高數(shù)公式與定義高級版

1、第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)一、 函數(shù)：五大類基本初等函數(shù)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)反函數(shù)（與原函數(shù)關(guān)于Y=X相對稱）三角函數(shù)：正割函數(shù)，余割反三角函數(shù)：（收斂） （發(fā)散） （收斂） （發(fā)散）收斂的界限是（-1,1）函數(shù)特性：單調(diào)性 奇偶性 有界性 周期性二、 極限1、 數(shù)列的極限（收斂發(fā)散）收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一有界保號）Ps:函數(shù)化簡到哪一步可以帶數(shù)值？（化簡到只余一個(gè)X項(xiàng)或上下X的次數(shù)一致）2、 函數(shù)的極限極限存在的充要條件是左右極限都存在并且相等函數(shù)極限的性質(zhì)（唯一局部有界局部保號）夾逼準(zhǔn)則單調(diào)有界函數(shù)必有極限（1） 兩個(gè)重要極限（2） 無窮小： 當(dāng)（或）時(shí)的極限為零 高階，低階，同階，等價(jià)

2、無窮小的性質(zhì)：（1）有限個(gè)無窮小的和是無窮小（2）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。?）有限個(gè)無窮小的乘積是無窮?。?）有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小等價(jià)無窮?。簳r(shí)Ps:無窮小可以在使用，無論、還是三、 連續(xù)1.連續(xù)條件：自變量變化量趨于零函數(shù)值變化量也趨于零2. 間斷點(diǎn)：第一類，左右極限都存在；可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)第二類無窮間斷點(diǎn)，振蕩間斷點(diǎn)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：零點(diǎn)定理：方程根的存在性有界性和最值定理第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、 相關(guān)概念1、 導(dǎo)數(shù)的兩大定義式；2、 左右導(dǎo)數(shù)；函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在并且相等3、 幾何意義；切線方程：；法線

3、方程：4、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處必連續(xù)，但反之不一定成立，即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，它在該點(diǎn)不一定可導(dǎo)可以看課本27頁注釋理解5、16個(gè)基本導(dǎo)數(shù)公式，4個(gè)求導(dǎo)法則二、 六大類函數(shù)求導(dǎo)1、 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；2、 隱函數(shù)求導(dǎo)；求導(dǎo)兩法1方程兩邊對求導(dǎo)，求導(dǎo)時(shí)要把看作中間變量 2. 3、 參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)； 4、 冪指函數(shù)求導(dǎo)；復(fù)合求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法5、 分段函數(shù)求導(dǎo)；6、 抽象函數(shù)求導(dǎo)。三、 微分1、 概念；可微可微必可導(dǎo)，可導(dǎo)必可微微分公式與導(dǎo)數(shù)公式基本相同，只是多了單位dx2、 復(fù)合函數(shù)微分法則第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、 微分中值定理拉格朗日和羅爾的共同條件：

4、（1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；羅爾定理：駐點(diǎn)（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即， 即兩個(gè)值相等 那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)（），使得拉格朗日中值定理：內(nèi)至少有一點(diǎn)（） 即必有一個(gè)值在某瞬間變化量為0（拉格朗日是羅爾定理的補(bǔ)充）兩個(gè)重要推論： 如函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒為零，那么它在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù) 與在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒有 則這兩個(gè)函數(shù)在 內(nèi)至多相差一個(gè)常數(shù)二、 洛必達(dá)法則需要的條件：（1）當(dāng)零或無窮時(shí)，函數(shù)及都趨于零；（2）在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)及都存在且；（3）存在（或?yàn)闊o窮大），可應(yīng)用 兩種類型還有三種應(yīng)用方法P46三、 單調(diào)性和凹凸性單調(diào)性：求單調(diào)區(qū)間；（關(guān)鍵：找駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)）求極值；可

5、導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)但反過來，函數(shù)的駐點(diǎn)卻不 一定是極值點(diǎn)。Ps:不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)；定義域有限制時(shí)，極值也可能在邊界上。 對應(yīng)拐點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)（X,Y） 證明不等式；證明方程根的唯一性。 極值的第一充分條件（就是判定左正右負(fù)來判定極大極小） 第二充分條件： 在處取得極大值 在處取得極小值 凹凸性： （1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的； （2）若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的 凹凸區(qū)間； 拐點(diǎn)：令，解出這方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間內(nèi)不存在的點(diǎn)四、 漸近線1、 水平漸近線2、 垂直漸近線3. 斜漸近線若（），則就是函數(shù)的斜漸近線.（變量的趨向也可為或） Ps:即斜漸近線有兩種第四章 不定積

6、分一、 原函數(shù)與不定積分的概念；函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間上的不定積分，記作（13+2）原函數(shù)；被積函數(shù)；積分變量；x不定積分的性質(zhì)： 二、 計(jì)算1、（第一類換元法）湊微分法（12種見高數(shù)公式）2、第二類換元法（常見是三角代換，三角代換的目的是化掉根式）（1）當(dāng)被積函數(shù)中含有，可令；（2）當(dāng)被積函數(shù)中含有，可令；（3）當(dāng)被積函數(shù)中含有，可令；3、分部積分法 （一）4小題 （二）2小題？ （三）1小題1.2.3. 即 注意事項(xiàng)： 如被積函數(shù)為冪函數(shù)和 正（余）弦函數(shù)/指數(shù)函數(shù)，分部積分設(shè)冪函數(shù)為u 目的：降冪 如被積函數(shù)為冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)/反三角函數(shù)，則設(shè)后兩者為u 目的：化為

7、x簡單根式的積分第五章 定積分一、 定積分的相關(guān)概念和性質(zhì) 什么是定積分 a積分下限，b積分上限 叫做積分區(qū)間說明：定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)推理：在區(qū)間上連續(xù)，則在上一定可積；若在上可積，則在區(qū)間上不一定連續(xù)，故函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)是在上可積的充分非必要條件Ps：在區(qū)間上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，同樣可積。幾何意義：面積的代數(shù)和 區(qū)間上函數(shù)時(shí)，是由、兩條直線、與軸所圍成的曲邊梯形的面積，曲邊梯形位于軸的下方，表示面積的負(fù)值既取得正值又取得負(fù)值時(shí)，此時(shí)定積分表示軸上方圖形的面積減去軸下方面積所得之差比較性質(zhì)： 定積分對于積分區(qū)間的可加性 定積分的中值定理 （）（類似拉格朗日） 稱為函數(shù)在

8、區(qū)間上的平均值二、 關(guān)于計(jì)算方面的內(nèi)容1、 定積分的計(jì)算； 牛頓萊布尼茨公式 定積分的還原法和分部積分法 定積分的換元法 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足條件： （1），； （2）在（或）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域，則有（原函數(shù)的定義域是新元的值域） 定積分的分部積分法： （參照不定積分的分部積分法） 定積分的兩個(gè)簡便公式 1. 若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則；若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則 第二個(gè)看不懂+_+2、 積分上限的函數(shù)；（1） 變上限定積分； 并且設(shè)為上的一點(diǎn) ,在區(qū)間上連續(xù) 由 變?yōu)?（）變dx為dt（2） 求導(dǎo)運(yùn)算；1. （） 2.對于積分上限函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，求導(dǎo)法則可按下述公式進(jìn)行：積分下限函

9、數(shù)： 積分上下限均有函數(shù)： 定積分的性質(zhì)見高數(shù)公式3、 廣義積分（反常積分）（即在無窮上有確切值）（1） 無窮限的廣義積分； 分為三種情況函數(shù)在無窮區(qū)間/上的反常積分：舉例：存確切值則收斂，無則發(fā)散計(jì)算方法同上；（2） 無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）？ 無界間斷點(diǎn)，瑕點(diǎn)？ 4、 用定積分求面積和體積平面圖形的面積：型區(qū)域 由y=f(x)與y=g(x)和兩條x=?組成 型區(qū)域 由x=f(y)與x=g(y）與兩條y=?組成 要求：（）或（） 旋轉(zhuǎn)體的體積： 1.繞x軸旋轉(zhuǎn)的體積 2.繞y軸旋轉(zhuǎn)的體積 相當(dāng)于面積乘以高第六章 微分方程一、 相關(guān)概念定義：未知函數(shù)，未知函一般地，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)

10、的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程，數(shù)的導(dǎo)數(shù)，自變量；階，解：如果函數(shù)滿足一個(gè)微分方程，則稱它是該微分方程的解通解：如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同時(shí)初始條件： 當(dāng)自變量取某值時(shí)，要求未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)取給定值，這種條件稱為初始條件特解：滿足給定初始條件的解 二、 四類方程1、 可分離變量的微分方程；2、 一階線性微分方程；1. 一階齊次線性： 通解 ：2. 一階非齊次線性的 通解： 區(qū)別：Q(X)是否為零3、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程當(dāng)時(shí)，方程 稱為二階常系數(shù)齊次線性微 分方程。定理1 若 、 是齊次線性方程 的兩個(gè)解，則 也是它的解，且當(dāng) 與

11、線性無關(guān)時(shí)， 是其通解定理2 若為非齊次線性方程的某個(gè)特解，為對應(yīng)的齊次線性方程的通解，則為非齊次線性方程的通解 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解考查特征方程，設(shè)、為其兩個(gè)特征根，則1. 不相等的實(shí)根（、為任意常數(shù)）2. 相等的實(shí)根3. 共軛復(fù)根 其中，4、 二階常系數(shù)非齊次線性。這里只考慮這一種形式（、為常數(shù)，為關(guān)于的次多項(xiàng)式）.定理1同上定理2定理2：定理1中的的形式一定為（求最終特解可能用到待定系數(shù)法），其中即為原非齊次方程中的，是與同次的多項(xiàng)式（一般不相等），中的是常數(shù)，且只能取三個(gè)數(shù)中的一個(gè)，按如下規(guī)則取值當(dāng)特征方程的根是： 非根，k=0; 單根，k=1； 二重根k=2.（單根是只有

12、一個(gè),與其他跟都不相同的根，二重根是有兩個(gè)根相同）如：x2-1=0 有兩個(gè)單根 x2=0 有一各二重根 x2(x2-1)=0 有一個(gè)二重根,兩個(gè)單根）第八章 多元函數(shù)微分學(xué)一、二元函數(shù)，三元函數(shù)二元函數(shù)的定義域：平面區(qū)域（平面點(diǎn)集），圖形空間曲面三、 求偏導(dǎo)數(shù)；求全微分；變量的對稱性四、 二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；五、 二元函數(shù)的極值。第九章 二重積分一、 相關(guān)概念面積元素，積分區(qū)域：平面閉區(qū)域曲頂柱體的體積二次積分,累次積分交換積分次序二、 計(jì)算（直角坐標(biāo)系中的計(jì)算）極坐標(biāo)系第十章 無窮級數(shù)一、 無窮級數(shù)的定義，分類，常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)：冪級數(shù) 收斂，發(fā)散；收斂級數(shù)三大性質(zhì)（1,2,5）

13、；三大級數(shù)：調(diào)和級數(shù)，等比級數(shù)（幾何級數(shù)），p-級數(shù)二、 正項(xiàng)級數(shù)審斂法1、比較審斂法；2、比較審斂法的極限形式；3、比值審斂法；階乘4、根值審斂法三、 交錯(cuò)級數(shù)（萊布尼茨定理）四、 絕對收斂，條件收斂五、 冪級數(shù)1、 相關(guān)概念；收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)收斂域，發(fā)散域收斂區(qū)間，收斂半徑R和函數(shù)第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何一、 向量1、 相關(guān)概念：大小，方向模：向量的大小稱為向量的模，記為或單位向量，零向量（向量即為空間中兩點(diǎn)之差）空間直角坐標(biāo)系（三維）坐標(biāo)的兩種表示方法：或正交，方向角，方向余弦平行的充要條件：1. 向量與非零向量平行的充要條件是存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得2. ，3. 或 垂直的充要條件： 或 2、向量的運(yùn)算1.線性運(yùn)算：加法，減法，數(shù)乘 2.數(shù)量積（點(diǎn)乘積） 3.向量積（叉乘積）計(jì)算方法見高數(shù)公式右手法則二、空間曲面和曲線三、平面及其方程1.點(diǎn)法式方程2.一般式方程 （， 不同時(shí)為零）3.截距式方程 （， 均不為零）4.兩平面之間的關(guān)系（看法向量n1與n2） 設(shè)有兩個(gè)平面和 ，即 ,則兩平面平行。 ，即 ，則兩平面垂直。 兩平面夾角即兩法向量夾