第一章誤差及誤差理論

1、誤差理論與測量平差誤差理論與測量平差主 編: 夏春林副 主 編: 錢建國、張恒憬參 編: 李偉東、文 曄編寫高校: 遼寧工程技術(shù)大學 吉林建筑大學 大連理工大學城市學院前 言為什么要學習誤差理論與測量平差這門課程為什么要學習誤差理論與測量平差這門課程? ?這門課程是測繪工程、攝影測量與遙感、地理信這門課程是測繪工程、攝影測量與遙感、地理信息系統(tǒng)等專業(yè)的一門專業(yè)理論基礎(chǔ)課。息系統(tǒng)等專業(yè)的一門專業(yè)理論基礎(chǔ)課。誤差理論與測量平差是測繪數(shù)據(jù)處理和成果質(zhì)量誤差理論與測量平差是測繪數(shù)據(jù)處理和成果質(zhì)量控制的理論基礎(chǔ)，在地理信息、遙感等領(lǐng)域有著越控制的理論基礎(chǔ)，在地理信息、遙感等領(lǐng)域有著越來越突出的地位。來越

2、突出的地位。誤差理論與測量平差的奠基人之一陶本藻教授曾誤差理論與測量平差的奠基人之一陶本藻教授曾說過說過“在測繪領(lǐng)域，還未發(fā)現(xiàn)不懂誤差理論與測量在測繪領(lǐng)域，還未發(fā)現(xiàn)不懂誤差理論與測量平差成為院士和大家的平差成為院士和大家的”。 在測量工作中，觀測的未知量一般是角度、距離在測量工作中，觀測的未知量一般是角度、距離和高差等。和高差等。 任何未知量，通常觀測值不會等于真值，因為觀任何未知量，通常觀測值不會等于真值，因為觀測中不可避免地存在誤差。測中不可避免地存在誤差。 測量平差就是以包含誤差的觀測數(shù)據(jù)為研究對象測量平差就是以包含誤差的觀測數(shù)據(jù)為研究對象，利用所含誤差的自身規(guī)律，采取一定的數(shù)學手，利用

3、所含誤差的自身規(guī)律，采取一定的數(shù)學手段消除或減弱其影響，從而得到未知量的最優(yōu)估段消除或減弱其影響，從而得到未知量的最優(yōu)估值值( (也稱為最或然值也稱為最或然值) )。 內(nèi)內(nèi) 容容 概概 要要 第一章第一章 觀測誤差與測量平差的任務觀測誤差與測量平差的任務 第二章第二章 條件平差條件平差 第三章第三章 間接平差間接平差 第四章第四章 平差綜合模型平差綜合模型 第五章第五章 誤差橢圓誤差橢圓 第六章第六章 統(tǒng)計假設(shè)檢驗在測量平差中的應用統(tǒng)計假設(shè)檢驗在測量平差中的應用 第七章第七章 近代平差概述近代平差概述第一章第一章 誤差與誤差理論誤差與誤差理論 1.1 1.1 觀測誤差與測量平差的任務觀測誤差與

4、測量平差的任務 1.2 1.2 偶然誤差的統(tǒng)計性質(zhì)偶然誤差的統(tǒng)計性質(zhì) 1.3 1.3 衡量精度的指標衡量精度的指標 1.4 1.4 協(xié)方差傳播率協(xié)方差傳播率 1.5 1.5 權(quán)與定權(quán)的常用方法權(quán)與定權(quán)的常用方法 1.6 1.6 協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播率協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播率 1.7 1.7 由真誤差計算中誤差及實際應用由真誤差計算中誤差及實際應用 1.8 1.8 系統(tǒng)誤差的傳播系統(tǒng)誤差的傳播 1.9 1.9 參數(shù)估計與最小二乘估計參數(shù)估計與最小二乘估計1.1.1 1.1.1 測量誤差來源測量誤差來源1.1.2 1.1.2 觀測誤差的分類觀測誤差的分類1.1.3 1.1.3 測量平差的任務測量平差的任

5、務1.1 觀測誤差與測量平差的任務學習的目的和要求學習的目的和要求: :n明確測量誤差產(chǎn)生的來源明確測量誤差產(chǎn)生的來源n掌握偶然誤差的定義、特性掌握偶然誤差的定義、特性n掌握系統(tǒng)誤差的定義、特性、消除或減弱的措施掌握系統(tǒng)誤差的定義、特性、消除或減弱的措施n粗差的定義、特性、消除的措施粗差的定義、特性、消除的措施學習的重點和難點：學習的重點和難點：誤差的分類；系統(tǒng)誤差消除減弱的措施；發(fā)現(xiàn)粗差誤差的分類；系統(tǒng)誤差消除減弱的措施；發(fā)現(xiàn)粗差的方法的方法1.1.1 測量誤差來源n 測量數(shù)據(jù)中為什么存在不可避免的誤差？n觀測條件包含： 測量儀器 觀測者 外界條件每種儀器總是具有一定限度的準確度感官的局限性

6、、工作水平、工作態(tài)度溫度、濕度、大氣折光、折射等觀測條件的好壞觀測條件的好壞 與與 觀測成果的質(zhì)量觀測成果的質(zhì)量密切相關(guān)。密切相關(guān)。 換言之換言之: : 1. 1.觀測條件好則觀測成果質(zhì)量高觀測條件好則觀測成果質(zhì)量高; ; 2.2.觀測條件差則觀測成果的質(zhì)量就差觀測條件差則觀測成果的質(zhì)量就差; ; 3. 3.相同觀測條件下觀測的成果質(zhì)量相同。相同觀測條件下觀測的成果質(zhì)量相同。1.1.2 觀測誤差的分類根據(jù)誤差對測量結(jié)果影響的性質(zhì)，可以分為根據(jù)誤差對測量結(jié)果影響的性質(zhì)，可以分為三類：三類：1.1.系統(tǒng)誤差（系統(tǒng)誤差（s s）2.2.偶然誤差（偶然誤差（）3.3.粗差（粗差（g g）可以表示為：可

7、以表示為：sg （1 1）系統(tǒng)誤差）系統(tǒng)誤差n概念：概念： 在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)，那么，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。變化，或者為某一常數(shù)，那么，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。n實例：實例：鋼尺的長度和標稱長度不一致時，而使所測的距離產(chǎn)生誤鋼尺的長度和標稱長度不一致時，而使所測的距離產(chǎn)生誤差；差；水準儀的視準軸與水準軸不平行造成的水準儀的視準軸與水準軸不平行造成的i i角影響等；角影響等；三角高程測量中三角高程測量中

8、, ,大氣折光造成的誤差從目前的研究成果大氣折光造成的誤差從目前的研究成果來看來看, ,也將其視為系統(tǒng)誤差；也將其視為系統(tǒng)誤差；GPSGPS接收機的時鐘誤差。最初的接收機的時鐘誤差。最初的GPSGPS偽距定位方程中并沒有偽距定位方程中并沒有接收機鐘差改正數(shù)。接收機鐘差改正數(shù)。n系統(tǒng)誤差消除或減弱的方法：系統(tǒng)誤差消除或減弱的方法：u在觀測方法和觀測程序上采取必要的措施，限制在觀測方法和觀測程序上采取必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響；或削弱系統(tǒng)誤差的影響；u在平差計算前進行必要的預處理，即利用已有公在平差計算前進行必要的預處理，即利用已有公式對觀測值進行系統(tǒng)誤差改正；式對觀測值進行系統(tǒng)誤差改正

9、；u將系統(tǒng)誤差當作未知參數(shù)納入平差函數(shù)模型中，將系統(tǒng)誤差當作未知參數(shù)納入平差函數(shù)模型中，一并解算。一并解算。（2） 偶然誤差n概念：概念： 在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。n實例：實例：經(jīng)緯儀測角誤差是安平、照準、讀數(shù)、外界條件變化等經(jīng)緯儀測角誤差是安平、照準

10、、讀數(shù)、外界條件變化等所引起的誤差的綜合。而其中每一項誤差都很小，沒有那一所引起的誤差的綜合。而其中每一項誤差都很小，沒有那一項占主導地位，誤差的大小和符號具有隨機性。項占主導地位，誤差的大小和符號具有隨機性。n偶然誤差是無法使用消除系統(tǒng)誤差的方法來消除的。偶然誤差是無法使用消除系統(tǒng)誤差的方法來消除的。n測量平差研究的主要對象：測量平差研究的主要對象： 偶然誤差，即總是假定含粗差的觀測偶然誤差，即總是假定含粗差的觀測值已被剔除，含系統(tǒng)誤差的觀測值已經(jīng)過適值已被剔除，含系統(tǒng)誤差的觀測值已經(jīng)過適當改正。當改正。n因此，在觀測誤差中，僅含偶然誤差或是偶因此，在觀測誤差中，僅含偶然誤差或是偶然誤差占主

11、導地位。然誤差占主導地位。（3） 粗差n 概念：粗差就是粗大誤差，是觀測過程中的錯誤造成的。概念：粗差就是粗大誤差，是觀測過程中的錯誤造成的。n 產(chǎn)生原因：產(chǎn)生原因：主要由于測量人員的技術(shù)水平不高，工作態(tài)度不端正造主要由于測量人員的技術(shù)水平不高，工作態(tài)度不端正造成的，如：控制點起始數(shù)據(jù)輸入錯誤，數(shù)據(jù)記錯，讀錯等。成的，如：控制點起始數(shù)據(jù)輸入錯誤，數(shù)據(jù)記錯，讀錯等。n 發(fā)現(xiàn)、剔除粗差：發(fā)現(xiàn)、剔除粗差：在觀測中必須避免出現(xiàn)粗差：在觀測中必須避免出現(xiàn)粗差： 進行必要的重復觀測，即多余觀測；進行必要的重復觀測，即多余觀測； 采用必要而又嚴格的檢核、驗算方式；采用必要而又嚴格的檢核、驗算方式； 遵守國家

12、測繪管理機構(gòu)制定的各類測量規(guī)范和細則，遵守國家測繪管理機構(gòu)制定的各類測量規(guī)范和細則，一般也能起到防范粗差的作用。一般也能起到防范粗差的作用。1.1.3 測量平差的任務 第一項：對帶有偶然誤差的觀測值進行處第一項：對帶有偶然誤差的觀測值進行處理，消除觀測結(jié)果之間的不符值，得到觀理，消除觀測結(jié)果之間的不符值，得到觀測量的最可靠結(jié)果。測量的最可靠結(jié)果。通過數(shù)據(jù)處理求通過數(shù)據(jù)處理求未知量的最優(yōu)估值。未知量的最優(yōu)估值。 第二項：評定觀測值及其函數(shù)值的最可靠第二項：評定觀測值及其函數(shù)值的最可靠結(jié)果的精度，也就是考核測量成果的質(zhì)量結(jié)果的精度，也就是考核測量成果的質(zhì)量。評定最優(yōu)估值的精度。評定最優(yōu)估值的精度。

13、1.2 偶然誤差的統(tǒng)計性質(zhì) 概念：概念：n 真值真值: :任何一個被觀測量，客觀上總是存在著任何一個被觀測量，客觀上總是存在著一個能代表其真正大小的數(shù)值。這一數(shù)值就稱一個能代表其真正大小的數(shù)值。這一數(shù)值就稱為該觀測量的真值。習慣上用為該觀測量的真值。習慣上用 來表示。來表示。n 真誤差真誤差( (偶然誤差偶然誤差):):真值與觀測值之差真值與觀測值之差, ,記為記為: : 真誤差真誤差 = = 真值真值 觀測值觀測值LiiiL - L 用向量表示：若進行n次觀測，觀測值：L1, L2, ,Ln;可表示為：12,1nnLLLL12,1nnLLLL1122,1nnnLLLLLL L - L偶然誤差

14、的特性例1：在相同的條件下獨立觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，計算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進行統(tǒng)計列表如下:誤差區(qū)間-+個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.40

15、60.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495(K/n)/d00.4 0.6 0.8-0.8-0.6 -0.4閉合差概率密度函數(shù)用直方圖表示:當n時，概率密度函數(shù)曲線以正態(tài)分布為其極限例2：在相同的條件下獨立觀測了421個三角形的全部內(nèi)角，計算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進行統(tǒng)計,列表如下:誤差區(qū)間+個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410

16、.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.2002.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501與之前具有類似的相同分布特征概率密度函數(shù)誤差的概率分布曲線誤差的概率分布曲線 若將誤差區(qū)間的間隔無限縮小，就會出現(xiàn)若將誤差區(qū)間的間隔無限縮小，就會出現(xiàn)兩條光滑的曲線，稱為誤差的概率分布曲兩條光滑的曲線，稱為誤差

17、的概率分布曲線或誤差分布曲線，曲線所對應的函數(shù)則線或誤差分布曲線，曲線所對應的函數(shù)則被稱為概率密度函數(shù)。被稱為概率密度函數(shù)。通過數(shù)據(jù)總結(jié)出偶然誤差的規(guī)律性:在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)限值，或者說，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零。的概率為零。絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大。概率大。絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同。絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同。偶然誤差的數(shù)學期望為零，即：偶然誤差的數(shù)學期望為零，即： 換言之，偶然誤差的理論平均值為零。

18、換言之，偶然誤差的理論平均值為零。( )( ( )( )( )0EE E LLE LE L 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計知識，服從正態(tài)分布的隨機變根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計知識，服從正態(tài)分布的隨機變量的概率密度函數(shù)為：量的概率密度函數(shù)為：22()21( )e2xf xx 概率密度式為概率密度式為 ：2221( )e2f0對于偶然誤差對于偶然誤差而言：而言：正態(tài)分布曲線都具有兩個拐點正態(tài)分布曲線都具有兩個拐點 : : 偶然誤差，偶然誤差，拐點在橫軸上的坐標為拐點在橫軸上的坐標為: : =拐0 x拐1.3.1 1.3.1 方差、中誤差方差、中誤差1.3.2 1.3.2 極限誤差極限誤差1.3.3 1.3.3 相對誤差相對誤差1

19、.3.4 1.3.4 平均誤差平均誤差1.3.5 1.3.5 或然誤差或然誤差1.3.6 1.3.6 準確度、精確度準確度、精確度1.3 衡量精度的指標重點和難點:n衡量精度的各標準的定義及相互關(guān)系;學習目的和要求:n理解精度、準確度、精確度的定義；n掌握方差、均方差、中誤差、平均誤差、或然誤差等精度估計標準的定義其相互關(guān)系；n 離散度離散度: :是指誤差分布在一定的觀測條件下進行是指誤差分布在一定的觀測條件下進行的一組觀測，它對應著一種確定的誤差分布。的一組觀測，它對應著一種確定的誤差分布。如果分布較為密集，即離散度較小時，則表示如果分布較為密集，即離散度較小時，則表示該組觀測質(zhì)量較好，也就

20、是說，這一組觀測精度該組觀測質(zhì)量較好，也就是說，這一組觀測精度較高；反之，如果分布較為離散，即離散度較大較高；反之，如果分布較為離散，即離散度較大時，則表示該組觀測質(zhì)量較差，也就是說，這一時，則表示該組觀測質(zhì)量較差，也就是說，這一組觀測精度較低。組觀測精度較低。n 精度：就是指誤差分布的密集或離散的程度。是精度：就是指誤差分布的密集或離散的程度。是指觀測結(jié)果與其數(shù)學期望的接近程度，可從分布指觀測結(jié)果與其數(shù)學期望的接近程度，可從分布曲線的陡峭程度看出精度的高低。曲線的陡峭程度看出精度的高低?；靖拍睿簄 同精度觀測值同精度觀測值: :在相同的觀測條件下所進行的在相同的觀測條件下所進行的一組觀測，

21、由于他們對應著同一種誤差分布，一組觀測，由于他們對應著同一種誤差分布，對于這一組中的每一個觀測值，都稱為是同精對于這一組中的每一個觀測值，都稱為是同精度觀測值。度觀測值。1.3.1 1.3.1 方差和中誤差方差和中誤差 用 表示誤差分布的方差，誤差的概率密度函數(shù)為：由方差的定義： 由于在此主要包括偶然誤差部分，所以有：22221()2fe 222( )() ( ( )DEE ( )0E 222()()()DEfd方差為真誤差平方的數(shù)學期望，可以寫成：方差為真誤差平方的數(shù)學期望，可以寫成：limnn 2()E中誤差即為：中誤差即為：221limlimninninn 方差和中誤差的定義式，都是在理

22、想情況下定義的。方差和中誤差的定義式，都是在理想情況下定義的。方差和中誤差的估值方差和中誤差的估值 但在實際計算中，但在實際計算中，n n總是一個有限值，這意總是一個有限值，這意味著，由有限個真誤差只能求得方差和中味著，由有限個真誤差只能求得方差和中誤差的估值。誤差的估值。方差方差中誤差中誤差 n2n1.3.2 1.3.2 極限誤差極限誤差 由于也就是說偶然誤差的絕對值大于三倍中誤差的概也就是說偶然誤差的絕對值大于三倍中誤差的概率僅有率僅有0.3%0.3%，是小概率事件，在有限次的測量中，是小概率事件，在有限次的測量中可看做不可能事件。因此以三倍中誤差作為偶然可看做不可能事件。因此以三倍中誤差

23、作為偶然誤差的極限值，并稱為極限誤差。誤差的極限值，并稱為極限誤差。P(- + )68.3%P(-2 +2 )95.5%P(-3 +3 )99.7%32限或置信概率1.3.3 1.3.3 相對誤差相對誤差 問題：有兩段距離問題：有兩段距離S S1 1和和S S2 2，經(jīng)多次觀測得到觀測值及，經(jīng)多次觀測得到觀測值及其中誤差分別為其中誤差分別為300.00m300.00m2cm2cm和和600.00m600.00m2cm2cm，請，請問哪段距離測量的精度高？問哪段距離測量的精度高？對于某些觀測結(jié)果，有時單靠中誤差還不能完全表對于某些觀測結(jié)果，有時單靠中誤差還不能完全表達觀測結(jié)果的好壞。須采用另一種

24、辦法來衡量精度，達觀測結(jié)果的好壞。須采用另一種辦法來衡量精度，通常采用相對中誤差，它是中誤差與觀測值之比。通常采用相對中誤差，它是中誤差與觀測值之比。在測量中一般將分子化為在測量中一般將分子化為1 1。其意義可簡單理解為：每觀測其意義可簡單理解為：每觀測N N單位長度時產(chǎn)生單位長度時產(chǎn)生1 1單位長度的誤差。單位長度的誤差。 1kLN1.3.4 1.3.4 平均誤差平均誤差 在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數(shù)學期望稱為平均誤差。設(shè)以的數(shù)學期望稱為平均誤差。設(shè)以 表示平均誤差，則表示平均誤差，則有：有： 如果在相同條件下得到了一組獨立的觀

25、測誤差，平如果在相同條件下得到了一組獨立的觀測誤差，平均誤差為均誤差為 即平均誤差是一組獨立的偶然誤差絕對值的算術(shù)平即平均誤差是一組獨立的偶然誤差絕對值的算術(shù)平均值之極限值。均值之極限值。 ()()Efdlimnn 或然誤差的定義是：誤差出現(xiàn)在 之間概率等于1/2，即： 將的概率密度代入上式，作變量代換，令 ,則得： 由概率積分表查得，當概率為1/2時，積分限為0.6745，即得 1.3.5 1.3.5 或然誤差或然誤差 (,)1( )2fd ,tt ddt 22011( )222tfdedt 20.674531 / 2因此：中誤差、平均誤差和或然誤差都可以作為衡量精度中誤差、平均誤差和或然誤

26、差都可以作為衡量精度的指標，但由于的指標，但由于: :u當當n n不大時，中誤差比平均誤差更能靈敏地反映大不大時，中誤差比平均誤差更能靈敏地反映大誤差的影響；誤差的影響；u中誤差具有明確的幾何意義中誤差具有明確的幾何意義( (分布曲線的拐點坐標分布曲線的拐點坐標););u平均誤差和或然誤差都與中誤差存在理論關(guān)系；平均誤差和或然誤差都與中誤差存在理論關(guān)系；所以，世界上各國都采用中誤差作為衡量精度的指所以，世界上各國都采用中誤差作為衡量精度的指標，我國也統(tǒng)一采用中誤差作為衡量精度的指標。標，我國也統(tǒng)一采用中誤差作為衡量精度的指標。1.3.6 1.3.6 準確度、精確度準確度、精確度 前述：精度是指

27、誤差分布的密集或離散的程前述：精度是指誤差分布的密集或離散的程度，即各個觀測值與其數(shù)學期望的接近程度度，即各個觀測值與其數(shù)學期望的接近程度，所以精度是衡量觀測結(jié)果中偶然誤差大小，所以精度是衡量觀測結(jié)果中偶然誤差大小的指標。的指標。 但由于各種原因，觀測值中可能含有殘余的但由于各種原因，觀測值中可能含有殘余的系統(tǒng)誤差，這時就有必要引進準確度與精確系統(tǒng)誤差，這時就有必要引進準確度與精確度的概念。度的概念。 準確度準確度：描述系統(tǒng)誤差和粗差，指觀測值的真值與其數(shù)學：描述系統(tǒng)誤差和粗差，指觀測值的真值與其數(shù)學期望之差，即：期望之差，即：精確度精確度：描述偶然誤差、系統(tǒng)誤差和粗差的集成，指觀測：描述偶然

28、誤差、系統(tǒng)誤差和粗差的集成，指觀測結(jié)果與其真值的接近程度，包括觀測結(jié)果與其數(shù)學期望接結(jié)果與其真值的接近程度，包括觀測結(jié)果與其數(shù)學期望接近程度和數(shù)學期望與其真值的偏差，是一個全面衡量觀測近程度和數(shù)學期望與其真值的偏差，是一個全面衡量觀測質(zhì)量的指標。精確度可用觀測值的均方誤差來描述，即：質(zhì)量的指標。精確度可用觀測值的均方誤差來描述，即： 當當 ，即觀測值中不存在系統(tǒng)誤差和粗差時，亦，即觀測值中不存在系統(tǒng)誤差和粗差時，亦即觀測值中只存在偶然誤差時，均方誤差就等于方差，此即觀測值中只存在偶然誤差時，均方誤差就等于方差，此時精確度就是精度。時精確度就是精度。L- E(L)222LMSE(L)E(LL)(

29、E(L)L)E(L)L結(jié)合剛才講到的精度，準確度、精確度的概念結(jié)合剛才講到的精度，準確度、精確度的概念請說明三個打靶的質(zhì)量如何？請說明三個打靶的質(zhì)量如何？ 當觀測列中的系統(tǒng)誤差或其殘余與偶然誤差相比當觀測列中的系統(tǒng)誤差或其殘余與偶然誤差相比處于次要地位時，觀測值與偶然誤差便都可看成處于次要地位時，觀測值與偶然誤差便都可看成是隨機變量，那么需要是隨機變量，那么需要“次要次要”到什么程度呢？到什么程度呢？ 當含有的系統(tǒng)誤差為中誤差的當含有的系統(tǒng)誤差為中誤差的1/51/5： 當系統(tǒng)誤差為中誤差的當系統(tǒng)誤差為中誤差的1/3 1/3 ：22LMSE( )1.041.0225L22LMSE( )1.111

30、.059L系統(tǒng)誤差大小不超過偶然中誤差的系統(tǒng)誤差大小不超過偶然中誤差的1/31/3時，則可以時，則可以將系統(tǒng)誤差的影響忽略不計。將系統(tǒng)誤差的影響忽略不計。1.4 協(xié)方差傳播律1.4.1 1.4.1 協(xié)方差與協(xié)方差陣協(xié)方差與協(xié)方差陣1.4.2 1.4.2 觀測值線型函數(shù)的協(xié)方差誤觀測值線型函數(shù)的協(xié)方差誤差率差率1.4.3 1.4.3 觀測值非線性函數(shù)的協(xié)方差觀測值非線性函數(shù)的協(xié)方差誤差率誤差率1.4.4 1.4.4 協(xié)方差傳播律的應用協(xié)方差傳播律的應用1.4.1 1.4.1 協(xié)方差與協(xié)方差陣協(xié)方差與協(xié)方差陣 在測量數(shù)據(jù)處理中，觀測值分成兩種：在測量數(shù)據(jù)處理中，觀測值分成兩種： 直接觀測值；直接觀

31、測值； 間接觀測值；間接觀測值； 通過直接觀測值所構(gòu)成的函數(shù)計算得通過直接觀測值所構(gòu)成的函數(shù)計算得到到 一個平差問題，待求量的估值也總是可以一個平差問題，待求量的估值也總是可以利用觀測值的某種函數(shù)進行描述和表達。利用觀測值的某種函數(shù)進行描述和表達。觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值的中誤差觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值的中誤差 在三角高程測量中，在三角高程測量中，A A、C C兩點間的高差可以通過兩點間的高差可以通過以下公式求出，即以下公式求出，即tanhD觀測值的函數(shù)值由于觀測值誤差存在的原因，肯定也觀測值的函數(shù)值由于觀測值誤差存在的原因，肯定也是不可避免地存在誤差。是不可避免地存在誤差。闡述這種誤差傳

32、遞關(guān)系的公式稱為誤差傳播律闡述這種誤差傳遞關(guān)系的公式稱為誤差傳播律 ，也，也稱為協(xié)方差傳播律稱為協(xié)方差傳播律 。協(xié)方差協(xié)方差傳播律是闡述觀測值的函數(shù)的中誤差與觀測值的中誤差之間關(guān)系的公式。協(xié)方差是用數(shù)學期望來定義的。設(shè)有觀測值X和Y，它們的協(xié)方差定義是： 即:式中: 和 分別是X和Y的真誤差。()( )xyEXE XYE Y()xyxyE ()xE XX ( )yE YY協(xié)方差 由定義可知,協(xié)方差則是這兩種真誤差所有可能取值的乘積的理論平均值，即 實用上總n總是有限值，只能求得它的估值，記為:limxyxyyxnn xyxyn 0 xy觀測值誤差之間互不相關(guān)，稱不相關(guān)觀測值0 xy誤差之間相關(guān)

33、，稱相關(guān)觀測值對于正態(tài)分布的隨機變量而言，不相關(guān)與獨立是等價的，所以把不相關(guān)觀測值也稱為獨立觀測值。例：在測量工作中，直接觀測得到的高差、距離、角度、方向和三角高程測量求得的高差等，都認為是獨立觀測值。協(xié)方差陣 假定有假定有n n個不同精度的相關(guān)觀測值，它們的數(shù)學期望和個不同精度的相關(guān)觀測值，它們的數(shù)學期望和方差分別為方差分別為 和和 ，它們兩兩之間的協(xié)方差為，它們兩兩之間的協(xié)方差為 , ,用矩陣表示為用矩陣表示為: : 為觀測值向量的方差-協(xié)方差陣，簡稱為協(xié)方差陣。 ix2ixijx x12.TnXxxx12.()nTXxxxE X1121212212222()() nnnnnxx xx x

34、x xxx xTXXXXx xx xxDEXXXXD互協(xié)方差陣設(shè)有觀測值向量設(shè)有觀測值向量 和和 ，它們的數(shù)學期望分，它們的數(shù)學期望分別為別為 和和 。,1nX,1tY,1Xn,1Yt令：令： ；則；則 的方差陣為：的方差陣為：XZYZXXXYZZYXYYDDDDD111212122212ttnnntx yx yx yx yx xx yXYx yx yx yD()() TTXYXYYXDEXYD其中：其中：且：且：式中：式中： 和和 分別為分別為X X和和Y Y的協(xié)方差陣，的協(xié)方差陣， 是是X X關(guān)于關(guān)于Y Y的互協(xié)方差陣。的互協(xié)方差陣。XXDYYDXYD1.4.2.1 單個觀測值線性函數(shù)的協(xié)

35、方差 設(shè)有觀測值向量設(shè)有觀測值向量X X，其數(shù)學期望為，其數(shù)學期望為 ，協(xié)方差，協(xié)方差陣為陣為 , ,即即 式中： 為 的方差， 為 和 的協(xié)方差，又設(shè)有X的線性函數(shù)為：1.4.2 1.4.2 觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差傳播率觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差傳播率 XXXD2111112122222122212()(),(),()nnXXXnnnnnnXE XXE XXE XDXE X2iiXijiXjX11220nnZk Xk Xk Xk令：則：對上式兩邊取數(shù)學期望：對上式兩邊取數(shù)學期望： 則有： 000( )()()XE ZE KXkKE XkKk0000( )( )()()()()()()TZZTXX

36、TTXXTTXXTXXDEZE ZZE ZEKXkKkKXkKkE K XXKKEXXKKDK12.nKkkk01,11,11,1n nZK Xk純量形式為：純量形式為： 當向量觀測值中的各分量兩兩獨立時，它們當向量觀測值中的各分量兩兩獨立時，它們之間的協(xié)方差之間的協(xié)方差 ，此時上式為：，此時上式為： 222222211221 2121 3131111,2222ZZZnnnnnnnnDkkkkkkkkkk k0ij22222221122ZZZnnDkkk1.4.2.2 1.4.2.2 多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣 設(shè)有觀測值向量 ,X 的數(shù)學期望和協(xié)方差陣分別如下:

37、 ,1nXnXXXX21)()()(2121nXXXXXEXEXEn2222122121211nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXXXD若有X的t個線性函數(shù)Z：若令： 則：11 111 2211 022 112 2222 011220nnnnttttnntZkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXk 10111121221222200,1,1120nntt nttttnttkZkkkZkkkkZKKkkkZk0,1,1,1ttnntZKXK 即 00)()(KKKKXEZEx,( )( ) ()() ()() TZZt tTxxTTxxDE ZE ZZE ZE KXKKXKKEXXK,

38、TZZXXt nn tt tn nDK DK 設(shè)另有X 的m個線性函數(shù)Y：11111221102211222220m11220YYYrrrrmmmrrmf Xf Xf XffXfXfXffXfXfXf令則：10111121221222200,1,1120rrmmrmmmmrmmfYfffYffffYFFfffYf 0YFXF0000,()() ()() TZYxxTTxYTXXt nn mn nDE KXKKKFXFFFKE XYFK DF根據(jù)互協(xié)方差陣的定義有DZY：()( ) TZYDEZE ZYE Y同理:,TYZXXm nn tn nDF DK推廣公式：設(shè)有觀測值向量 和 的線性函數(shù)：

39、 已知X的方差陣DXX，Y的方差陣DYY ，X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣為DXY ,K,K0,F0 為常系數(shù)陣。則有如下方差和協(xié)方差計算公式： 0,1,1,10,r,1,1,1Wtt n ntm rmmZK XKF YFTZZXXTWWYYTZWXYTW ZYXDKDKDFDFDKDFDFDK,1nX,1rY設(shè)有觀測值 的非線性函數(shù)： ,或表示為:已知 的協(xié)方差陣 ，求Z的方差 。假定觀測值X有近似值： , 將函數(shù)式按泰勒級數(shù)在點 處展開為如下(略去二次以上項)： ,1nX()Zf X12(,)nZf XXXXXDZZD000012,1TnnXXXX00000012011022012(,) () ()

40、 () ()() ()nnnnfffZf X XXXXXXXXXXX,1nX12(,)nZf XXX0,1nX1.4.3 1.4.3 觀測值非線性函數(shù)的協(xié)方差傳播率觀測值非線性函數(shù)的協(xié)方差傳播率 令： 得： 這樣，就將非線性函數(shù)式化成了線性函數(shù)式，然這樣，就將非線性函數(shù)式化成了線性函數(shù)式，然后用線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律計算協(xié)方差后用線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律計算協(xié)方差, ,即即: :1200012()()()nnfffKkkkXXX00000121(,)nniiikf XXXk X112200nnZk Xk Xk XkKXkTZZXXDKDK如果令： 則上式可寫為 上式是非線性函數(shù)式的全微分。根據(jù)協(xié)

41、方差傳播律：結(jié)論:求非線性函數(shù)的方差，只需求它的全微分。012000012(1,2, )(),iiiTnndXXXindXdXdXdXdZZ ZZf XXX0102012()()()nnfffdZdXdXdXKdXXXXZZdzdzXXdxdxDDDDjiji,如果同時有X 的t個非線性函數(shù) 將t個函數(shù)求全微分得：1112221212(,)(,)(,)nnttnZfXXXZfXXXZfXXX 11110102012222201020120102012()()()()()()()()()nnnnttttnnfffdZdXdXdXXXXfffdZdXdXdXXXXfffdZdXdXdXXXX若記：

42、 則有：根據(jù)協(xié)方差傳播律得 的協(xié)方差陣： 因此，對于非線性函數(shù)，首先將其線性化，然后用線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律計算。線性化方法可用臺勞級數(shù)展開或求全微分。12,1ttZZZZ12,1ttdZdZdZdZ111000122220012,00012()()()()()()()()()nnt ntttnfffXXXfffXXXKfffXXX dZKdX,1tZTZZXXDKDK同樣地，若還有同樣地，若還有r r個非線性函數(shù)，即：個非線性函數(shù)，即：1112221212()()()nnrrnYFXXXYFXXXYFXXX ,應用誤差傳播律，同樣可得：應用誤差傳播律，同樣可得：TYYXXDFDF函數(shù)的互協(xié)方

43、差陣為：函數(shù)的互協(xié)方差陣為： TYZXXDFDK1)找出觀測值與其函數(shù)的函數(shù)表達式如：2)如果為非線性函數(shù)，則對函數(shù)式求全微分得： 3)寫成矩陣形式： 或 4)應用協(xié)方差傳播律求方差或協(xié)方差陣。總結(jié)：應用協(xié)方差傳播律的步驟 0102012()()()(1,2, )iiiinnfffdZdXdXdXitXXX0ZKXKdZKdXi12(,)inZf XXX1.4.4 1.4.4 協(xié)方差傳播律的應用協(xié)方差傳播律的應用 (1)(1)同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的精度同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的精度 設(shè)對某量以同精度獨立觀測了次，即得到個獨立設(shè)對某量以同精度獨立觀測了次，即得到個獨立觀測值，中誤差均

44、為，則個觀測值的算術(shù)平均值為觀測值，中誤差均為，則個觀測值的算術(shù)平均值為： 應用協(xié)方差傳播律，平均值的方差為：應用協(xié)方差傳播律，平均值的方差為： 則中誤差為：則中誤差為： 也就是說，個同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的中也就是說，個同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的中誤差等于各觀測值的中誤差的誤差等于各觀測值的中誤差的 倍。倍。1N1xN222222221111xNNNN1211111NiNixLLLLNNNN(2) (2) 水準測量高差中誤差水準測量高差中誤差 經(jīng)經(jīng)N N個測站測定個測站測定A A、B B兩水準點間的高差，其中第兩水準點間的高差，其中第i i站的觀測高站的觀測高差為差為hihi，則，

45、則A A、B B兩水準點間的總高差為兩水準點間的總高差為 設(shè)各測站觀測高差是精度相同的獨立觀測值，方差均為設(shè)各測站觀測高差是精度相同的獨立觀測值，方差均為 ， 的方差的方差 ： 得中誤差為：得中誤差為：AB12Nhhhh2站ABhAB2hAB22222hN站站站站ABhN=站 若水準路線布設(shè)在平坦地區(qū)，前、后兩測站間的距離若水準路線布設(shè)在平坦地區(qū)，前、后兩測站間的距離s s大致相大致相等，設(shè)等，設(shè)A A、B B 間的距離為間的距離為S S，則測站數(shù)，則測站數(shù) ，代入上式得：，代入上式得：SNsABhSs=站1kmS 如果如果 ，s s以以kmkm為單位，則為單位，則1km1km的測站數(shù)為：的測

46、站數(shù)為：而而1km1km觀測高差的中誤差即為：觀測高差的中誤差即為：km1Nskm1s站距離為距離為S S kmkm的的A A、B B兩點的觀測高差的中誤差為：兩點的觀測高差的中誤差為：ABkmhS= (3) (3) 若干獨立誤差的聯(lián)合影響若干獨立誤差的聯(lián)合影響 測量工作中經(jīng)常會遇到這種情況，一個觀測結(jié)果同時受到測量工作中經(jīng)常會遇到這種情況，一個觀測結(jié)果同時受到許多獨立誤差的聯(lián)合影響，如照準誤差、讀數(shù)誤差、目標許多獨立誤差的聯(lián)合影響，如照準誤差、讀數(shù)誤差、目標偏心誤差和儀器偏心誤差對測角的影響。偏心誤差和儀器偏心誤差對測角的影響。 在這種情況下，觀測結(jié)果的真誤差是各個獨立誤差的代數(shù)在這種情況下

47、，觀測結(jié)果的真誤差是各個獨立誤差的代數(shù)和，即：和，即： 由于這里的真誤差是相互獨立的，各種誤差的出現(xiàn)都是純由于這里的真誤差是相互獨立的，各種誤差的出現(xiàn)都是純屬偶然屬偶然( (隨機隨機) )的，因而也可由誤差傳播律并顧及得出它們的，因而也可由誤差傳播律并顧及得出它們之間的方差關(guān)系式，即：之間的方差關(guān)系式，即：12Zn222212Zn1.5 權(quán)與定權(quán)的常用方法n 方差是表示精度的一個絕對數(shù)字特征，一定的觀方差是表示精度的一個絕對數(shù)字特征，一定的觀測條件就對應著一定的誤差分布，而一定的誤差測條件就對應著一定的誤差分布，而一定的誤差分布就對應著一個確定的方差。分布就對應著一個確定的方差。n 表示各觀測

48、值方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征稱之表示各觀測值方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征稱之為權(quán)。權(quán)是表示精度的相對數(shù)字特征，在平差計為權(quán)。權(quán)是表示精度的相對數(shù)字特征，在平差計算中起著很重要的作用。算中起著很重要的作用。n 在平差計算之前，精度的絕對數(shù)字特征往往是不在平差計算之前，精度的絕對數(shù)字特征往往是不知道的，而精度的相對的數(shù)字特征（權(quán)）卻可以知道的，而精度的相對的數(shù)字特征（權(quán)）卻可以根據(jù)事先給定的條件予以確定，然后根據(jù)平差的根據(jù)事先給定的條件予以確定，然后根據(jù)平差的結(jié)果估算出表示精度的絕對的數(shù)字特征（方差）。結(jié)果估算出表示精度的絕對的數(shù)字特征（方差）。 1.5.1 1.5.1 權(quán)權(quán) 的的 定定 義義 設(shè)有

49、觀測值 ，它們的方差為 ，選定任一常數(shù) ，定義觀測值的權(quán)為：由權(quán)的定義可知：觀測值的權(quán)與其方差成反比。即方差愈小，其權(quán)愈大，或者說，精度愈高，其權(quán)愈大。用權(quán)來比較各觀測值之間的精度高低，不限于是對同一類的觀測值，同樣也適用于對不同類的觀測值。 12iL in ， ，0 202iip 2i 222212n111:1nppp 選定了一個值選定了一個值0 02 2，即有一組對應的權(quán)?；蛘哒f，有一組，即有一組對應的權(quán)?；蛘哒f，有一組權(quán)，必有一個對應的權(quán)，必有一個對應的0 02 2值。值。一組觀測值的權(quán)，其大小是隨一組觀測值的權(quán)，其大小是隨0 02 2的不同而異，但不論的不同而異，但不論0 02 2選用

50、何值，權(quán)之間的比例關(guān)系始終不變。選用何值，權(quán)之間的比例關(guān)系始終不變。為了使權(quán)能起到比較精度高低的作用，在同一問題中為了使權(quán)能起到比較精度高低的作用，在同一問題中0 02 2只能選定一個值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。只能選定一個值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。事先給出一定的條件，就可以確定出觀測值的權(quán)的數(shù)值。事先給出一定的條件，就可以確定出觀測值的權(quán)的數(shù)值。權(quán)是用來比較各觀測值相互之間精度高低的，權(quán)的意義不權(quán)是用來比較各觀測值相互之間精度高低的，權(quán)的意義不在于它們本身數(shù)值的大小，重要的是它們之間所存在的比例在于它們本身數(shù)值的大小，重要的是它們之間所存在的比例關(guān)系。關(guān)系。 權(quán)的性質(zhì)： 權(quán)的量

51、綱：u權(quán)等于權(quán)等于1 1的觀測值稱為單位權(quán)觀測值。的觀測值稱為單位權(quán)觀測值。u權(quán)等于權(quán)等于1 1的觀測值的方差稱為單位權(quán)方差。的觀測值的方差稱為單位權(quán)方差。u權(quán)等于權(quán)等于1 1的觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差。的觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差。u在確定一組同量綱的觀測值的權(quán)時，所選取的單位權(quán)方差的在確定一組同量綱的觀測值的權(quán)時，所選取的單位權(quán)方差的單位是與觀測值方差的單位相同，在這種情況下權(quán)是一組無單位是與觀測值方差的單位相同，在這種情況下權(quán)是一組無量綱的數(shù)值。量綱的數(shù)值。u在確定不同量綱的觀測值的權(quán)時，所選取的單位權(quán)方差的單在確定不同量綱的觀測值的權(quán)時，所選取的單位權(quán)方差的單位一般是與其中一

52、類觀測值方差的單位相同，在這種情況下，位一般是與其中一類觀測值方差的單位相同，在這種情況下，權(quán)就不完全是一組無量綱的數(shù)值。權(quán)就不完全是一組無量綱的數(shù)值。單位權(quán)中誤差：單位權(quán)中誤差： 1.5.2 1.5.2 權(quán)權(quán) 的的 定定 義義 1.5.3 1.5.3 測量上常用的定權(quán)方法測量上常用的定權(quán)方法 在測量實際工作中，往往是要根據(jù)事先給定的條在測量實際工作中，往往是要根據(jù)事先給定的條件，首先確定出各觀測值的權(quán)，也就是先確定它件，首先確定出各觀測值的權(quán)，也就是先確定它們精度的相對數(shù)字指標，然后通過平差計算：們精度的相對數(shù)字指標，然后通過平差計算：求出各觀測值的最可靠值，求出各觀測值的最可靠值，求出它們

53、精度的絕對數(shù)字指標。求出它們精度的絕對數(shù)字指標。 (1) 同精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán) 設(shè)有 ，它們分別是 次同精度觀測值 的平均值，若每次觀測的方差均為 ； 則 的方差為： 取 ，則 的權(quán)為： 12nL LL， ， ，12nNNN， ，2 iL22iiN 220C iL202iiiNpC iL特別地：(1)若 ，則 ，表明C是單次觀測的權(quán)倒數(shù)。(2) 若 ，則 ，表明C是單位權(quán)觀測值的觀測次數(shù)。 1iN 1iCp1ip iCN(2) (2) 水準測量的權(quán)水準測量的權(quán) 設(shè)每一測站觀測高差精度相同，中誤差均為，設(shè)通過架設(shè)個測站測得兩水準點間的高差h，根據(jù)協(xié)方差傳播律，得h 的方差為： 則中誤差為

54、： 水準網(wǎng)中的各條路線觀測高差的中誤差可寫為 ?。?,則權(quán)為：站22222hN站站站站hN站iiN站0C站iiCpN特別地：(1)若 ，則 ，表明C是一測站的觀測高差的權(quán) 。(2) 若 ，則 ，表明C是單位權(quán)觀測高差的測站數(shù)，或者說是以C個測站的觀測高差的中誤差作為單位權(quán)中誤差 。 1iN ipC1ip iNC 除了上述利用測站數(shù)除了上述利用測站數(shù) 進行定權(quán)的方法外，進行定權(quán)的方法外，還可以采用路線長度還可以采用路線長度 來定權(quán)。來定權(quán)。 若水準路線布設(shè)在平坦地區(qū)，測站間的距離若水準路線布設(shè)在平坦地區(qū)，測站間的距離 大致相等，每千米的測站數(shù)也大致相等，則每公大致相等，每千米的測站數(shù)也大致相等，

55、則每公里的觀測高差的中誤差里的觀測高差的中誤差 可看作是相等的，可看作是相等的，這種情況就可利用路線長度來定權(quán)。這種情況就可利用路線長度來定權(quán)。 各路線觀測高差的中誤差為各路線觀測高差的中誤差為: : 取：?。?權(quán)：權(quán)：iNiSskmkmiiSiiCpS0kmC特別地：(1)若 ，則 ，表明C是1km觀測高差的權(quán) 。(2) 若 ，則 ，表明C是單位權(quán)觀測高差的路線千米數(shù)，或者說是令C km觀測高差的權(quán)為1 。 1iS ipC1ip iSC 小結(jié) 在實際的水準測量工作中，定權(quán)方法最終應該是在實際的水準測量工作中，定權(quán)方法最終應該是選擇利用水準路線的距離選擇利用水準路線的距離S S定權(quán)，還是選擇利

56、用測定權(quán)，還是選擇利用測站數(shù)站數(shù)N N 定權(quán)，需根據(jù)實際問題具體分析而定。定權(quán)，需根據(jù)實際問題具體分析而定。 通常：通常： (1) (1) 在地形起伏不大、比較平坦的區(qū)域，每千米在地形起伏不大、比較平坦的區(qū)域，每千米的測站數(shù)的測站數(shù)N N 大致相同，就可根據(jù)水準路線的距離大致相同，就可根據(jù)水準路線的距離S S進行定權(quán)。進行定權(quán)。 (2) (2) 在地形起伏較大的區(qū)域，由于每千米的測站在地形起伏較大的區(qū)域，由于每千米的測站數(shù)相差會比較大，因此需按照測站數(shù)數(shù)相差會比較大，因此需按照測站數(shù)N N 進行定權(quán)進行定權(quán)。(3) (3) 丈量距離的權(quán)丈量距離的權(quán) 在丈量距離S 時，設(shè)用長度為的鋼尺丈量了n尺

57、段，則有： 可得： 取： 權(quán)： 12nSlllSiSl0iCliiCpS總 結(jié) 通過上述內(nèi)容，不難總結(jié)出以上定權(quán)方法的共同點都是： 在實際進行定權(quán)時，不用知道各觀測值方差的具體數(shù)值信息，只需應用測站數(shù)、千米數(shù)等信息就能夠定權(quán)了。 其重要意義在于可以避開平差前方差未知的情況，這已經(jīng)成為定權(quán)的常用方法。1.61.6 協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播率協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播率1.6.1 1.6.1 協(xié)因數(shù)、協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)、協(xié)因數(shù)陣1.6.21.6.2 權(quán)陣權(quán)陣1.6.21.6.2 協(xié)因數(shù)傳播率協(xié)因數(shù)傳播率1.6.1 協(xié)因數(shù)、協(xié)因數(shù)陣的概念 設(shè)有觀測值 和 ，它們的權(quán)分別為 和 ，它們的方差分別為 和 ，它們之間的協(xié)方

58、差為 ，單位權(quán)方差為 。 令 稱 為的 協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)， 為的 協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)， 為 關(guān)于 的協(xié)因數(shù)或相關(guān)權(quán)倒數(shù)。ipjp2jij20iLjL2222200011jijiiijjijijQ,Q,QppiLiiQjjQjLiLijQ協(xié)因數(shù)與權(quán)成反比，因此，也可作為衡量精度的相對指標。當=0，說明兩觀測值獨立（不相關(guān)）。ijQ2ijL 設(shè)有觀測值向量X和Y， 它們的方差陣分別為 和 ， 關(guān)于 的互協(xié)方差陣為 單位權(quán)方差為 令： 稱 為 的協(xié)因數(shù)陣， 為Y的協(xié)因數(shù)陣， 為X關(guān)于Y的互協(xié)因數(shù)陣。XXn,nDYYr,rDXYn,rD20222000111XXXXYYYYXYXYn,nr,rn,rQD,Q

59、D ,QDXXQYYQYXYQX協(xié)因數(shù)陣 中的主對角線元素就是各個 的權(quán)倒數(shù)，它的非主對角線元素是 關(guān)于 的相關(guān)權(quán)倒數(shù)； 中的元素就是 關(guān)于Yj的相關(guān)權(quán)倒數(shù)。 也稱為X的權(quán)逆陣， 為Y權(quán)逆陣， 為X關(guān)于Y的相關(guān)權(quán)逆陣。當 說明X與Y相互獨立（不相關(guān)）YYQXXQiXiXXXQiXXYQ0TXYYXQQjXXYQ11 211 11 212 1222 12 221212222200022222000022220001rrrrrnr rrrrYYYYYYYYYYYY YYY YY YY YY YYYYYY YY YY YY YY YYQQQQQQQQQ QD111211121221221222121

60、2222200022222000022220001nnnnnnnnnnnX XXX XX XX XX XX XX XXX XX XX XXXXXX XX XX XX XX XXQQQQQQQQQQD1 11 211 11 212 12 222 12 221212222200022222000022220001rrrrnnn rnnn rX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YXYXYX YX YX YX YX YX YQQQQQQQQQ QD1.6.2 權(quán)陣 一個觀測值的權(quán) 與其協(xié)因數(shù) 互為倒數(shù)關(guān)系 n維觀測向量 的權(quán)陣 權(quán)陣與其協(xié)方差陣的關(guān)系 ipiiQ11i