§3.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征ppt課件

1、3.4 隨機(jī)向量的數(shù)字特征隨機(jī)向量的數(shù)字特征多維隨機(jī)變量的特征數(shù)，除了研究每一個(gè)分多維隨機(jī)變量的特征數(shù)，除了研究每一個(gè)分量的數(shù)學(xué)期望和方差外，還要研究兩個(gè)隨機(jī)量的數(shù)學(xué)期望和方差外，還要研究兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)，這是反映兩個(gè)隨變量的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)，這是反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間關(guān)系機(jī)變量之間關(guān)系“親密親密”程度的量。并介紹隨程度的量。并介紹隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣。機(jī)向量的協(xié)方差矩陣。1;.ijiijjijjiXYPPPPP設(shè)（ ， ）為離散型隨機(jī)變量，其分布列為邊際分布列iiiijiijiijijEXPPPxxx jjjijjijjjiijEYPPPyyy 同理+-+-XYP() EX=P(

2、)d dEY=P()d dxyxxyx yyxyx y類似，設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量（ ， ）的密度為，則有：，一、數(shù)學(xué)期望：一、數(shù)學(xué)期望：2;.上式給出了求函數(shù)期望的直接方法，我們還可以上式給出了求函數(shù)期望的直接方法，我們還可以 先求函數(shù)的分布列，再由期望的定義求期望。先求函數(shù)的分布列，再由期望的定義求期望。 1XYE(XY)例3.4.、 已知（ ， ）的聯(lián)合分布列,求Y1110.10.310.40.2 XZ11p0.70.3E XY( 1)( 1)*0.1 1*( 1)*0.4( 1)*1*0.3 1*1*0.20.4 法一：法二：先求分布列EZ1*0.71*0.30.4 ijijf( ,) P3

3、.4.1Ef(X,Y)f( , )P( , )d dx yx yx yx y 定理3;.3.4.2,aXY例在長度為 的線段上任取兩點(diǎn) 和 ，求兩點(diǎn)間的平均長度？XY0aXY解： 因?yàn)?和 都在 ， 上均勻分布，且 和 相互獨(dú)立。210,aXYP()a0 x yxy所以（ ， ）的聯(lián)合密度為，其他aa2001E |X-Y|X-Y|adxdy aaa2000 x1a(x-y)(y-x)a3xdxdydxdy 4;.二、期望的性質(zhì)二、期望的性質(zhì) 1. E(XY)EXEYijijijE(XY)() pxy iijiijijijppxx iijjijppEXEYxy（以離散型為例證明）（以離散型為例證

4、明）nnnniiiiiii=1i 1i=1i 1EX )EX ,Ek X )k EX可推得： （2.XYEX YEX EY若， 相互獨(dú)立，則（）=ijijXYppp證明：， 獨(dú)立，ijijijE(XY)()px y iijjijppxyEX EY5;.例例3.4.3、將一枚骰子連續(xù)擲、將一枚骰子連續(xù)擲20次，求點(diǎn)數(shù)之和的期望？次，求點(diǎn)數(shù)之和的期望？iiXi=1 220X解： 設(shè)第 次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為， ，點(diǎn)數(shù)之和為。i1P(Xk)k1,2,3,4,6.5,66ik 1117EXk(123456)662 20ii 1EXE(X )20ii 17EX20702 6;.三、方差三、方差 2ii2i2X

5、(EX) PDX=EX-EXEXP ( )dxxxx（）2iijij2(EX)PEXP( , )ddxxx yyx（） （）2iijij2(EX) PEXP( , )d dxxx yx y （）DY ？7;.:四、方差的性質(zhì)XY(X+Y)XYDDD若 ， 獨(dú)立，則2D XYE XYE XY 證： 2E XEXYEY 22E XEXYEY2 XEXYEY DXDY2E XEXYEY E XEXYEY E(XYXEYYEXEXEY)而EXYEX EEEEE EEEEEEEE0D()DD所以 D()DD請問- 對(duì)嗎？8;.D()DD切記 nniii=112i 13nnXXX .X(1 DXDX)此式

6、可推廣到 個(gè)隨機(jī)變量：若，相互獨(dú)立，則有nn2iiiii=1i 1DXDX(2)9;.二項(xiàng)分布可看作二項(xiàng)分布可看作n個(gè)獨(dú)立的兩點(diǎn)分布之和個(gè)獨(dú)立的兩點(diǎn)分布之和12nX ,X ,.X 獨(dú)立同分布，服從兩點(diǎn)分布iiEXpDXp(1p)nii=1AX=X二項(xiàng)分布中， 發(fā)生的次數(shù): EX=np DX=np(1-p)由期望和方差的性質(zhì)iiXX01P1 pp的分布列10;.練習(xí)練習(xí) 2、袋中裝有、袋中裝有m只顏色各不相同的球，從中任取一只，只顏色各不相同的球，從中任取一只， 有返回地取有返回地取n次，用次，用X表示表示n次摸球中摸到不同顏色的數(shù)次摸球中摸到不同顏色的數(shù) 目，求目，求EX=？123123123

7、1231X ,X ,X,XU(0,6), XN(1,3), XE p( )E(X +2X -3X )=?D(X +2X -3X )=?x練習(xí) 、相互獨(dú)立求：123XU(0,6),XN(1,3),XE p(3)x解：123EX =3EX =1EX =3， ，123E(X +2X -3X )=3+2*1-3*3=-422312361D(X +2X -3X )=2 *33 *16129212361DX =DX =3DX129，請同學(xué)們做下面的練習(xí)：請同學(xué)們做下面的練習(xí)：11;.i1in1X0in1第 種顏色的球在 次摸球中至少被摸到 次，解：令第 種顏色的球在 次摸球中 次也沒有被摸到，iinnni

8、XX01p(1 1/m)1(1 1/m)EX1(1 1/m) 有分布列mmniii 1i 1EXEXEXm 1 (1 1/m)6mn6EX6 1(1 1/6)3.99若分析：分析：X表示表示n次摸球中摸到不同顏色的數(shù)目，而某一種顏色可能被摸到一次二次摸球中摸到不同顏色的數(shù)目，而某一種顏色可能被摸到一次二次次n次，情況復(fù)雜，所以要研究它的對(duì)立事件。次，情況復(fù)雜，所以要研究它的對(duì)立事件。即：袋中裝有即：袋中裝有6只顏色各不相同的球，從中任取一只，有返回地取只顏色各不相同的球，從中任取一只，有返回地取6次，次，可以平均摸到可以平均摸到 4 不同顏色的數(shù)。不同顏色的數(shù)。12;.五、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),:

9、我們在前面證明方差性質(zhì)過程中曾得到如下命題X,Y,XXYY0EEE若相互獨(dú)立 則有:其逆否命題為XXYY0,X.,YEEE若則不獨(dú)立X,YXY,:1.?2?不獨(dú)立和 有關(guān)系試問何種關(guān)系.親密 程度如何13;.(X,Y),(XX)(YY)(XX)(YY)XY.:cov(X,Y)(XX)(YY)EEEEEEEEE 定義若為二維隨機(jī)變量 又則稱為 和 的協(xié)方差記為(XY)XYEEE: 1Cov(X,Y)E XYEXEY2XYCov(X,Y)03Cov(X,a)04Cov(X,Y)cov(Y,X)性質(zhì)、若 ， 獨(dú)立，則（反之不然）、12125Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)6Cov(X ,Y

10、)(X ,Y)(X ,Y)7D(XY) =DX+DY Cov(X,Y)CovCov、n21122nniiijiji=11 i 0XYCov(XY)= 0XYCov(XY) 0XY從協(xié)方差的定義來看，它是“ 的偏差”與“ 的偏差”乘積的數(shù)學(xué)期望。當(dāng)，時(shí)，稱 與 正相關(guān)，當(dāng)，時(shí)，稱 與 不相關(guān)，當(dāng)，時(shí)，稱 與 負(fù)相關(guān)。15;.,.EEDD現(xiàn)在 我們把和先進(jìn)行 標(biāo)準(zhǔn)化 再求協(xié)方差令:EE0DD1顯然Cov(,) EEE() ()DDCov( ,)DD3.4.2(,),定義若 為二維隨機(jī)變量 則cov( ,)CorrDD為和的相關(guān)系數(shù).,是一個(gè)非常理想的數(shù)字特征 如下定理完滿的回答了我們提出的問題。1

11、6;. 定理: 設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為則有：（）(） 常數(shù)，使得（）2XY,E 引理：設(shè)（ ， ）為二維隨機(jī)變量，若則() 2222( )( XY)X2(XY)Ytg tE ttEt EE證明：考慮實(shí)變量 的二次函數(shù),( )0tRg t 對(duì)( )0g t二次方程沒有實(shí)根，或只有一重根，XYXY判別式 (） XYXY即(） 17;.Cov(X,Y)1XY2證明( )DD2XXYYXX(YY)EE22E( -E )( -E )E( -E )1由許瓦茲不等式可知20(2)1( )0( XY)0g tE t 0有重根t使得必要性0( XY)0E t22000( XY)( XY) ( XY)0D tE tE

12、t從而有XY有方差的性質(zhì)知（ ） YX即（ a+b)=1 定理: 設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為則有：（）(） 常數(shù)，使得（）18;.,0).是兩個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差 它表示兩個(gè)隨機(jī)變量具有線性關(guān)系。（數(shù)值的大小表示相關(guān)的程度和性質(zhì)見下面的圖示：充分性充分性P(Y=aX+b)=1.XYYaXb若則 與 “幾乎處處”有線性關(guān)系：Cov(X,Y)=EX-EXaX+b-E(aX+b)Cov(X,Y)DX DY2222aEX-EXa|a |EX-EXa EX-EX| 1即2=aEX-EX2DYD(aXb)a DX19;.0,表示正相關(guān).0, 表示負(fù)相關(guān).0,表示線性無關(guān)20;.注，獨(dú)立但是 未必有，獨(dú)立。22

13、34 41xy例 . . ，設(shè)（，）在單位圓上均勻分布，試問和是否獨(dú)立？是否相關(guān)？ 2211P( )=0qita xyx解：222+ 1-X - 1-21-| 11P ( )=P( , )dd0 xxxxxx yyy其他2Y 21-| 1P ( )0yyy同理其他XYP()P ( ) P ( )xyxx顯然，XY即， ， 不獨(dú)立。21;.+-EXP()d dxxyx y，22+1+ 1-1- 1-1d dxxxx y0EY=0同理+-EXYP()d dxyxyx y（），22+1+ 1-1- 1-1d dxxxyx y0CoVXYE(XY)EXEY000所以（ ， ）CoVXY00DXDYDX

14、DY（ ， ）有XY即： ， 不相關(guān)。22;.2212123.4.5 (X,Y)N(,), 例，求相關(guān)系數(shù)？2211222221212122-12()() ()()122(1)1:Cov(X,Y)=()()21exxyyxydxdy 解2221222212122-12()()()1 12(1)1=()()21exyyxydxdy 1221222()()1u=1()v=xyy 作變換23;.22uv-22122-Cov(X,Y)=uv 1v edudv2 22uv-2122-=uv 1edudv2 21212=0* 1+2* 2 1212Cov()Corr(X,Y)DX DY 22111222u

15、 1v1dudvvxdxdyy 22uv-2122-+v edudv2 24;.從本章第一節(jié)，我們知道：（，）服從（ ， ）則有，獨(dú)立所以在二維正態(tài)分布中，所以在二維正態(tài)分布中，X，Y獨(dú)立和不相關(guān)是等價(jià)的。獨(dú)立和不相關(guān)是等價(jià)的。121122212123.4.611( ,).XYXYX Yxxxx x 例（投資風(fēng)險(xiǎn)組合）有一批資金，總量記為 ，今要投資甲、乙兩種證卷，設(shè)投資甲的資金為 ，投資乙的資金為 ，形成一個(gè)投資組合記 為投資甲證卷的收益率，記 為投資乙證卷的收益率，它們都是隨機(jī)變量，如果已知 和 的均值（平均收益）分別為 ，； 方差（代表風(fēng)險(xiǎn)）為， , 的相關(guān)系數(shù)為 ，試求該投資組合的平均

16、收益與風(fēng)險(xiǎn)？并求使投資風(fēng)險(xiǎn)最小的方案。25;.1211ZX+ YX+(1- )Yxxxx解：組合收益111112 EZ=E( X+(1- )Y)=(1- )xxxx該組合的平均收益11221111DZD X+(1- )Y=DX(1- ) DY+2 (1- )Cov(X,Y)xxxxxx該組合的風(fēng)險(xiǎn)222211121112=(1- )+2 (1- )xxxx 22111211212DZ2-2(1- )-421dxxxdx 22121221212x 解之221DZ= -2 0ddx又22121221212x 所以，當(dāng)時(shí)，該組合平均收益最大。26;.六、隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣六、隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)

17、期望與協(xié)方差陣用矩陣的形式給出用矩陣的形式給出n維隨機(jī)向量的期望和方差，也就是設(shè)定一個(gè)維隨機(jī)向量的期望和方差，也就是設(shè)定一個(gè)“記號(hào)記號(hào)”，使復(fù)，使復(fù)雜的式子簡單化。雜的式子簡單化。 12n12n3.4.3nX(X ,X ,.X ) ,EX=(EX ,EX ,.EX )nXX定義，記 維隨機(jī)向量若每一個(gè)分量的期望都存在，則稱為維隨機(jī)向量 的數(shù)學(xué)期望向量。（簡稱 的期望）112131n212232n313233nn13213nE(X-EX)(X-EX)DXCov(X ,X ) Cov(X ,X ).Cov(X ,X )Cov(X ,X )DXCov(X ,X ).Cov(X ,X )= Cov(X

18、 ,X ) Cov(X ,X )DX.Cov(X ,X ).Cov(X ,X ) Cov(X ,X ) Cov(X ,X ).DX稱27;.1112131n2122232n3132333nn1n2n3nn. .iijijDXij, i, j1,2,3,.nCov(X ,X ) ij.其中28;.ijn*n3.4.2, nCov(X)= Cov(XX )定理維隨機(jī)向量的協(xié)方差陣，是一個(gè)對(duì)稱的非負(fù)定矩陣。ijn*nCov(X) Cov(XX )證：協(xié)方差陣，對(duì)稱性是顯然的。下證非負(fù)定性，12n1121n2122n12n12nn132nnC(c ,c ,.c )C*Cov(X)*CDXCov(X ,X ) .Cov(X ,X )Cov(X ,X )DX.Cov(X ,X )=(c ,c ,.c )(c ,c ,.c ).Cov(X ,X ) Cov(X ,X ) .DX對(duì)任意 維實(shí)向量有：29;.nnijiji=1j=1c c Cov(XX ) ，nniiijjji=1j=1=Ec (XEX )c (XEX ) nniiijjji=1j=1Ec (XEX )c (XEX ) nniii