換元積分法和分部積分法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1換元積分法和分部積分法換元積分法和分部積分法2主要內(nèi)容：1.第一換元積分法.2.第二換元積分法第1頁(yè)/共31頁(yè)3換元積分法分第一換元積分法和第二換元積分法兩類。求 xdx3cos 分析 由于被積函數(shù)cos3x是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，因此不能直接用基本積分公式Cxxxd sincos 解 xxd33cos31 xdx3cos uducos31Cu sin31Cx 3sin31驗(yàn)證xCx3cos3sin31 Cx 3sin31確實(shí)是cos3x的元函數(shù)，上述方法正確。例1第2頁(yè)/共31頁(yè)4 當(dāng)不定積分不能用基本積分公式直接求出，但被積表達(dá)式具有形式 )()()()(xdxfdxxxf 可作變量代換)

2、(xu 得 duufdxxxf)()()( 而積分 duuf)(可以求出，不妨設(shè) f(u) 的原函數(shù)F(u)， duufxdxfdxxxf)()()()()( CxFCuF )()( 于是有設(shè) f (x) 及)(x 連續(xù)，且)()(ufuF 則作變量代換)(xu 后，有 duufxdxfdxxxf)()()()()( CxFCuF )()( 例1說(shuō)明：定理1（第一換元積分法）可得第3頁(yè)/共31頁(yè)5在不定積分基本公式中若積分變量不是)(),(xxu 連續(xù)）則公式仍成立. 例如自變量 x,而是中間變量 u（設(shè) )1(11 Cuduu Cuduuln1Cuudu arcsin12運(yùn)用第一換元積分法求

3、不定積分的步驟： (1) 把被積函數(shù)分解為兩部分因式相乘的形式，其中 一部分是 ),()(xfx 的函數(shù)的函數(shù)).()(xx 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)另一部分是另一部分是(2)湊微分),()(xddxx 并作變量代換),(xu 從而把關(guān)于積分變量 x 的不定積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于新積分變量 u 的不定積分.由定理1知：第4頁(yè)/共31頁(yè)6求 12xdx 把被積函數(shù)中的 2x+1 看作新變量 u , 即令 12221xdx 12xdx求 dxxx2sin2把被積函數(shù)中的2x看作新變量 u，即令2xu 得得且且,2xdxdu dxxx2sin2 ududxxsinsin22Cu cos例2解例3解u=2x+1 ,得 u

4、du21Cu ln21Cx 12ln21Cx 2cos第5頁(yè)/共31頁(yè)7 21xxdx 21221xxdx把被積函數(shù)中的看作新變量u，即令21xu 得得且且,2xdxdu Cu 21x 求 21xxdx 第一換元積分法的關(guān)鍵是“湊微分”，因而第一換元積分法又稱為湊微分法。例4解 221)1(21xxd udu21Cx 21 熟練以后，新變量 u 可以省略不寫。第6頁(yè)/共31頁(yè)8求 22xadx解 22xadx求)0(,22 axadx 22211axdxaxadx解Cax arcsin例5例6 axdaxaaxdxa22211111Cax arctan axdax211第7頁(yè)/共31頁(yè)9求 2

5、axdx2解 2axdx2 dxaxaxa1121 axaxdaxaxda)()(21 Caxaxa lnln21由上例易得Caxaxaxadx ln2122例7 axdxaxdxa21Caxaxa ln21第8頁(yè)/共31頁(yè)10求 xdxtan xdxtan解 xxddxxxcoscoscossin類似地可得 Cxxdxsinlncot求 xdxsec xdxsec解 xxdxxdx2coscoscosCxx sin1sin1ln21類似地可得Cxxxdx cotcsclncsc例8例9Cx cosln xxd2sin1sinCxx tansecln第9頁(yè)/共31頁(yè)11上述例5例9的結(jié)果可以當(dāng)

6、公式使用，即基本積分公式（二） Cxxdxcoslntan)14( Cxxdxsinlncot)15(Cxxxdx tanseclnsec)16(Cxxxdx cotcsclncsc)17()0(arcsin)18(22 aCaxxadxCaxaxadx arctan1)19(22 Caxaxaaxdxln21)20(22注意：第10頁(yè)/共31頁(yè)12求 xxdxsin xxdxsin解Cxx cotcscln2求 294xdx解 294xdx 2)3(4331xxd 例10和例11都是先湊微分，后利用公式17和公式19求積分的。例10例11注意Cxdxxxd csc2sin2xarctanC1

7、362第11頁(yè)/共31頁(yè)13求 322xxdx解法一 322xxdx dxxx311141 Cxx 3ln1ln41)3()3(1)1(41 xxdxxdCxx 31ln41 此解法是先將被積函數(shù)化為部分分式，然后再湊微分求出結(jié)果。例12注意:第12頁(yè)/共31頁(yè)14解法二 322xxdx 4)1(2xdxCxx 2)1(2)1(ln41 解法二是將被積函數(shù)的分母配成完全平方，再湊微分后應(yīng)用公式20求出積分結(jié)果。當(dāng)公式比較熟悉時(shí)，解法二比解法一簡(jiǎn)單。 因此，由例12可知，對(duì)被積函數(shù)靈活地進(jìn)行恒等變形，綜合應(yīng)用積分性質(zhì)和積分公式是求積分的必需的。 4)1()1(2xxd注意：Cxx 31ln41第

8、13頁(yè)/共31頁(yè)15求 xdxx3sincos xdxx3sincos Cxxxd43sin41sinsin解法一解法二 xdxx3sincos xdxxcos)cos1(cos2 xxdxxdcoscoscoscos3Cxx 24cos21cos41 同一積分可有不同的解法，其結(jié)果在形式上可能不同，但實(shí)際上它們只相差一個(gè)常數(shù)。例13注意：第14頁(yè)/共31頁(yè)16第一換元積分法是通過(guò)變量代換),(xu 將積分我們也常常會(huì)遇到相反的情形，即適當(dāng)選擇變量代換),(tx 將積分 dxxf)(化為積分,)()( dtttf 若CtFdtttf )()()( 則得另一種形式的換元積分法:設(shè) f(x) 連續(xù)

9、，的導(dǎo)數(shù))(t , 0)( t 連續(xù)，且若CtFdtttf )()()( 則 dxxf)(CxFCtFdtttf )()()()(1 定理中關(guān)于連續(xù)性的假設(shè)是為了保證有關(guān)的原函數(shù)存在， 關(guān)于0)( t 的假設(shè)是為了保證能從)(tx )(tx 解出 t ，最終消去變量 t 。 定理2（第二換元積分法） dxxxf)()( 化為 duuf)(進(jìn)行積分。第15頁(yè)/共31頁(yè)17運(yùn)用第二換元積分法的主要步驟:),(tx 從而將關(guān)于積分變量 x 的不定積分化為關(guān)于積分變量 t 的不定積分。關(guān)鍵是)(tx 存在反函數(shù)。 第二換元積分法主要解決被積函數(shù)中帶根號(hào)的一類)(tx 積分，去根號(hào)是選的主要思路。求 x

10、dx1令 xdx1, tx 則,2,2tdtdxtx 于是 dttttdt111212Ctt 1ln 2Cxx )1ln( 2例14解是作變量代換第16頁(yè)/共31頁(yè)18求 3xxdx令,6tx 則,6,52336dttdxtxtxtx 因此得 3xxdx 2356ttdtt dttttdttt111611)1(623Ctttt )1ln(663223Cxxxx )1ln(6632663例15解 163tdtt第17頁(yè)/共31頁(yè)19求 )0(22adxxa令 ),22(sin ttax此時(shí),cos,cossin1sin222222tdtadxtatataaxa 于是 tdtatdtata22co

11、scoscos dxxa22 Cttadtta)22sin(2)2cos1(222Cttta )cossin(22由于,sintax 所以axatxtaxt22cos,arcsin,sin 于是 Caxaaxaxadxxa)(arcsin222222Caxaxax )arcsin(21222例16解第18頁(yè)/共31頁(yè)20求 )0(22aaxdx令),22(tan ttax則tdtadxtataataax2222222secsec1tantan Ctttdtttdtaxdxtanseclnsecsecsec222為了消去t，還原為x，除了可用例16的解析法外，還可用三角形法：，即由taxtan

12、axt tan作直角三角形(如圖),從而易得aaxt22sec ，于是12222lnCaxaaxaxdx Cxax 22ln)ln(1aCC xa22ax t例17解由第19頁(yè)/共31頁(yè)21求 )0(22aaxdx令)20(sec ttax，則taxaaxaaxtan1secsec222222 于是根據(jù)axt sec作直角三角形（如圖），aaxt22tan ，從而 12222lnCaaxaxaxdxCaxx 22ln)ln(1aCC xa22ax t得例18解tdttadxtansec Ctttdttatdttaaxdxtanseclnsectantansec22第20頁(yè)/共31頁(yè)22綜合例1

13、7，例18，得公式)0(ln2222 aCaxxaxdx求 dxxx211解 dxxx211 2211xxdxxdx 2221)1(211lnxxdxxCxxx 2211ln 第二換元積分法可以用來(lái)解決被積函數(shù)中帶有根號(hào)的某些積分：1，當(dāng)根號(hào)內(nèi)含有x的一次函數(shù)，如,3baxbax 可分別令;,32tbaxtbax 2，當(dāng)被積函數(shù)含有根式222222,axaxxa 時(shí)，可分別作三角代換.sec,tan,sintaxtaxtax 例19第21頁(yè)/共31頁(yè)23分部積分法是與兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)法則對(duì)應(yīng)的積分法。設(shè)函數(shù) u= u (x)，v = v (x) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)為vuvu

14、uv )(或vuuvvu )(對(duì)上式兩邊求不定積分，得 vdxudxuvdxvu)(即 vdxuuvdxvu vduuvudv或上述公式叫做分部積分公式。第22頁(yè)/共31頁(yè)24運(yùn)用分部積分公式求不定積分 dxxf)(的主要步驟是:把被積函數(shù) f (x) 分解為兩部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作 u ，另一部分因式看作 v, 而后套用公式，把求不定積分 dxvu 的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不定積分 vdxu的問(wèn)題。第23頁(yè)/共31頁(yè)25求 dxxex應(yīng)用公式, vdxuuvdxvu,xevxu 設(shè)設(shè), 1xevu 則則代入公式，得求 xdxxcos設(shè),sin, 1,cos,xvuxvxu 則則代入公式

15、，得 Cxxxxdxxxxdxxcossinsinsincos在上例中如果設(shè)221,sin,cosxvxuxvxu 則則于是有 xdxxxxxdxxsin2cos2cos22反而出現(xiàn)了比原積分更復(fù)雜的積分，可見(jiàn)運(yùn)用分部積分公式的關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇.vu 和和例1解例2解注意： CexCexedxexedxxexxxxxx)1(第24頁(yè)/共31頁(yè)26一般地，選擇vu 和和的原則是：；易于求易于求由由vv , 12，不定積分比原不定積分容易求出。 vdxu dxvu當(dāng)被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積時(shí)，我們可以按照“反、對(duì)、冪、指、三”（即反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的順序，選擇

16、排列次序在前的函數(shù)作為u，而將排在后的另一個(gè)函數(shù)選作v。求 xdxln把lnx看作u，dx看作dv，用公式, vduuvudv得 dxxxxxxxdxxxdx1lnlnlnlnCxxCxxx )1(lnln例3解第25頁(yè)/共31頁(yè)27求 dxexx2解 dxxeexdexdxexxxxx2222 )(2222dxexeexxdeexxxxxxCexxCexeexxxxx )22()(222 當(dāng)應(yīng)用分部積分公式后得到的積分還需用分部積分公式時(shí)，可以繼續(xù)使用，直到可以求出積分結(jié)果為止。例4就是用了兩次分部積分公式后才求出積分結(jié)果的。例4注意：第26頁(yè)/共31頁(yè)28求 xdxexsin xdexex

17、dexdxexxxxsinsinsinsin解 xxxxdexexdxexecossincossin2 xdexexexxxcoscossin xdxexxexxsin)cos(sin移項(xiàng)，兩邊除以2，并加積分常數(shù)，得 Cxxexdxexx)cos(sin2sin 當(dāng)兩次應(yīng)用分部積分法后又出現(xiàn)了原積分時(shí)，我們是用解方程的方法求出積分結(jié)果的。例5注意：第27頁(yè)/共31頁(yè)29求 dxxarctan令, tx ,22dtdxtx 則則代入原積分，得 tdttttdtdxxarctanarctanarctanarctan222 dttttt2221arctan 221arctantdtdtttCttt

18、t arctanarctan2Cttt arctan)1(2Cxxx arctan)1( dttttt222111arctan 有時(shí)我們需要綜合應(yīng)用前面講過(guò)的各種積分方法，如例6就綜合應(yīng)用了換元積分法、分部積分法和直接積分法。 例6解注意：第28頁(yè)/共31頁(yè)301、湊微分法湊微分法用于被積函數(shù)為)()(xxf 的形式的積分，湊微分后可直接應(yīng)用積分公式。要記住常見(jiàn)函數(shù)的湊微分公式。湊微分就是把微分公式反過(guò)來(lái)用。2、第二換元積分法 第二換元積分法對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，主要用于去除被積函數(shù)中所含的根號(hào)。當(dāng)根號(hào)下是線性函數(shù)例如 ax+b 時(shí)，作冪代換.tbax 當(dāng)根號(hào)下是 x 的二次函數(shù)時(shí)，則作三角代換，例如根號(hào)內(nèi)是