侖茲力得，粒子在ab右側(cè)做圓周運動，半徑，在ab邊左側(cè)做圓周運動，半徑。如圖所示，當(dāng)粒子第10次通過x軸的

9、位置和時間分別為【例16】 如圖所示，在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為b0三個點p、m、n均勻地分布在圓周上，有三對電壓相同、相距為d的平行金屬板，它們分別在這三點與圓相切，而且在相切處的極板上分別留有縫隙。一個質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子，從點q由靜止開始運動，經(jīng)過一段時間恰能回到點q（不計重力）。（1） 在圖上標(biāo)出各板的正負(fù)極，并分析平行金屬板間的電壓u與磁感應(yīng)強度的大小b應(yīng)滿足什么關(guān)系？（2） 粒子從點q出以發(fā)又回到點q，至少需要多長時間？pnmqpnmq思路帶電粒子在q點受到電場力作用，做勻加速運動，從n點飛入磁場，受到洛侖茲力作用，做圓周運動，經(jīng)過1/6周期

10、后，穿過p點，在電場力作用下，做減速運動，到極板時速度恰好為零。然后類似前面運動，從p點飛出后飛入m，雙從m點飛出后飛入n點，回到q點，這樣重復(fù)運動，形成如圖所示似“埃菲爾鐵塔”的完美對稱的運動軌跡。解析三對金屬板的正負(fù)極，如圖所示設(shè)粒子進入磁場時速度大小為v，運動半徑為r，根據(jù)動能定理，有：。m、n、p三點均勻地分布在圓周上，每一段圓弧對圓心角為120，由幾何知識可知：。根據(jù)牛頓第二定律，有：由上述三式，可得：（3） 粒子在磁場中作圓周運動的周期，經(jīng)過三段圓弧所用時間為：。設(shè)粒子從q點出發(fā)到達磁場所用時間t。則：得。粒子在三對平行金屬板間經(jīng)歷的時間為：所以粒子從q點出發(fā)又回到q點需要的時間為

11、：【例17】 如圖甲所示，兩塊互相平行，水平放置的金屬間存在相互垂直的勻強電場和勻強磁場。勻強磁場垂直紙面向里，兩板間的電壓u隨時間而變化，變化情況如圖乙所示，已知板長l=1.4m兩板間距為d=0.3m，當(dāng)t=o時有一個a粒子以速度從兩板中央飛入。問；1a粒子能否穿出金屬板？為什么？2若能穿過，需要多長時間？分析：這是一個恒定的磁場和一個斷續(xù)發(fā)生的電場共同作用于運動的帶電粒子問題，由于電場斷續(xù)存在，這樣就存在著兩個時間段：一是電場與磁場同時存在；二是只有磁場存在。在區(qū)分兩種情況，確定帶電粒子作何運動后，才能判斷帶電粒子能否穿出，若穿出，需要多少時間。解答：（1）先研究電場與磁場同時存在的情況：

12、在電場與磁場同時存在時，a粒子作勻速直線運動。再研究只存在磁場的情況，由于只受洛侖茲力，a粒子應(yīng)作勻速圓周運動，半徑大小為r，即得圓周運動的直徑：因而粒子作勻速圓運動時不會打到極板上，圓周運動的周期： 粒子作勻速圓周運動的周期恰好等于電壓變化的半周期。這就是說，在只有磁場存在的那個時間段，粒子作圓周運動，在時間段結(jié)束的時刻，粒子回到原處，且速度大小和方向沒有變化。根據(jù)上述計算和分析可得；粒子的運動軌跡如圖所示。（2）綜上所述，粒子作勻速圓周運動時并不前進，而勻速直線運動的時間與勻速圓周運動的時間相同，n次后粒子飛出了極板，設(shè)粒子作直線運動的時間為。因此，粒子飛出兩板間的時刻，正好處在粒子作直線

13、運動的時間段上，因此粒子是勻速直線飛出的。并且粒子在兩板間作了3次勻速圓周運動，故作勻速圓周運動的總時間為： 粒子穿過兩板間所用的總時間為： 說明：粒子經(jīng)過3次勻速直線運動，已經(jīng)前進了1.21m，距離右邊界還有0.2m，這個距離仍然比粒子作勻速圓周運動的半徑要大許多，所以，不會發(fā)生粒子在第3次作勻速圓周運動中穿出兩板間右邊界。選講：車輪線問題：【例18】 當(dāng)平行板電容器的負(fù)極板為一定波長的光所照射時，我們發(fā)現(xiàn)這個負(fù)極板上有電子從各個方向射出來，電子脫離負(fù)極板時速率很小，可以忽略不計。設(shè)電容器兩極板間的距離為 d，兩極板間的電勢差為u。求：要使這些電子到達不了正極板，應(yīng)該施加一個多大的與極板平行

14、的磁場？分析：根據(jù)題意可畫出題目示意圖，如圖所示。解這個題目，容易犯的錯誤就是在電子最靠近正極板的p點時，人們會錯誤認(rèn)為，在此點電子受到的電場力和磁場力相等，從而列出方程： 其實不然，因為在此點，帶電粒子作曲線運動，因此合力不為零。也有人認(rèn)為，電場力和磁場力的合力提供了電子作曲線運動的向心力，即，此式雖然未錯，但曲率半徑r未知，亦不可行。下面介紹一種簡單的做法。解：設(shè)電子到 p點時在方向的速度，根據(jù)動量定理可列出 （1）為作用在電子上的沿x方向的力的平均值；為從開始至到達p點所需時間，又因磁場力有做功，根據(jù)動能定理可列出在p點，即：（2）又x方向作用于電子的力只有磁場力。（3）聯(lián)立（1）、（2）、（3）式可求得：為 y方向的平均速度，是到達p點的時間，則所以 【例1