多自由度水平地震作用課件

1、土木工程專業(yè)本科專業(yè)課土木工程專業(yè)本科專業(yè)課 第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理工程結(jié)構(gòu)抗震原理2/322第一章 工程抗震基礎(chǔ)知識(shí)第二章 場(chǎng)地與地基基礎(chǔ)抗震原理第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理第六章 橋梁結(jié)構(gòu)抗震原理第七章 工程結(jié)構(gòu)減震控制原理第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理1 概述2 單自由度體系地震反應(yīng)分析3 單自由度體系水平地震作用4 4 多自由度體系地震反應(yīng)分析多自由度體系地震反應(yīng)分析5 地震分析振型分解反應(yīng)譜法6 水平地震作用的底部剪力法7 考慮扭轉(zhuǎn)的水平地震作用8 結(jié)構(gòu)豎向地震作用9 建筑結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算10 結(jié)構(gòu)自振周期和頻率的實(shí)用計(jì)算方法11

2、 工程結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的時(shí)程分析方法12 地基與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用效應(yīng)第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理4.1 4.1 動(dòng)力方程的建立動(dòng)力方程的建立v實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是沿結(jié)構(gòu)幾何形狀連續(xù)分布的，因此，嚴(yán)格地說，其動(dòng)力自由度應(yīng)該是無限的。v但是，采用無限自由度模型，一方面計(jì)算過于復(fù)雜；另一方面也沒這種必要，因?yàn)?，選用有限多自由度模型的計(jì)算結(jié)果已能充分滿足一般工程設(shè)計(jì)的精度要求。v因此，在研究和應(yīng)用中，一般通過結(jié)構(gòu)的離散化方法，將無限自由度體系轉(zhuǎn)化為有限自由度體系。第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論可知，結(jié)構(gòu)離散化的基本方法有廣義坐標(biāo)法、有限元法和集中質(zhì)量法

3、。v集中質(zhì)量法是最早提出、也是最簡(jiǎn)單的方法。這一方法人為地將質(zhì)量集中于一些點(diǎn)處，與之相對(duì)應(yīng)，結(jié)構(gòu)的剛度特性、阻尼特性、荷載特征則被集中于質(zhì)量的平移自由度方向。v集中質(zhì)量法所帶來的計(jì)算便利是顯而易見的，但是，對(duì)于動(dòng)力問題，不適當(dāng)?shù)丶匈|(zhì)量也可能導(dǎo)致較大的計(jì)算誤差。v因此，對(duì)集中質(zhì)量法應(yīng)附加動(dòng)能等效原則，即集中前后體系的動(dòng)能不發(fā)生顯著變化。第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v定義影響系數(shù)ij是由j坐標(biāo)單位物理量在i坐標(biāo)方向上引起的力，其具體含義可以是剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、質(zhì)量等。v對(duì)于一般多自由度體系，假定任意時(shí)刻t，j坐標(biāo)方向的位移（相對(duì)于

4、平衡位置）為uj，相應(yīng)的速度、加速度分別為 、 。v則在此時(shí)刻，所有j坐標(biāo)處的物理量（包括i坐標(biāo)處）與相應(yīng)于坐標(biāo)i處的影響系數(shù)乘積之和即為i坐標(biāo)方向所受到的力，即：ju ju 第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理慣性力： 其中mij質(zhì)量，對(duì)于集 中質(zhì)量法，ij時(shí)mij=0；恢復(fù)力： kij剛度系數(shù)； n動(dòng)力自由度數(shù);阻尼力: cij阻尼系數(shù)。v根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，上述各力之和即等于i坐標(biāo)處作用的外力pi(t)，即：8/180jnjijIiumf 11nsiijjjfk ujnjijIiumf 1), 2 , 1()(1nipukucumijijjijjijnj 第三章第三章 建筑建筑結(jié)

5、構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v全部n個(gè)坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程可用矩陣形式表示為式中， M、C和K分別為結(jié)構(gòu)離散體系的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，對(duì)于集中質(zhì)量法，M為對(duì)角矩陣； uj、 和 分別為結(jié)構(gòu)離散體系的位移向量、速度向量和加速度向量； P動(dòng)外力向量。PukucuM ju ju 第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v圖示多自由度彈性體系在水平地震運(yùn)動(dòng)作用下的變形情況。v這時(shí)，體系上并無動(dòng)外力p(t)作用，僅有地震引起的地面運(yùn)動(dòng) 。v此時(shí)，i質(zhì)點(diǎn)的慣性力為：)(giiIixumf )(txg 第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v注意到彈性力和阻尼力僅與相對(duì)位移和相對(duì)速度有關(guān)，因此，

6、由達(dá)朗貝爾原理可得水平地震運(yùn)動(dòng)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為：v寫成矩陣形式為：式中，I慣性力指示向量，), 2 , 1(0)(1niuuucxumjijjijgiinj gxIMuKuCuM TI,1,1,1第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理4.2 4.2 地震反應(yīng)分析的振型疊加法地震反應(yīng)分析的振型疊加法1. 1. 振型與自振頻率振型與自振頻率v求解彈性體系的自振頻率和振型稱為自振特性分析。v由于體系的固有頻率和相應(yīng)的振型都僅取決于體系自身的性質(zhì)，而與時(shí)間無關(guān)，所以從廣義的觀點(diǎn)，自振特性分析的基本手段是變量分離法，即把時(shí)間因素與結(jié)構(gòu)位置因素分離后，利用特征方程具有非零解的充分必要條件求取自振

7、頻率及相應(yīng)的振型。第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v無阻尼多自由度彈性體系的自由振動(dòng)方程為：v設(shè)結(jié)構(gòu)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其位移反應(yīng)為：式中，自振頻率；初始相位角; ?僅與位置坐標(biāo)有關(guān)的向量。v可以得到特征方程：v根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)，特征方程存在非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零，即得到頻率方程：0uKuM )sin(tu0)(2MK0| |2MK第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v對(duì)于穩(wěn)定結(jié)構(gòu)體系，其質(zhì)量矩陣和剛度矩陣具有實(shí)對(duì)稱性和正定性，所以，相應(yīng)的頻率方程的根都是正實(shí)根。v對(duì)于處于隨遇平衡狀態(tài)或不穩(wěn)定狀態(tài)的結(jié)構(gòu)體系，頻率方程會(huì)出現(xiàn)等于零的重根或虛根。v一般地，地震工程中遇

8、到的結(jié)構(gòu)體系多為穩(wěn)定體系。第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v根據(jù)特征方程：v對(duì)應(yīng)于頻率方程中的每一個(gè)根，都存在特征方程的一個(gè)非零解?j，稱為振型向量，或叫特征向量，或叫模態(tài)向量。v由于特征方程的齊次性，該非零解是不定的，即振型向量幅值是任意的，但形狀是唯一的。v因此，振型定義為結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式。v根據(jù)v可知，若結(jié)構(gòu)體系按某一振型振動(dòng)，則體系的所有質(zhì)點(diǎn)將按同一頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。0)(2MK)sin(tu第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v為了對(duì)不同頻率的振型進(jìn)行形狀上的比較，需要將其化為無量綱形式，這種轉(zhuǎn)化過程稱為振型的規(guī)格化。v振型規(guī)格化的方法可采用下述三

9、種方法之一：(1)特定坐標(biāo)的規(guī)格化方法：指定振型向量中某一坐標(biāo)值為1，其它元素按比例確定；(2)最大位移值的規(guī)格化方法：將振型向量各元素分別除以其中的最大值；第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理(3)正交規(guī)格化方法：令 其中 對(duì)于M為對(duì)角質(zhì)量矩陣時(shí)，可簡(jiǎn)寫為： 式中， ?jij振型向量第i坐標(biāo)處的值； Mjj振型的廣義質(zhì)量。jjjM/jTjjMM21jiniijmM第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理2. 2. 振型的正交性振型的正交性v根據(jù)特征方程：v分別對(duì)振型i、j列出運(yùn)動(dòng)方程：v左式(a)兩邊乘以向量?j的轉(zhuǎn)置?jT，右式兩邊乘以向量?i的轉(zhuǎn)置?iT，則有：v左式不變

10、，而對(duì)右式進(jìn)行轉(zhuǎn)置運(yùn)算可得18/1800)(2MK2iiiMK2jjjMK2iTjiiTjMK2jTijjTiMK2iTjjiTjMK2iTjiiTjMK第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v將右式減去左式，可得：v若ji，則有：v同時(shí)有：v分別稱為振型對(duì)質(zhì)量矩陣的正交性和振型對(duì)剛度矩陣的正交性。0)(22iTjijM)(0jiMiTj)(0jiKiTj第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v振型對(duì)質(zhì)量矩陣的是：某一振型在振動(dòng)過程中所引起的慣性力在其它振型上所作的功為零。v這說明某一個(gè)振型的動(dòng)能不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它振型上去，或者說體系按某一振型作自由振動(dòng)時(shí)不會(huì)激起該體系其它振型的振

11、動(dòng)。v振型對(duì)剛度矩陣是，體系按某一振型振動(dòng)時(shí)，它的位能不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它振型上去。第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v振型的兩兩正交特性說明它們具備作為一類線性空間基底的基本條件。v事實(shí)上，由振型向量所張成的線性空間正是一般動(dòng)力反應(yīng)空間，在這空間的任一點(diǎn)表示一個(gè)特定的動(dòng)力反應(yīng)，并且這一點(diǎn)的坐標(biāo)值可由關(guān)于基底（振型）的廣義坐標(biāo)給出。第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理3. 3. 正交阻尼正交阻尼v若無外部能量輸入，則任何原來振動(dòng)的物理系統(tǒng)都會(huì)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)趨于靜止，這是因?yàn)橄到y(tǒng)的能量會(huì)因?yàn)槟承┰蚨纳ⅰ產(chǎn)生振動(dòng)系統(tǒng)能量耗散的原因稱為阻尼。v目前，關(guān)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)的耗能機(jī)理并不十

12、分清楚，已經(jīng)提出的許多材料阻尼的數(shù)學(xué)模型，每一種模型都有其適應(yīng)范圍和局限性。v由于結(jié)構(gòu)的阻尼機(jī)制十分復(fù)雜，工程上常采用簡(jiǎn)單的正交阻尼模型。第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v目前工程上廣泛應(yīng)用的是瑞雷阻尼模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 式中，0、1瑞雷阻尼系數(shù)。v由于振型向量對(duì)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣具有正交性，因此，對(duì)于瑞雷阻尼模型，也有：v即振型對(duì)阻尼矩陣也具有正交性。v利用上述正交性條件，并注意到： KMC10)(0jiCiTjjjjMK /2jjjjMC /2第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v其中： 為第j振型的廣義質(zhì)量； 為第j振型的廣義剛度； 為第j振型的廣義阻尼； 為

13、第j振型阻尼比。v因此有：v若已知任意兩階振型的阻 尼比，則可定出阻尼系數(shù)：jTjjMMjTjjKKjTjjCCj)/(2110jjj220)(2jijijiij221)(2jijjii第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理4. 4. 求解地震反應(yīng)的振型分解法求解地震反應(yīng)的振型分解法第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗

14、震原理抗震原理第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理4. 4. 求解地震反應(yīng)的振型分解法求解地震反應(yīng)的振型分解法v一組正交向量可以作為線性空間的一組基底，這些基的適當(dāng)線性組合構(gòu)成空間的點(diǎn)。v根據(jù)這一觀點(diǎn)，線性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)必然是其振型向量所張成的線性空間中的點(diǎn)，點(diǎn)的規(guī)跡則反映動(dòng)力反應(yīng)的時(shí)程變化過程。v為簡(jiǎn)單明了地說明問題， 先考慮兩個(gè)自由度的體系。第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v將質(zhì)點(diǎn)m1和m2在水平向地震作用下任一時(shí)刻的位移u1(t)和u2(t)用兩個(gè)振型的線性組合表示： 其中，第一振型向量 ，第二振型向量 。v這實(shí)際上是一個(gè)坐標(biāo)變換式，原來的變量u1(t)和u2(t

15、)為幾何坐標(biāo)，而新的坐標(biāo)q1(t)和q2(t)可稱為廣義坐標(biāo)。v由于體系的振型是唯一確定的，因此，當(dāng)q1(t)和q2(t)確定后，質(zhì)點(diǎn)的位移u1(t)和u2(t)也將隨之確定。)()()(2211111tqtqtu)()()(2221122tqtqtuT12111T22212第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v對(duì)此也可以這樣理解：v體系的位移可看作是由各振型向量乘以相應(yīng)的組合系數(shù)q1(t)和q2(t)后疊加而成的。v換句話講，這種方法是將實(shí)際位移按振型加以分解，故稱為振型分解法。v另外，由于q1(t)和q2(t)是隨時(shí)間變化的，因此，同一振型在不同時(shí)刻對(duì)總位移“貢獻(xiàn)”的大小是不一樣

16、的。)()()(2211111tqtqtu)()()(2221122tqtqtu第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v對(duì)于一般的多自由度線彈性體系，有： 式中， 為位移向量； 為廣義坐標(biāo)向量； 為振型矩陣， 其中?j為體系的第j個(gè)振型向量。v將上式兩邊分別前乘?jTM ，利用振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性及上式，可導(dǎo)出廣義坐標(biāo)與一般位移反應(yīng)的關(guān)系。一般用于決定各振型的初始條件。)()()(1tqtqtujnjjTntutututu)()()()(21Tntqtqtqtq)()()()(2121n)(1)()(tuMMMtuMtqTjjjTjTjj第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原

17、理v在水平地震作用下，多自由度彈性體系的運(yùn)動(dòng)方程為：v為應(yīng)用振型分解法，一般采用瑞雷阻尼模型。v將：v代入，并前乘振型向量的轉(zhuǎn)置?jT，利用振型向量對(duì)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的正交性，可得：v注意到gxIMuKuCuM )()()(1tqtqtujnjj), 2 , 1()()()()(njtxIMtqKtqCtqMgTjjjjjjj jjjMK /2jjjjMC /2第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v則上式可轉(zhuǎn)化為： 其中 稱為第j振型的振型參與系數(shù)。v利用有阻尼體系的Duhamel積分公式：v廣義坐標(biāo)qj(t)可表示為(假定初始條件為 ， )：), 2 , 1()()()

18、(2)(2njtxtqtqtqgjjjjjj 211/jiniijiniijTjjmmMIMttgdtextu0)(_)(sin)(1)( )0)0(jq dtetxtqjttgjjjjj)(sin)()()(0 0)0(jq第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理v可簡(jiǎn)記為v其中v式中，j(t)阻尼比和自振頻率分別為j 和j 的單自由度彈性體系的位移反應(yīng)。)()(ttqjjjdtetxtjttgjjjj)(sin)(1)()(0 jjj21第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理【例例】?jī)蓚€(gè)質(zhì)點(diǎn)的彈性體系如圖所示，質(zhì)量分別為m1=6104kg、m2=4.5104kg，側(cè)移剛度分別為K1=4104kN/m、K2=3104kN/m。試求該體系的自振周期和振型，并驗(yàn)證振型正交性?！窘饨狻縱質(zhì)量矩陣v剛度矩陣142610 kg4.5mMm1224227310 kN/m33KKKKKK第三章第三章 建筑建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)抗震原理抗震原理（1）求自振頻率v頻率方程v令 則v展開行列式得：v求得： 因此v由此可得：045103103103601072444242MK22100105 . 430303067022012004952724875.