高數(shù)高等數(shù)學(xué)1.8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、11,uuu設(shè)設(shè)變變量量 從從初初值值, ,變變到到終終值值稱稱21uuu 0( )(),f xU x設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義0(),xU x0 xxx 0( )()yf xf x xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 0( )yf xx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果0000limlim()()0 xxyf xxf x 0(.)yf xx 稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)那那就就連連續(xù)續(xù)么么0,xxx 記記),()(0 xfxfy 00,xxx 0( )()0.f xf xy 0( )yf xx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)

2、有有定定義義，如如果果00lim( )()xxf xf x 0(.)yf xx 稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)那那就就連連續(xù)續(xù)么么00lim( )()xxf xf x 0( )f xx在在連連續(xù)續(xù)要要滿滿足足三三條條件件：00(1)( )()f xxf x在在有有定定義義，即即存存在在；0(2)lim( )xxf x極極限限存存在在；00(3)lim( )()xxf xf x 極極限限值值等等于于函函數(shù)數(shù)值值，即即. .000()lim( )()xxf xf xf x ；000()lim( )().xxf xf xf x 00lim( )()xxf xf x 000lim()()xf xxf x 0lim0 x

3、y 000()()()f xf xf x0, 0, 0 xxx 當(dāng)當(dāng)時時，有有0( )().f xf xy 0( )f xx函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)有有下下列列xyo0 xx)(xfy x y 連續(xù)區(qū)間連續(xù)區(qū)間( )yf x 在在整整個個區(qū)區(qū)間間都都連連續(xù)續(xù). . ,.C a b記記為為：xy)(xfy abo01( )nnP xaa xa x(,). 在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù) 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù)( )( )( )P xR xQ x 在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù).0()0,Q x 只只要要00lim( )()xxR xR x 都都有有00lim( )()xxP xP x

4、.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在所以函數(shù)所以函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx .),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy),( x任取任取xxxysin)sin( sin(,).yx 即即函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)sinsin2sincos222sincos()22xxx2 sincos()22xxyx212x x 0 x0cos(,).yx 在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)0,sinxxx.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù)

5、 xxxxxxf)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxfsinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22 0( )yf xx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在的的某某去去心心的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，0( )yf xx 下下列列情情形形之之一一，在在不不連連續(xù)續(xù)：0(1)( )f xx在在無無定定義義；00(2)( )lim( )xxf xxf x在在有有定定義義，但但不不存存在在

6、；00(3)( )lim( )xxf xxf x在在有有定定義義，且且存存在在，但但是是00lim( )()xxf xf x 0( )xf x這這樣樣的的稱稱為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .00()()f xf x及及均均存存在在，00()(),f xf x 若若00()(),f xf x 若若00()()f xf x及及至至少少有有一一個個不不存存在在，若其中有一個為振蕩若其中有一個為振蕩, 若若其其中中一一個個為為0 x稱稱為為 .0 x稱稱為為0 x稱稱為為0 x稱稱為為21(1)1xyx 1xyo1.x 為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)211lim1xxx 1x 無無定定義義，是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .2

7、，1lim1xx（）求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的的定義的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).12,xy 補(bǔ)補(bǔ)時時，充充：定定義義1.x 該該函函數(shù)數(shù)在在處處連連續(xù)續(xù)2(2)tanyx .2x 為為無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)xyotanyx 2 2x 無無定定義義，是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .2limtanxx ，1(3)sinyx xyo0.x 為為振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0,x 在在處處沒沒有有定定義義01limsinxx不不存存在在，011x 時時，函函數(shù)數(shù)值值在在與與 之之間間變變動動無無限限次次，12,1(4

8、)( ),1xxyf xx 1lim( )xf x xyo1121.x 為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)1,0(5)( )0,01,0 xxyf xxxx 00lim( )lim(1)1,xxf xx 00lim( )lim(1)1,xxf xx0.x 為為跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)xyo11 1lim1(1)xxf可去型可去型oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型oyx0 xoyx0 xoyx0 x221( ).23xf xxx 求求的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)221(1)(1)23(1)(3)xxxxxxx ，13.xx ，時時無無定定義義是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)321lim221 xxxx111lim32xxx ，1

9、.x 是是可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)2231lim23xxxx ，3.x 是是無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)221sin,0( )0.,0 xxaf xxxaxx 當(dāng)當(dāng) 為為何何值值時時，在在連連續(xù)續(xù)(0),fa 又又2001lim( )limsinxxf xxx , 1 200lim( )lim()xxf xax,a 00lim( )lim( )(0)xxf xf xf1a 當(dāng)當(dāng)時時，1( )0.af xx故故當(dāng)當(dāng)時時，在在處處連連續(xù)續(xù)(1) 函數(shù)無定義的點(diǎn)一定是間斷點(diǎn)、分段函數(shù)的函數(shù)無定義的點(diǎn)一定是間斷點(diǎn)、分段函數(shù)的分界點(diǎn)可能是間斷點(diǎn)；分界點(diǎn)可能是間斷點(diǎn)；(2) 判別間斷點(diǎn)的類型主要方法是討論極限、判別間斷點(diǎn)的類型主要方法是討論極限、左、右極限左、右極限.小結(jié)小結(jié)00lim( )()xxf xf x 000lim ()()0 xf xxf x 000()()()f xf xf x02.( )f xx函函數(shù)數(shù)在在 間間斷斷的的類類型型01.( )f xx在在連連續(xù)