經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積( ),|( )|bayf xxa xbxSf xdx 由由及及 軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積為為 第1頁/共27頁一條曲線（積分變量為一條曲線（積分變量為y）xyOcd(1)0)( y (2)0)( y (3)一般情況一般情況( )dcSy dy ( )|( )|ddccSy dyydy ( )( )|( )|eddcecSy dyy dyydy xyOcd)(yx xyOcde)(yx ( ),|( )|dcxyyc ydySydy 由由及及 軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積為為 第2頁/共27頁ln ,0.1

2、,10,0.yx xxy求求由由所所圍圍圖圖形形的的面面積積解解：100.1|ln|Sx dx xyolnyx 1100.11lnlnxdxxdx 110.10.1ln|lnxxxdx 101011ln|lnxxxdx 0.1ln0.110.1 10ln1090.1ln100.9 10ln1099.9ln108.1第3頁/共27頁2條曲線（選擇合適的積分變量）條曲線（選擇合適的積分變量）)(1xfy )(2xfy abxyo21( )( )bbaaSfx dxfx dx21( )( )bafxfx dx 21( )( )fxfx )(1xfy )(2xfy abxyoc 1221( )( )(

3、 )( )cabcSfxfxdxfxfx dx 21( )( )bafxfx dx 21( )( )f cf c 選選x作為變量上邊曲線減去下邊曲線作為變量上邊曲線減去下邊曲線注：求面積時保證被積函數(shù)的非負(fù)性注：求面積時保證被積函數(shù)的非負(fù)性第4頁/共27頁( )xy ( )xy dxyoce 當(dāng)兩條曲線相交時，應(yīng)求出其交點(diǎn)作為區(qū)間分段點(diǎn).選選y作為變量右邊曲線減去左邊曲線作為變量右邊曲線減去左邊曲線xOcd yx yxy dcdyyyS)()( deecdyyydyyyS)()()()( dcdyyy)()( 第5頁/共27頁畫草圖畫草圖.例例22,xy xy所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積.

4、計(jì)算由計(jì)算由解解 22xyxy得交點(diǎn)得交點(diǎn) (0, 0) 和和 (1, 1)解方程組解方程組xoyxy 22xy ) 1 , 1 (113 120()Sxxdx 33212330 xx 另解另解. 13 120()Syydy 33212330yy 選選x為積分變量為積分變量選選y為積分變量為積分變量求面積的解題步驟求面積的解題步驟2、聯(lián)立方程求交點(diǎn)4、確定被積函數(shù)，利用公式進(jìn)行求解第6頁/共27頁積分變量的選擇積分變量的選擇選取積分變量選取積分變量 x (y) 應(yīng)滿足：過點(diǎn)應(yīng)滿足：過點(diǎn) x (y) 作垂直于作垂直于 x (y) 軸的軸的直線穿區(qū)域直線穿區(qū)域D, 是一進(jìn)一出，即最多兩個交點(diǎn)；是一

5、進(jìn)一出，即最多兩個交點(diǎn)；)(1xfy )(2xfy abxyoc積分區(qū)間的確定積分區(qū)間的確定選取積分變量選取積分變量 x 應(yīng)為區(qū)域的左右兩個邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間應(yīng)為區(qū)域的左右兩個邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間;選取積分變量選取積分變量 y 應(yīng)應(yīng)為區(qū)域的上下兩個邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間為區(qū)域的上下兩個邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間;被積函數(shù)應(yīng)遵循的原則被積函數(shù)應(yīng)遵循的原則 -大減小大減小(x上減下上減下, y右減左右減左)理論上可以選理論上可以選擇任何一個變擇任何一個變元為積分變量元為積分變量. .第7頁/共27頁例：計(jì)算由曲線例：計(jì)算由曲線y=x3-6x和和y=x2所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積. 解解).9 , 3(

6、),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量xxxy63 2xy 0322(6)Sxxxdx dxxxx)6(3230 .12253 第8頁/共27頁例：計(jì)算由曲線例：計(jì)算由曲線y2=2x和和y=x-4直線所圍成的圖形的面積直線所圍成的圖形的面積. 解：解：).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y24242ySydy 18. xy22 4 xy)2, 2( )4 , 8(選選x為積分變量為積分變量 28022(2 )( 2(4)Sxxdxxxdx .18 第9頁/共27頁例：例： 求由曲線求由曲線1,2yyx xx與與所圍面積。

7、所圍面積。解：解：畫草圖，畫草圖，xyoyx 1yx 2x (1,1)1(2, )2(2,2)211()Sxdxx 2211ln2xx3ln221121(2)Sdyy 21(2)y dy 第10頁/共27頁 例例 設(shè)曲線設(shè)曲線 x 軸與軸與 y 軸在第一象限所圍的圖形軸在第一象限所圍的圖形 被曲線被曲線 分為面積相等的兩部分，試確定分為面積相等的兩部分，試確定a的值的值. .2(0)yaxa 解解 如圖，如圖，解方程組解方程組 1(,)11aaa 而而122110(1)aSxaxdx 23 1a 再由再由112SS 12021(1)23 1xdxa 221yxyax 311(1)130 xa

8、xa 得得3a 解解之之得得13得交點(diǎn)坐標(biāo)得交點(diǎn)坐標(biāo)21,yxxyo21yx2yax 1S2S第11頁/共27頁oxyabxS(x)二、平行截面面積已知的立體體積(), , ( )( )baxaxb abxa bxS xVS x dx 設(shè)設(shè) 為為一一空空間間立立體體，夾夾在在平平面面和和之之間間過過任任意意點(diǎn)點(diǎn)作作垂垂直直于于 軸軸的的平平面面, ,它它截截立立體體 的的截截平平面面的的面面積積為為（連連續(xù)續(xù)）, ,則則該該立立體體的的體體積積為為 第12頁/共27頁oxyabiV 具體求法如下：具體求法如下：1.分割分割01naxxxb 1iiixxx 1|maxiinx 1ix ix2.近

9、似求和近似求和i ()iS ()iiiVSx 11()nniiiiiVVSx 3.求極限求極限|01lim()niiiVSx ()baS x dx 第13頁/共27頁旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積是由某平面內(nèi)一個圖形繞平面內(nèi)的一條直是由某平面內(nèi)一個圖形繞平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。的軸。圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺第14頁/共27頁xOyab xfy x 2( )S xfx 2bxaVfx dx l 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線y=f(x), x=a, x=b, y=0 所圍圖形所圍圖形繞繞x軸軸旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：生成旋

10、轉(zhuǎn)體的體積為：l 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線x= (y), y=c, y=d, x=0 所圍圖形所圍圖形繞繞y軸軸旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：xOycd xy 2dycVy dy 2( )S yy 第15頁/共27頁 一般地一般地, , 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y =(x) 、 y =g(x) 和直線和直線 x = a 、x = b所圍成的平面圖形繞所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積為的立體的體積為oxyy=(x)abx x+dxy=g(x)22( )( )bxaVfxgx dx 第16頁/共27頁例：求由橢圓例：求由橢圓22221xyab旋轉(zhuǎn)

11、橢球體的體積旋轉(zhuǎn)橢球體的體積旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓繞繞x軸旋轉(zhuǎn)。軸旋轉(zhuǎn)。22byaxa222axabVaxdxa 所圍成所圍成的圖形繞的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的軸旋轉(zhuǎn)而成的x243ab 222202abaxdxa 解：解：xOya22xaaby第17頁/共27頁例：求由例：求由y=x2,x=y2所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：解：畫圖，畫圖，xOy2xy 2yx )(yx 求交點(diǎn)求交點(diǎn)： (0,0)(0,1) 1 , 0 y積分變量：積分變量：yV 1220ydy 210ydy 10ydy15015y 120125y 32510第

12、18頁/共27頁 例：求由例：求由y=x2,y=x,y=2x所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞x,y軸軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：解： 畫圖，畫圖，xOyyx 2yx 2yx (1,1)(2,4)xV 2202xdx 120 xdx 2221xdx 32043x 3 1013x 52115x 323 13 315 6215 第19頁/共27頁xOyyx 2yx 2yx (1,1)(2,4)yV 120ydy 241ydy 2402ydy 3 152 163 52 第20頁/共27頁xOy21yx (0, 1) 2,21,xyyxxy求求由由所所圍圍圖圖形形的的面面積積，及及繞繞 軸軸軸軸旋

13、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)生生成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. .2xy 1(,0)2解：解： 畫圖，畫圖，221xyyx 11(1,1),( ,).42 交交點(diǎn)點(diǎn)為為(1,1)11( ,)42 S 112dy 1(2y 2)y 116 xV 210 xdx 211221xdx 3 yV 211212ydy 21212ydy 920 第21頁/共27頁三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例（一）已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量Q的變化率是時間的變化率是時間t的連續(xù)函的連續(xù)函數(shù)數(shù)f(t),且時刻且時刻t0的產(chǎn)量的產(chǎn)量Q0,即即Q(t)=f(t), Q0=Q(t0) .則產(chǎn)則產(chǎn)品在品在t時

14、刻的總產(chǎn)量函數(shù)可表示為時刻的總產(chǎn)量函數(shù)可表示為000( )()( )(0)ttQ tQ tf t dtt 000( )()( )(0)ttQ tQ tf t dtt 注：通常假設(shè)注：通常假設(shè)t0=0時，時，Q0=0即即Q(t0)=0。第22頁/共27頁l 例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為f(t)=100+10t-0.45t2 (噸噸/小時小時),求總產(chǎn)量函數(shù)求總產(chǎn)量函數(shù)Q(t);從從t0=4到到t1=8這這段時間內(nèi)的總產(chǎn)量段時間內(nèi)的總產(chǎn)量 Q。l 解：解： tdssftQ0)()()(15. 0510032噸ttt)4()8(QQQ )815. 0858100(32)415.

15、0454100(32 tdsss02)45. 010100(第23頁/共27頁經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例之二已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)( )160.002().200,200.001 ,(1)( );(2)( )(3)(4)xC xxpxpxxC xxL x 例例：某某廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)某某產(chǎn)產(chǎn)品品 單單位位的的邊邊際際成成本本是是元元/ /單單位位 固固定定成成本本為為元元 此此種種產(chǎn)產(chǎn)品品的的價價格格 是是產(chǎn)產(chǎn)量量 的的函函數(shù)數(shù)：求求：生生產(chǎn)產(chǎn) 單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總成成本本生生產(chǎn)產(chǎn) 單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總利利潤潤；生生產(chǎn)產(chǎn)多多少少單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品才才能能獲獲得得最最大大利利潤潤；最最大大利利潤潤是是多多少少? ?0(1)( )(0)( )xC xCC t dt 解解：0200(160.002 )xt dt 2160.001200 xx第24頁/共27頁(2)( )( )( )L xR xC x( )pxC x2(200.001 )(160.001200)x xxx20.00242