選修4-2矩陣與變換第二節(jié) 矩陣逆矩陣、特征值與特征向量

1、1矩陣的逆矩陣(1)一般地，設是一個線性變換，如果存在線性變換，使得I，則稱變換可逆，并且稱是的逆變換(2)設A是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得BAABE，則稱矩陣A可逆，或稱矩陣A是可逆矩陣，并且稱B是A的逆矩陣(3)(性質(zhì)1)設A是一個二階矩陣，如果A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的，A的逆矩陣記為A1.(4)(性質(zhì)2)設A，B是二階矩陣，如果A，B都可逆，則AB也可逆，且(AB)1B1A1.(5)二階矩陣A可逆，當且僅當det Aadbc0時，A1.2二階行列式與方程組的解對于關于x，y的二元一次方程組我們把稱為二階行列式，它的運算結(jié)果是一個數(shù)值，記為det Aadbc.若將方程組

2、中行列式記為D，記為Dx，記為Dy，則當D0時，方程組的解為3矩陣特征值、特征向量的相關概念(1)定義：設矩陣A，如果存在實數(shù)以及非零向量，使得A，則稱是矩陣A的一個特征值，是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量(2)一般地，設是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則對任意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量(3)一般地，屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線(4)設矩陣A，稱f()為矩陣A的特征多項式，方程0為矩陣A的特征方程4特征向量的應用(1)設A是一個二階矩陣，是矩陣A的屬于特征值的任意一個特征向量，則Ann(nN*)(2)性質(zhì)1設1，2是二階矩陣A的兩個不同特征值，1，2是矩陣A

3、的分別屬于特征值1，2的特征向量，對于任意的非零平面向量，設t11t22(其中t1，t2為實數(shù))，則對任意的正整數(shù)n，有Ant11t22.1矩陣的逆矩陣是_答案：2若矩陣可逆，則k的值不可能是_答案：3若矩陣A不可逆，則實數(shù)a的值為_解析：由題意|A|2(a1)1(1a2)a22a10，a1.答案：14對任意實數(shù)x，矩陣總存在特征向量，則m的取值范圍是_解析：由條件得f()(x)(2)(m2)(3m)2(x2)2x(m3)(m2)0有實數(shù)根，所有1(x2)24(2xm2m6)0對任意實數(shù)x恒成立，所以2164(4m24m28)0，解得m的取值范圍是3m2.答案：3m2.5已知矩陣M的特征值18

4、及對應的一個特征向量e1，并有特征值22及對應的一個特征向量e2.則矩陣M_.解析：設M，則8，故2，故聯(lián)立以上兩個方程組解得a6，b2，c4，d4，故M.答案：熱點考向一求逆矩陣求矩陣A的逆矩陣【解析】法一：設矩陣A的逆矩陣為，則 ，即，故且解得x1，z2，y2，w3，從而矩陣A的逆矩陣A1.法二：A，detA1.A1.【點評】方法一是待定系數(shù)法；方法二是公式法1已知變換矩陣A把平面上的點P(2，1)、Q(1,2)分別變換成點P1(3，4)、Q1(0,5)(1)求變換矩陣A；(2)判斷變換矩陣A是否可逆，如果可逆，求矩陣A的逆矩陣A1：如不可逆，請說明理由【解析】(1)假設所求的變換矩陣A，

5、依題意，可得 及 ，即解得：所以所求的變換矩陣A(2)detA22(1)15，A可逆A1.熱點考向二利用矩陣解二元一次方程組-(1)求矩陣A的逆矩陣；(2)利用逆矩陣知識，解方程組【解析】(1)法一：設矩陣A的逆矩陣為A1，則由 ，知解之得A1.法二：A，|A|431，A1.(2)二元一次方程組的系數(shù)矩陣為A，由(1)知A1.因此方程有唯一解A1. .即【點評】二元一次方程組(a1，b1不同時為零，a2，b2不同時為零)的系數(shù)矩陣為A，只有當|A|0時，方程組有唯一解A1，若|A|0，則方程組有無數(shù)解或無解2用矩陣方法求解二元一次方程組解析：原方程組可以寫成，記M，其行列式2(5)14140，

6、M1.M1，即方程組的解為熱點考向三矩陣的特征值與特征向量給定矩陣A，B.(1)求A的特征值1，2及對應特征向量1，2；(2)求A4B.【解析】(1)設A的一個特征值為，由題意知：0，即(2)(3)0，解得12，23，當12時，由2，得A屬于特征值2的特征向量1；當23時，由3，得A屬于特征值3的特征向量2(2)由于B12.故A4BA4(12)(241)(342)161812.【點評】求矩陣的特征值及對應的特征向量是矩陣與變換的重點和難點，解決此類問題首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相應的特征向量請注意每一個特征值對應無數(shù)個特征向量，選擇坐標為整數(shù)的解就能使后面計算簡單、方便3已知矩陣A，

7、若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為1，屬于特征值1的一個特征向量2，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣解析：由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為1可得，6，即cd6；由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量2，可得，即3c2d2，解得，即A.A的逆矩陣是.一、填空題1已知A可逆，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：矩陣A可逆當且僅當det(A)0，即63a0，a2，a的取值范圍為(，2)(2，)答案：(，2)(2，)2設矩陣M，則矩陣M的特征向量可以是_解析：矩陣M的特征多項式f()21.由于f()0得矩陣M的特征值為11，21.經(jīng)計算可得，矩陣M屬于特征值1的一個特征向量為，而屬于特征值1的一個特征向量為.答案

8、：3設可逆矩陣A的逆矩陣A1，則a_，b_，c_.解析：由AA1E得，即解方程組得a2，b，c.答案：24已知二元一次方程組從線性變換的角度求解時應把向量繞原點作順時針旋轉(zhuǎn)_的旋轉(zhuǎn)變換解析：因為方程組的矩陣形式是，它是把向量繞原點作逆時針旋轉(zhuǎn)變換得到，所以解方程組就是把向量繞原點作順時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換答案：5A ，則A1_.解析：A ，|A|10.A1.答案：6現(xiàn)用矩陣對信息進行加密后傳遞，規(guī)定英文字母數(shù)字化為：a1，b2，z26，雙方約定的矩陣為，發(fā)送方傳遞的密碼為67,30,31,8，此組密碼所發(fā)信息為_解析：因為A，所以det A20，所以A1，而密碼矩陣為B，故明碼矩陣XA1B ，對應

9、信息為“good”答案：good7矩陣M的特征值與特征向量分別為_解析：由(1)(3)(2)()2280，得矩陣M的特征值為14，22.設屬于特征值14的特征向量為，則它滿足方程(11)x(2)y0，即5x2y0.故可取為屬于特征值14的一個特征向量設屬于特征值22的特征向量為，同理可得x2y0.故可取為屬于特征值22的一個特征向量綜上所述，矩陣M有兩個特征值14，22，屬于14的一個特征向量為1；屬于22的一個特征向量為2.答案：14，1和22，28已知矩陣A，B，則滿足方程AXB的二階矩陣X_.解析：A，|A|23(1)(4)20.A1.AXB，XA1B，X.答案：二、解答題9已知矩陣A，

10、B，C，求滿足AXBC的矩陣X.解析：AXBC，所以(A1A)XBB1A1CB1而A1AXBB1EXBB1X(BB1)X，所以XA1CB1因為A1，B1，所以XA1CB1.10已知矩陣A.(1)求矩陣A的特征值及對應的特征向量；(2)計算矩陣An.解析：(1)矩陣A的特征方程為(6)(4)8210160.得矩陣A的特征值為18，22.當18時，A屬于1的特征向量為1；當22時，A屬于2的特征向量為2.(2)設AnAn18n1，An22n2，即，即解得a，b，c，d.故An.11給定矩陣M，N，向量.(1)求證：M和N互為逆矩陣；(2)求證：向量同時是M和N的特征向量；(3)指出矩陣M和N的一個公共特征值解析：(1)證明：因MN，且NM，所以M和N互為逆矩陣(2)證明：因為M，所以是N的特征向量因為N，所以是N的特征向量(3)由(2)知，M對應于特征向量的特征值為1，N對應于特征向量的特征值也為1，故1是矩陣M和N的一個公共特征值12(2011年福建)設矩陣M(其中a0，b0)若a2，b3，求M的逆矩陣M1；若曲線C：x2y