奧數(shù)多次相遇問題

1、學員編號：年級：課時數(shù)：學員姓名：輔導科目：學科教師：授課類型授課日期及時段教學內(nèi)容知識框架本講中的行程問題是特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關鍵是看我們是否能夠準確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。一、在做出線段圖后，反復的在每一段路程上利用：路程和 =相遇時間速度和路程差 =追及時間速度差二、解環(huán)形跑道問題的一般方法：環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次這個等量關系往往成為我們解決問題的關鍵。環(huán)線型同一出發(fā)點直徑兩端同向：路程差nSnS

2、+相對 ( 反向 ) ：路程和nS例題精講【例 1 】兩輛電動小汽車在周長為360 米的圓形道上不斷行駛，甲車每分行駛20 米甲、乙兩車同時分別從相距90 米的 A， B 兩點相背而行，相遇后乙車立即返回，甲車不改變方向，當乙車到達B 點時，甲車過B 點后恰好又回到A 點此時甲車立即返回（乙車過B 點繼續(xù)行駛），再過多少分與乙車相遇？【鞏固】 周長為 400 米的圓形跑道上，有相距100 米的 A， B 兩點甲、乙兩人分別從A， B 兩點同時相背而跑，兩人相遇后，乙即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑，當甲跑到A 時，乙恰好跑到B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么甲追上乙時，甲從出發(fā)開始，共跑了多少米?【

3、例 2 】甲、乙兩車同時從同一點A出發(fā)，沿周長 6 千米的圓形跑道以相反的方向行駛甲車每小時行駛65 千米，乙車每小時行駛 55 千米一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上一車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第 11 次相遇的地點距離有多少米？【鞏固】 二人沿一周長400 米的環(huán)形跑道均速前進，甲行一圈4 分鐘，乙行一圈7 分鐘，他們同時同地同向出發(fā)，甲走 10 圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時二人都要擊掌。問第十五次擊掌時，甲走多長時間乙走多少路程？【例 3 】下如右圖所示，某單位沿著圍墻外面的小路形成一個邊長300 米的正方形甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時

4、出發(fā)如果甲每分走90 米，乙每分走70 米，那么經(jīng)過多少時間甲才能看到乙？【鞏固】 如圖，一個長方形的房屋長13 米，寬 8 米甲、乙兩人分別從房屋的兩個墻角出發(fā)，甲每秒鐘行3 米，乙每秒鐘行 2 米. 問 : 經(jīng)過多長時間甲第一次看見乙 ?【例 4 】如圖，長方形中=54。位于A點的第一只螞蟻按的方向，位于C點的第二ABCDABBCABCDA只螞蟻按 C BA D C的方向同時出發(fā)，分別沿著長方形的邊爬行。如果兩只螞蟻第一次在B 點相遇，則兩只螞蟻第二次相遇在() 邊上?！眷柟獭考?、乙兩人從周長為 1600 米的正方形水池的方向行走。甲每分行 50 米，乙每分行ABCD相對的兩個頂點A， C

5、 同時出發(fā)繞池邊沿ABCDA46 米，甲、乙第一次在同一邊上行走，是發(fā)生在出發(fā)后的第多少分？第一次在同一邊上行走了多少分？【例 5 】在一個周長90 厘米的圓上，有三個點將圓周三等分。A， B，C 三個爬蟲分別在這三點上，它們每秒依次爬行 10 厘米、 5 厘米、 3 厘米。如果它們同時出發(fā)按順時針方向沿圓周爬行，那么它們第一次到達同一位置需多長時間？【鞏固】 如圖 2，一個邊長為50 米的正方形圍墻，甲、乙兩人分別從A、C 兩點同時出發(fā)，沿鬧墻按順時針方向運動，已知甲每秒走5 米，乙每秒走3 米，則至少經(jīng)過秒甲、乙走到正方形的同一條邊上?！纠?6 】如圖所示，大圈是400 米跑道，由A 到

6、B 的跑道長是200 米，直線距離是50 米。父子倆同時從A 點出發(fā)逆時針方向沿跑道進行長跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到B 點便沿直線跑。父親每100 米用 20 秒，兒子每 100 米用 19 秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時，第一次與父親相遇？AB【鞏固】 如圖 , 學校操場的400 米跑道中套著300 米小跑道 , 大跑道與小跑道有200 米路程相重甲以每秒6 米的速度沿大跑道逆時針方向跑, 乙以每秒4 米的速度沿小跑道順時針方向跑, 兩人同時從兩跑道的交點A 處出發(fā) , 當他們第二次在跑道上相遇時, 甲共跑了多少米?甲乙甲乙AA乙乙B甲甲【例 7 】三個環(huán)行跑道如圖排列，每

7、個環(huán)行跑道周長為210 厘米；甲、乙兩只爬蟲分別從A 、 B 兩地按箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、 2 號環(huán)行跑道作“ 8”字形循環(huán)運動，乙爬蟲繞3、 2 號環(huán)行跑道作“ 8”字形循環(huán)運動，已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別為每分鐘20 厘米和每分鐘l5 厘米，甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了多少厘米?A123B【鞏固】 一個圓周長90 厘米，3 個點把這個圓周分成三等分，3 只爬蟲A ，B，C分別在這3 個點上它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行A 的速度是10厘米/秒，B 的速度是5厘米/秒，C的速度是3 厘米 / 秒， 3 只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置？【例8 】下圖中有兩個圓

8、只有一個公共點A，大圓直徑箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行。48 厘米，小圓直徑30 厘米。兩只甲蟲同時從A 點出發(fā)，按問：當小圓上甲蟲爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠？【鞏固】 如圖，兩個圓環(huán)形跑道，大圓環(huán)的周長為速度為每秒4 米。甲、乙二人同時由600 米，小圓環(huán)的周長為 400 米。甲的速度為每秒 6 米，乙的 A 點起跑，方向如圖所示，甲沿大圓環(huán)跑一圈，就跑上小圓環(huán)，方向不變，沿小圓環(huán)跑一圈，又跑上大圓環(huán)，方向也不變；而乙只沿小圓環(huán)跑。問：甲、乙可能相遇的位置距離A 點的路程是多少？( 路程按甲跑的計算)甲的方向甲乙的的方方向向【例 9 】甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習跑步，

9、兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去。相遇后甲比原來速度增加 2米秒，乙比原來速度減少2米秒，結(jié)果都用24秒同時回到原地。求甲原來的速度。【鞏固】 環(huán)形跑道周長是500 米，甲、乙兩人從起點按順時針方向同時出發(fā)。甲每分跑120 米，乙每分跑100 米，兩人都是每跑200 米停下休息1 分。甲第一次追上乙需多少分？【例10 】如圖所示，甲、乙兩人從長為400 米的圓形跑道的A 點背向出發(fā)跑步。跑道右半部分( 粗線部分）道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒4 米。兩人一直跑下去，問：他們第99 次迎面相遇的地方距A 點還有米

10、。A【鞏固】 甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓練：他們同時從同一地點出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲速度的2/3. 甲跑第二圈時速度比第一圈提高了 1/3 ；乙跑第二圈時速度提高了 1/5 已知沿跑道看從甲、乙兩人第二次相遇點到第一次相遇點的最短路程是 190 米，那么這條橢圓形跑道長多少米 ?【例11 】如圖 3-5, 正方形在 CD上的時速是ABCD是一條環(huán)形公路已知汽車在 AB上時速是 60 千米 , 在 DA上的時速是 80 千米從 CD上一點90 千米，在 BC上的時速是 P, 同時反向各發(fā)出一輛汽車120 千米， ,

11、 它們將在AB中點相遇如果從 PC的中點 M,同時反向各發(fā)出一輛汽車 , 它們將在 AB 上一點 N 相遇問 A 至 N 的距離除以 N至 B 的距離所得到的商是多少 ?【鞏固】 一條環(huán)形道路，周長為2 千米甲、乙、丙3 人從同一點同時出發(fā)，每人環(huán)行2 周現(xiàn)有自行車2 輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎已知甲步行的速度是每小時5 千米，乙和丙步行的速度是每小時4 千米，3 人騎車的速度都是每小時20 千米請你設計一種走法，使3 個人2 輛車同時到達終點那么環(huán)行2 周最少要用多少分鐘?課后作業(yè)【隨練1】下圖是一個玩具火車軌道，A點有個變軌開關，可以連接B

12、或者C.小圈軌道的周長是米，大圈軌道的周長是3 米 .開始時， A連接C，火車從A點出發(fā)，按照順時針方向在軌道上移動，同時變軌開關每隔1分鐘變換一次軌道連接.若火車的速度是每分鐘10 米，則火車第10 次回到A點時用了秒鐘 .ACB【隨練 2】如圖所示， 甲沿長為 400 米大圓的跑道順時針跑步，乙則沿兩個小圓八字形跑步( 圖中給出跑動路線的次序： 1234 1L L ）。如果甲、乙兩人同時從A 點出發(fā)，且甲、乙二人的速度分別是每秒3 米和 5米，問兩人第三次相遇的時間是出發(fā)后秒。A1432B【隨練 3】如圖， 8 時 10 分 , 有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距60 米的 A，B 兩地順

13、時針方向沿長方形ABCD的邊走向 D 點 . 甲 8 時 20 分到 D點后 , 丙、丁兩人立即以相同速度從D點出發(fā) . 丙由 D 向 A 走去 ,8 時 24 分與乙在 E 點相遇；丁由D 向 C走去， 8 時 30 分在 F 點被乙追上 . 問三角形BEF的面積為多少平方米?【隨練又過 84 】在一圓形跑道上，甲從 A 點、乙從 B 點同時出發(fā)反向而行，分兩人再次相遇 . 甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？6 分后兩人相遇，再過4 分甲到達B 點，【隨練 5】甲、乙、丙在湖邊散步，三人同時從同一點出發(fā)，繞湖行走，甲速度是每小時千米，乙速度是每小時千米，她們二人同方向行走，丙與她們反方向行走，半個

14、小時后甲和丙相遇，在過5 分鐘，乙與丙相遇。那么繞湖一周的行程是多少？【隨練 6】下圖是一個邊長90 米的正方形，甲、乙兩人同時從A 點出發(fā)，甲逆時針每分行75 米，乙順時針每分行45 米兩人第一次在CD邊（不包括C， D 兩點）上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？【隨練 7】如圖是一個跑道的示意圖，沿ACBEA 走一圈是 400 米，沿 ACBDA 走一圈是 275米，其中 A 到 B 的直線距離是 75米甲、乙二人同時從A 點出發(fā)練習長跑，甲沿ACBDA 的小圈跑，每 100米用 24秒，乙沿 ACBEA 的大圈跑，每 100米用 21 秒，問： 乙跑第幾圈時第一次與甲相遇？ 發(fā)多長時間甲、乙再次在A 相遇？ACDEB【隨練 8】有一種機器人玩具裝置，配備長、短不同的兩條跑道，其中長跑道長400 厘米，短跑道長300 厘米，且有 200 厘米的公用跑道( 如下圖 ) 。機器人甲按逆時針方向以每秒6 厘米的速度在長跑道上跑動，機