理學(xué)動(dòng)力學(xué)專(zhuān)題質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1理學(xué)動(dòng)力學(xué)專(zhuān)題質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程理學(xué)動(dòng)力學(xué)專(zhuān)題質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程第 17章（4） 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程4-2 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程4-1 動(dòng)力學(xué)基本定律第1頁(yè)/共31頁(yè)引 言2. 力學(xué)模型：1. 動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容：研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與它的 質(zhì)量和受力情況之間的關(guān)系。(1) 質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量，而其形狀和大小對(duì)所研究的問(wèn)題不起主要作用，可以忽略不計(jì)的物體。 例如： 研究衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星 質(zhì)點(diǎn)； 剛體作移動(dòng)時(shí),剛體 質(zhì)點(diǎn)。第2頁(yè)/共31頁(yè)(2) 質(zhì)點(diǎn)系：由有限或無(wú)限個(gè)有著一定聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。 非自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到約束的限制。質(zhì)點(diǎn)系是力學(xué)中普遍的抽象化模型；包括剛體、彈

2、性體、流體。 自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不受約束的限制。 剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系，由無(wú)數(shù)個(gè)相互間保持距離不變的質(zhì)點(diǎn)組成。又稱(chēng)為不變質(zhì)點(diǎn)系。第3頁(yè)/共31頁(yè)3. 動(dòng)力學(xué)分類(lèi)：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。4. 動(dòng)力學(xué)的基本問(wèn)題：大體上可分為兩類(lèi)：綜合性問(wèn)題： 已知部分力，部分運(yùn)動(dòng)求另一部分力、部分運(yùn)動(dòng)。 已知主動(dòng)力，求運(yùn)動(dòng)，再由運(yùn)動(dòng)求約束力。 第一類(lèi)：已知物體的運(yùn)動(dòng)情況，求作用力； 第二類(lèi)：已知物體的受力情況，求物體的運(yùn)動(dòng)。第4頁(yè)/共31頁(yè)4-1 動(dòng)力學(xué)基本定律 動(dòng)力學(xué)基本定律是動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ),但它們只能直接應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系,應(yīng)該將它們分別應(yīng)用于每一質(zhì)點(diǎn),然后導(dǎo)

3、出質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 質(zhì)點(diǎn)是物體最簡(jiǎn)單、最基本的模型，是構(gòu)成復(fù)雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程給出了質(zhì)點(diǎn)受力與其運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是三個(gè)基本定律，這些定律是牛頓在總結(jié)前人研究成果基礎(chǔ)上提出的，稱(chēng)為牛頓三定律。 1. 動(dòng)力學(xué)基本定律第5頁(yè)/共31頁(yè)第一定律（慣性定律） 質(zhì)點(diǎn)如不受外力作用，則將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)點(diǎn)保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)，也就是保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，這種性質(zhì)稱(chēng)為慣性。故點(diǎn)的勻速直線運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為慣性運(yùn)動(dòng)。所以第一定律也稱(chēng)為慣性定律。 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到外力作用，而這些作用又不互相抵消時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將按一定規(guī)律發(fā)生變化。第二定律就表明了這一變化規(guī)律。第6頁(yè)/共31

4、頁(yè)第二定律（力與加速度之間關(guān)系的定律）Fam (16-1) 質(zhì)點(diǎn)受外力作用時(shí)，將產(chǎn)生加速度，加速度的方向與力的方向相同，大小與力的大小成正比。上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到多個(gè)力作用時(shí)，該式中的力 應(yīng)為匯交力系的合力；從該式還可以看出，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大，因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。F第7頁(yè)/共31頁(yè)第三定律（作用與反作用定律） 由于作用與反作用，引起了機(jī)械運(yùn)動(dòng)在相互作用的兩質(zhì)點(diǎn)（物體）間發(fā)生轉(zhuǎn)移。力就是這種機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)移的反映。 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間相互作用的力，總是大小相等，方向相反，且沿著同一直線，分別作用在這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上。 在靜力學(xué)里，研究物體的平衡

5、用到它。在動(dòng)力學(xué)里，這一定律依然成立。第8頁(yè)/共31頁(yè) 以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)，稱(chēng)為古典力學(xué)或經(jīng)典力學(xué)，在此范疇，質(zhì)量、空間和時(shí)間是“絕對(duì)”的，與運(yùn)動(dòng)沒(méi)有關(guān)系，但近代物理已經(jīng)證明，質(zhì)量、時(shí)間和空間都與物體的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，只是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)量、時(shí)間和空間的影響是微不足道的。 2. 慣性參考系 動(dòng)力學(xué)基本定律在其中能正確成立的參考系稱(chēng)為慣性參考系,簡(jiǎn)稱(chēng)慣性系。在一般問(wèn)題中,與地球固接的參考系或相對(duì)于地面作慣性運(yùn)動(dòng)的參考系,可近似看成慣性系。 第9頁(yè)/共31頁(yè) 要使車(chē)子在水平直線軌道上勻速前進(jìn)，為什么還需不斷對(duì)它施加水平推力？這與慣性定律有無(wú)矛盾？ 試比較下述幾種情況

6、下站在電梯中的人對(duì)電梯地板的壓力大小：(a) 電梯靜止不動(dòng)；(b) 電梯勻速上升；(c) 電梯勻速下降；(d) 電梯加速上升；(e) 電梯減速下降。思 考 題 4-1思 考 題 4-2第10頁(yè)/共31頁(yè) 以下說(shuō)法是否正確？(a) 質(zhì)點(diǎn)如有運(yùn)動(dòng)則它一定受力，其運(yùn)動(dòng)方向總是與所受力的方向一致；(b) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如速度大則它所受的力也大，速度小則所受的力也小，若速度為零則質(zhì)點(diǎn)不受力；(c) 機(jī)車(chē)以某一力牽引車(chē)輛加速前進(jìn)時(shí)，車(chē)輛給機(jī)車(chē)的反力必小于機(jī)車(chē)對(duì)列車(chē)的牽引力。思 考 題 4-3 若不計(jì)空氣阻力，自由下落的石塊與向下仍（即給以向下的初速）的石塊，哪一個(gè)加速度較大？思 考 題 4-4第11頁(yè)/共3

7、1頁(yè)4-2 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 dd22Ftrm Fam (16-2)(16-3) 動(dòng)力學(xué)基本方程是矢量方程，為了便于計(jì)算，常將它改寫(xiě)成投影式，并表示為微分形式的方程，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。第12頁(yè)/共31頁(yè)yxFtymFtxm 2222dd dd(16-4) 1. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)投影 設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，作平面曲線運(yùn)動(dòng)。取直角坐標(biāo)系Oxy，將質(zhì)點(diǎn)受到的力與加速度在直角坐標(biāo)軸上投影得：第13頁(yè)/共31頁(yè)式(16-4) 和(16-5)是兩種常用的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。可以求 解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題。2. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影n2tddFvmFtvm (16-5)動(dòng)力學(xué)基本方程在

8、自然軸系上的投影為：由運(yùn)動(dòng)學(xué)知,ddttva 2nva 第14頁(yè)/共31頁(yè)5) 求解未知量。(1) 第一類(lèi)：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（微分問(wèn)題）解題步驟和要點(diǎn)： 1) 正確選擇研究對(duì)象；（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。 2) 正確進(jìn)行受力分析,畫(huà)出受力圖； (應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。3) 正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析；（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量）。 4) 選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程；（建立坐標(biāo)系）。第15頁(yè)/共31頁(yè) 5) 求解未知量。根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運(yùn)動(dòng)的初始條件，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。(2) 第二類(lèi)：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（積分問(wèn)題）解題步驟如下：1)

9、 正確選擇研究對(duì)象。 2) 正確進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進(jìn)行分析，對(duì)變力建立力的表達(dá)式）。 3) 正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。(除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征外，還要確定出其運(yùn)動(dòng)初始條件）。4) 選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。第16頁(yè)/共31頁(yè) 橋式起重機(jī)跑車(chē)用鋼絲繩吊掛一質(zhì)量為m的重物，沿水平橫梁作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v0，重物中心至懸掛點(diǎn)距離為l。突然剎車(chē)，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)向前擺動(dòng)，求鋼絲繩的最大拉力。解：1. 選重物(抽象為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象2. 受力分析3. 運(yùn)動(dòng)分析，沿以懸掛點(diǎn)為圓心, l為半徑的圓弧擺動(dòng)。例題 4-1第17頁(yè)/共31頁(yè))1( sindd ,

10、 tt mgtvmFma )2( cos , T2nn mgFlvmFma 4. 列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為變量。為變量。其中其中式得式得由由vglvmgF, )(cos )2(2T maxTT , 0 , )1(FF 時(shí)時(shí)因因此此重重物物作作減減速速運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)式式知知由由 )1(20maxTglvmgF 5. 求解未知量P=mg第18頁(yè)/共31頁(yè)例題 4-1討論(1) 減小繩子拉力途徑：減小跑車(chē)速度或者增加繩子長(zhǎng)度。(2) 拉力FTmax由兩部分組成, 一部分等于物體重量,稱(chēng)為靜拉力。一部分由加速度引起，稱(chēng)為附加動(dòng)拉力。全部拉力稱(chēng)為動(dòng)拉力。)1(20maxTglvmgF 第19頁(yè)/共31頁(yè)例題 4

11、-2 煤礦用填充機(jī)進(jìn)行填充, 為保證充填材料拋到距離為s=5 m，H=1.5 m的頂板A處。求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ？ (2)初速 與水平的夾角 0？ 不計(jì)空氣阻力。0v第20頁(yè)/共31頁(yè)選擇填充材料M為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，M作斜拋運(yùn)動(dòng)。待求待求0000000000,sin,cos; 0, 0, 0 vvvvvyxtyx yxvvHysxAMt , , , , , 瞬時(shí)瞬時(shí)解：已知力為常量，屬于第二類(lèi)問(wèn)題。mgP 第21頁(yè)/共31頁(yè)列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程并對(duì)其積分運(yùn)算 422312121dddddd0ddctcgtyctcxcgttyctxmgtvmtvmyx0,si

12、n,cos : 43002001 ccvcvc 代代入入初初始始條條件件得得2000021sin,cos :gttvytvx 則運(yùn)動(dòng)方程為則運(yùn)動(dòng)方程為第22頁(yè)/共31頁(yè)2000021sin,cos :gttvytvx 運(yùn)動(dòng)方程為運(yùn)動(dòng)方程為022020cos21tan : vxgxy 則軌跡方程為則軌跡方程為代入最高點(diǎn)A處值，得： 即 將到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的時(shí)間t，x=s，y=H 代入運(yùn)動(dòng)方程，得, 0sindd00 gtvty ,sin00gvt gHsgv2cos00 gHv2sin00 第23頁(yè)/共31頁(yè)拋射初速度大小與發(fā)射角0為：m/s 5 .10m/s5 . 181. 925 . 181. 9

13、2581. 922)sin()cos(22222002000 gHgHsgvvv 31 55 . 12tan 2tancossintan11000010sHvv 第24頁(yè)/共31頁(yè) 鉛垂上拋的物體，至少應(yīng)具有多大的初速才可不再回到地球。這一速度稱(chēng)為第二宇宙速度。不計(jì)空氣阻力。2222xmgRFRmMfmgxmMfF 所所以以因因?yàn)闉?222dd xmgRtxm 建建立立質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)微微分分方方程程例題 4-3 解：取物體（視為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象，建立坐標(biāo)，并作受力圖。M地球質(zhì)量，f萬(wàn)有引力常數(shù)第25頁(yè)/共31頁(yè)xgRgRvv2022)2( 則在任意位置時(shí)的速度) ,0( dd0220vvRxtxxmgRRxvmvvvxxx 時(shí)時(shí) 即：)dddddddddd( dd2222xvvtxxvtvtxxmgRxvmvxxxxxx 第26頁(yè)/共31頁(yè) 可見(jiàn)，v隨著x的增加而減小。若 則在某一位置 x=R+H 時(shí)速度將減小到零，物體回 落。若 時(shí)，無(wú)論x多大（甚至為），物體也不會(huì)回落。因此脫離地球引力而一去不返 時(shí)（）的最小初速度gRv220 gRv220 xkm/s 2 .11km6370/skm108 . 922230 gRv（第二宇宙速度）xgRgRvv2022)2( 第27頁(yè)/共31頁(yè) 站在磅秤上的人，在他突然下蹲的瞬時(shí)，指針向讀數(shù)大的一邊偏，還是向讀數(shù)小的一邊偏？為什么？