第2章點直線平面的投影

1、山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系第2章 點、直線、平面的投影 山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系 2-1 . 投影法的基本知識一一. 投影的概念投影的概念二. 投影法的種類中心投影法：中心投影法：該投射線都是從投射中心出發(fā)，在該投射線都是從投射中心出發(fā)，在 投影面上作出物體投影的方法投影面上作出物體投影的方法平行投影法：平行投影法：若將投射中心若將投射中心S移至無窮遠處，則移至無窮遠處，則 所有投射線就相互平行所有投射線就相互平行 空間物體在光線照射下，在地上產(chǎn)生物體的影子，空間物體在光線照射下，在地上產(chǎn)生物體的影子， 這種現(xiàn)象就是投影。這種現(xiàn)象就是投影。山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系燈燈泡泡光光線線影子影子桌子桌子

2、投射中投射中心心投射線投射線投影投影面面投影投影三角板三角板物體物體斜投影法：投射線與投影面相傾斜正投影法：投射線與投影面性相垂直中心投影中心投影法法平行投影平行投影法法斜投影斜投影法法正投影正投影法法投影法種類平行投影平行投影法法能準確表達物能準確表達物體的形狀結(jié)構(gòu)體的形狀結(jié)構(gòu)山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系2-2 點的投影點的投影S SA AB Ba a 點是構(gòu)成立體最基本的幾何元素。點的點是構(gòu)成立體最基本的幾何元素。點的投影仍然是點，而且是唯一的。投影仍然是點，而且是唯一的。(b)(b)點的單面投影點的單面投影山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系一. 點在兩面體系中的投影1.點在兩投影面體系中的投影 為了確

3、定空間點的位置，設(shè)立相互垂直的正立投影面（簡稱正面）V和水平投影面（簡稱水平面）H，組成兩投影面體系。V面和H面的交線稱為投影軸OX。山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系aa OX點在兩面體系中的投影山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系aa OZ點在兩面體系中的投影山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系點在兩投影面體系中的投影規(guī)律點在兩投影面體系中的投影規(guī)律 點的兩面投影連線垂直于投影軸， 即aa I ox軸。點投影到投影軸的距離，等于該點 與相鄰?fù)队懊娴木嚯x，即 aax=Aa aax=Aa山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系二.點在三投影面體系中的投影三投影面體系和點的三面投影 雖然點的兩面投影已能確定該點的空間位置，但為了更清楚地表達某些

4、幾何體，需采用三面投影，所以再設(shè)立一個與V、H面都垂直的側(cè)立投影面（簡稱側(cè)面）W、，形成三投影面體系。山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系1. 三投影體系和點的三面投影山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系2. 點的三面投影規(guī)律點的三面投影規(guī)律 點的三面投影體系是在兩投影面體系的基礎(chǔ)上，再增加一個側(cè)立投影面W構(gòu)成的。 過空間任一點A向三個投影面做垂線，求得點A三個投影面上的投影。 利用三個投影面上投影，可以唯一確定點A在空間的位置。 山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系例例1 1 已知點已知點A A（1515，1616，1212），求作其三面投影），求作其三面投影山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系例例2 2 已知點已

5、知點A A的的V V面投影面投影aa和和W W面投影面投影aa求其水平投影求其水平投影a a山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系YZHVWOBXAbaaabbaaabbbZXYWYHOx 坐標大者為左，反之為右坐標大者為左，反之為右y 坐標大者為前，反之為后坐標大者為前，反之為后z 坐標大者為上，反之為下坐標大者為上，反之為下1. 兩點的相對位置：兩點的相對位置：三三. .兩點的相對位置和重影點兩點的相對位置和重影點山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系例例3 3：兩點的相對位置：兩點的相對位置 已知點已知點A A、B B的兩個投影，求作第三投影，并判斷的兩個投影，求作第三投影，并判斷這兩點的相對位置這兩點的相對位置山

6、東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系例例3 3：題解：題解山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系2.2.重重 影影 點點對 V 面的一對重影點是正前、正后方的關(guān)系對 H 面的一對重影點是正上、正下方的關(guān)系對 W面的一對重影點是正左、正右方的關(guān)系定義：定義：A、B兩點位于垂直于兩點位于垂直于V面的同一投射線上，這時面的同一投射線上，這時a、b重重合，合，A、B稱之為對稱之為對V的重影點。同理可知對的重影點。同理可知對H及對及對W的重影點的重影點山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系重影點的投影可見性重影點的投影可見性 A，B兩點位于垂直某投影面的同一條投射線上時，兩點在該投影面上的投影重合，則該兩點叫做重影點。 不可見的點的投影用投影點

7、外加括號方式表達。 根據(jù)重影點針對不同投影面，分別叫對H面重影點，對V面重影點，對W面重影點。山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系例例4 4：重影點及投影可見性：重影點及投影可見性 已知點已知點B B距離點距離點A A為為1515，點，點C C與點與點A A是對是對V V面投影的重影點，點面投影的重影點，點D D在在A A的正下方的正下方2020。補全諸點的三面投影，并表明可見性。補全諸點的三面投影，并表明可見性山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系例例4 4：題解：題解山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系例例5：兩交叉直線的重影點問題：兩交叉直線的重影點問題點的坐標大于點的坐標大于點，故點，故點在點在點的正前方。點的正前方。正面

8、投影重影點正面投影重影點山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系水平投影重影點水平投影重影點點的點的坐標坐標大于大于點，故點，故點在點在點的點的正上正上 方方。例例五：五：題題解解山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系2-1 投影的基本知識投影的基本知識直線的投影特性 1. 直線的投影特性 直線的投影，可由直線上一系列點的投影確定 山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系2. 直線的三面投影 直線的三面投影，可由直線上兩點的投影連線來確定。山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系二.各種位置直線的投影 空間直線在三投影體系中，對投影面的相對位置有三類。1） 一般位置直線一般位置直線2） 投影面平行線投影面平行線3） 投影面垂直線投影面垂直線山東紡織職業(yè)學(xué)

9、院 機電系abXoabZYHbaYWbbbaaaoXZYHWVAB1）一般位置直線 一般位置直線的投影特性：一般位置直線的投影特性：直線的三面投影，可由直線上兩點的投影連線來確定。山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系2）投影面平行線）投影面平行線水平線正平線側(cè)平線山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系XaboabZYHbaYW正平線XbbbaaaoZYHWVAB山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系YbbbaaaoZHWVABXXababZYHbaYWo水平線山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系XababZYHbaYWo側(cè)平線bbbaaaZHWVABXYo山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性反映實長反映實長正平線

10、正平線山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系反映實長反映實長正平線投影圖正平線投影圖山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系投影面平行線的投影面平行線的投影特性投影特性水平線水平線eff ef e 反映實長反映實長abcNEW山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系EF實長實長f efe f e水平線投影圖水平線投影圖NEW山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系投影面平行線的投影面平行線的投影特性投影特性側(cè)平線側(cè)平線反映實長反映實長DCcdc d cdNEW山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系實長實長dcdc d c側(cè)平線投影圖側(cè)平線投影圖NEW山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系總結(jié)總結(jié):投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性 在所平行的投影面上的投影反映實長在所平行

11、的投影面上的投影反映實長； 其它兩投影平行于相應(yīng)的投影軸，且其它兩投影平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實長。小于實長。 山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系2）投影面垂直線）投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系a(b)abbaBA0WHVXZYXYWZYH0a(b)abba鉛垂線山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系XYWZYH0abbaa (b )正垂線a (b )baBA0WHVXZYab山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系側(cè)垂線YWZYH0aba (b)a b Xa (b)Wa BA0HVXZYb ab山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性鉛垂線鉛垂線 水平投影積水平投影積聚為聚為

12、一點；其一點；其它兩個投影平行它兩個投影平行于軸，并反于軸，并反映直線實長映直線實長；直線與；直線與H面的夾角面的夾角 90實長實長NEWNEW山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系投影面垂直線的投影面垂直線的投影特性投影特性正垂線正垂線)(dcdcc d CDNEW山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系投影面垂直線的投影投影面垂直線的投影特性特性側(cè)垂線側(cè)垂線ef)( fe ef NEWNEW山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性 投影面垂直線種類投影面垂直線種類 正垂線：V面，H，W 鉛垂線：H面，V，W 側(cè)垂線：W面，H，V 。 投影面垂直線投影特性投影面垂直線投影特性 當直線AB垂直于

13、投影面時，它在該投影面上的 投影ab變成一個點ab。直線上任一點M的投影m 也重合在這個點上，這種性質(zhì)叫積聚性積聚性； 在另外兩個投影面的投影垂直于相應(yīng)的投影軸， 且反映實長。 山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系三. 直線上的點abcabcX0abcabcX0VHACB1.直線上的點，其投影必在該直線上。2.直線上的點分割直線之比，在投影后保持不變山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系例1： 求作CAB，使ACCB12山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系四.空間兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置同面直線異面直線平行相交交叉山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系平行兩直線山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系相交兩直線abcdkkabcdX0Xabcack

14、bBACDKddVH山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系交叉兩直線1(2)34123(4)abcdabcdX0abcdabcd1(2)3413(4)2X0ABCDVH山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系兩直線相對位置投影特性 平行兩直線投影特性平行兩直線投影特性 兩直線的同面投影相互平行，且其長度之比等于投影長度之比。 相交兩直線投影特性相交兩直線投影特性 相交兩直線同面投影都相交，且交點符合點的投影規(guī)律 交叉兩直線投影特性交叉兩直線投影特性 相交兩直線同面投影都相交，且交點符合點的投影規(guī)律 山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系不在同一直線上的三點不在同一直線上的三點幾何元素幾何元素表示法表示法一直線和直線外一點一直線和直線外一

15、點相交兩直線相交兩直線平行兩直線平行兩直線2-4 平面的投影平面的投影任意平面形任意平面形一、平面的表示法一、平面的表示法山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系abcabcddX0abcabcX0abcabcX0abcabcX0abcabcX0平面的幾何元素表示平面的幾何元素表示山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面二二. . 各種位置的平面各種位置的平面山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系1.1.投影面垂直面投影面垂直面正垂面：垂直于V面，對H，W面傾斜鉛垂面：垂直于H面，對V，W面傾斜側(cè)垂面：垂直于W面，對H，V面傾斜 垂直于一個投影面，傾斜于另兩個投影面山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電

16、系鉛垂面的投影山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系鉛垂面鉛垂面山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系正垂面山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系側(cè)垂面山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性平面所垂直的投影面上的投影積聚為直線， 與投影軸的夾角，分別反映平面對另兩個 投影面的真實傾角.（積聚性積聚性）l在另外兩個投影面上的投影均為縮小的平 面圖形。（類似性類似性） 山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系2. 2. 投影面平行面投影面平行面 平行于一個投影面，垂直于另兩個投影面。 正平面：平行于V面，對H，W面垂直 水平面：平行于H面，對V，W面垂直 側(cè)平面：平行于W面，對H，V面垂直山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系正平面的投影

17、山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系水平面山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系正平面山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系側(cè)平面山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系投影面平行面投影特性投影面平行面投影特性 平面所平行的投影面上的投影反映實形；（實形性）（實形性） 平面在另外兩個投影面上的投影均積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。 （積聚性）（積聚性）山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系3.3.一般位置平面一般位置平面 對V，H，W面都傾斜，不在同一直線上的三點構(gòu)成的平面。山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系一般位置平面的投影山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系一般位置平面投影特性一般位置平面投影特性 三面投影仍為平面圖形，且面積縮小。其投影為和原來形狀類似的圖形。（類似性）（類似性） 山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系三、三、平面內(nèi)的點和直線平面內(nèi)的點和直線山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系1. 平面內(nèi)的點山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系2.平面內(nèi)的直線山東紡織職業(yè)學(xué)院 機電系