復(fù)變函數(shù)教學(xué)資料第一章_1

1、第一章第一章 隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 概率論起源于人們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究，迄 今已經(jīng)形成了一套完整的理論體系，且成 為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。它作為研究隨機(jī) 現(xiàn)象的主要工具，在自然科學(xué)、工程技術(shù) 及社會(huì)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，如質(zhì)量管 理、自動(dòng)控制、醫(yī)藥和農(nóng)業(yè)試驗(yàn)，金融保 險(xiǎn)及日常生活中的天氣預(yù)報(bào)、自然災(zāi)害的 預(yù)測(cè)等。并形成了信息論、排隊(duì)論、可靠 性理論等學(xué)科。它也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。1.1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)1.1.1 計(jì)數(shù)公式計(jì)數(shù)公式乘法原理：若完成一件事情要經(jīng)過(guò) 個(gè)步驟，其中第一步有 種不同的方法，第二步有 種不同的方法，第 步有 種不同的方法，則完成這件

2、事情有 種不同的方法。rr1n2nrn1riin完成這件事共有 不同的方法.riin1第二類方案中有 種不同方法，2n其中第一類方案中有 種不同方法，1n加法原理：若完成一件事情有 類方案，r第 類方案中有 種不同的方法，則完rnr成一列 ，稱為一個(gè)排列。將其nk1排列：從 個(gè)不同元素中按順序取 個(gè)排kn容易得到所有可能的排列種數(shù)記為 ，利用乘法kna!kn!n1kn2n1nnakn一組 稱為一個(gè)組合。,nk1全排種數(shù)為!napnnn特別地，當(dāng) 時(shí)，稱為全排列。這時(shí)kn組合：從 個(gè)不同元素中任取 個(gè)元素組成nk所有可能的組合數(shù)記為 或 knc.nk.!k!kn! n!kaaknkn有： 即 ,

3、 !kcaknkn從 個(gè)元素中取 個(gè)元素排成一列可分為兩步進(jìn)行，首先從 個(gè)元素中取 個(gè)組成knnk 一組進(jìn)行排列，共有 種方法，利用乘法原理knc!k它是 展開式中 的系數(shù)。并且有 乘法原理與加法原理在古典概率的計(jì)算中非常有用，它也是推導(dǎo)許多組合計(jì)數(shù)公式任取四個(gè)，問(wèn)能組成多少個(gè)四位偶數(shù)？ 例一例一 從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)的工具。解法一解法一 組成的四位數(shù)是偶數(shù)，要求末位數(shù)nx1kx.ccknnkn為0，2，4，可先選末位數(shù)，共 種，前位數(shù)，減去0作首位，選2，4作末位數(shù)，最三位數(shù)的選取方法有 種，而0不能作首后從剩余四位數(shù)中選兩個(gè)數(shù)排列，所以組解法二 首先考慮0作為尾數(shù)的四位偶數(shù)有成

4、的偶數(shù)個(gè)數(shù)為 種，再考慮2，4選一作尾數(shù)，13c35a.156accac24121135133511ac 從其它不為零的四個(gè)數(shù)選一作首數(shù)，最后從剩余的四個(gè)數(shù)中選兩個(gè)數(shù)排列有 種，由乘法原理和加法原理有241412acc156accac2414123511各組元素的數(shù)目分別為,nkk ,k ,kr1iir21 例二例二 將 個(gè)不同的元素分為 個(gè)組nk由乘法原理易知，分法的總數(shù)為 如將15名新生任意分到三個(gè)班中，其 種分法。中一班四名、二班五名、三班六名，共有!21211rkkkknknkkkncccrr!6!5!4!151.1.2 集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算它指具有某類共同性質(zhì)的事物的全體。通 集

5、合是集合論中的一個(gè)最基本的概念，于 ”；反之，若 不是 中的元素，記為 讀作aaa,aa常集合用大寫字母 表示。構(gòu)成,a b c 集合 的每個(gè)事物稱為集合 的元素，aa元素一般用小寫字母 表示。若, a b c , ,a是集合 的元素，記為 讀作“ 屬,aaaa集合，關(guān)于集合之間的關(guān)系，常見(jiàn)的有以數(shù)一一對(duì)應(yīng)，則稱該集合為可數(shù)（可列）下幾種“ 不屬于 ”，若一個(gè)集合的元素與自然aaba ba ababbasabbasbaba aa ab ba 不含有任何元素的集合稱為空集，記為 ，空集是任何集合的子集。容易理解若 則一定有 稱相互,cb,ba;ca 包含的集合為相等集合，即若 且,ba 則稱 與

6、 相等，記為 .,ab abba 并集：由屬于 或?qū)儆?的元素組ab成的集合稱為 與 的并集，記為,baab讀作“ 并 ”。ab.:bxaxxba或顯然， 若 則一定有 .aa,ab 并集也稱為和集。.aba.:bxaxxba且成的集合稱為 與 的交集，記為baab讀作“ 交 ”.ba顯然對(duì)任意集合 ， 若.a,ab a 交集：由同時(shí)屬于 和 的元素組ab則 交集也稱為積集。 也常.babba.:bxaxxba且特別地，若 是包含所有元素的集合，則寫作.ab 差集：由屬于 但不屬于 的元素ab 讀作“ 減 ”.,baba若 與 不相交，即 ，則baabaab組成的集合稱為 與 的差集，記為ab 關(guān)于集合之間的運(yùn)算規(guī)律，常見(jiàn)的有 （1）交換律：以下幾條.abba;abba稱之為全集，則稱 為集合 在全集 中的余集或補(bǔ)集，記為 容易驗(yàn)證.aa a.aac或a （2）結(jié)合律： （3）分配律： （4）德摩根（de morgan）定律：.cbacba;cbacba.cbcacba;cbcacba.baba;baba上述運(yùn)算法則可以推廣到任意有限多個(gè)及可數(shù)無(wú)窮多個(gè)