運籌學教學課件第三章運輸問題

1、1第三章 運輸問題 運輸問題與有關概念 運輸問題的求解表上作業(yè)法 運輸問題應用建模本章內(nèi)容重點21.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念 問題的提出 一般的運輸問題就是要解決把某種產(chǎn)品從若干個產(chǎn)地調(diào)運到若干個銷地，在每個產(chǎn)地的供應量與每個銷地的需求量已知，并知道各地之間的運輸單價的前提下，如何確定一個使得總的運輸費用最小的方案。31.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念 例4.1:某公司從兩個產(chǎn)地a1、a2將物品運往三個銷地b1、b2、b3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最??？ b1 b2 b3 產(chǎn)量產(chǎn)

2、量 a1 6 4 6 200 a2 6 5 5 300 銷量銷量 150 150 200 4 解： 產(chǎn)銷平衡問題： 總產(chǎn)量 = 總銷量 設 xij 為從產(chǎn)地ai運往銷地bj的運輸量，得到下列運輸量表： b1 b2 b3 產(chǎn)量產(chǎn)量 a1 x11 x12 x13 200 a2 x21 x22 x23 300 銷量銷量 150 150 200 1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念5 min z = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x

3、12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij0(i=1,2；j=1,2,3）1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念6 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 系數(shù)矩陣1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念7 模型系數(shù)矩陣特征 1.共有m+n行，分別表示各產(chǎn)地和銷地；mn列，分別表示各決策變量； 2.每列只有兩個 1，其余為 0，分別表示只有一個產(chǎn)地和一個銷地被使用。1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念8 一般運輸問題的線性規(guī)劃模型及求解思路 一般運

4、輸問題的提法： 假設 a1, a2,am 表示某物資的m個產(chǎn)地；b1,b2,bn 表示某物資的n個銷地；ai表示產(chǎn)地 ai 的產(chǎn)量；bj 表示銷地 bj 的銷量；cij 表示把物資從產(chǎn)地 ai 運往銷地 bj 的單位運價（表4-3）。如果 a1 + a2 + + am = b1 + b2 + + bn則稱該運輸問題為產(chǎn)銷平衡問題；否則，稱產(chǎn)銷不平衡。首先討論產(chǎn)銷平衡問題。1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念9表4-3 運輸問題數(shù)據(jù)表1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念 銷地產(chǎn)地b1 b2 bn產(chǎn)量a1 a2 amc11 c12 c1nc21 c22 c2n cm

5、1 cm2 cmna1 a2 am銷量b1 b2 bn 設 xij 為從產(chǎn)地 ai 運往銷地 bj 的運輸量，根據(jù)這個運輸問題的要求，可以建立運輸變量表（表 4-4）。10表4-4 運輸問題變量表1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念 銷地產(chǎn)地b1 b2 bn產(chǎn)量a1 a2 amx11 x12 x1nx21 x22 x2n xm1 xm2 xmna1 a2 am銷量b1 b2 bn11 m nmin z = cij xij （4-1） i=1 j=1 n s.t. xij ai i = 1,2,m （4-2） j=1 m xij (=,)bj j = 1,2,n （4-3） i=

6、1 xij 0 (i=1,2,m;j=1,2,n)（4-4） 1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念 于是得到下列一般運輸問題的模型： 在模型（4-1）（4-4）中，式（4-2）為 m 個產(chǎn)地的產(chǎn)量約束；式（4-3）為 n 個銷地的銷量約束。 12 m n min z = cij xij i=1 j=1 n s.t. xij = ai i = 1,2,m (4-5) j=1 m xij = bj j = 1,2,n (4-6) i=1 xij0(i=1,2,m;j=1,2,n) 1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念 對于產(chǎn)銷平衡問題，可得到下列運輸問題的模型：13

7、 在產(chǎn)銷平衡問題中，仔細觀察式（4-2）、 （4-3）分別變?yōu)椋?-5）、（4-6），約束條件成 為等式。 在實際問題建模時，還會出現(xiàn)如下一 些變化： （1）有時目標函數(shù)求最大，如求利潤最 大或營業(yè)額最大等； （2）當某些運輸線路上的能力有限制時， 模型中可直接加入（等式或不等式）約束； 1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念14 (3)產(chǎn)銷不平衡的情況。當銷量大于產(chǎn)量時可加入一個虛設的產(chǎn)地去生產(chǎn)不足的物資，這相當于在式（4-2）每一式中加上 1 個松弛變量，共 m 個；當產(chǎn)量大于銷量時可加入一個虛設的銷地去消化多余的物資，這相當于在式（4-3）每一式中加上 1 個松弛變量，共

8、n 個。1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念15 運輸問題是一種特殊的線性規(guī)劃問題，在求解時依然可以采用單純形法的思路，如圖4-1所示。由于運輸規(guī)劃系數(shù)矩陣的特殊性，如果直接使用線性規(guī)劃單純形法求解計算，則無法利用這些有利條件。人們在分析運輸規(guī)劃系數(shù)矩陣特征的基礎上建立了針對運輸問題的表上作業(yè)法。在這里需要討論基本可行解、檢驗數(shù)以及基的轉換等問題。1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念161.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念基本可行解是否最優(yōu)解結束換基是否圖4-1 運輸問題的求解思路17 運輸問題求解的有關概念 考慮產(chǎn)銷平衡問題，由于我們關心的量均

9、在表4-3與表4-4中，因此考慮把表4-3與表4-4合成一個表, 如下表4-5表4-5 運輸問題求解作業(yè)數(shù)據(jù)表(下頁）1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念181.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念 銷地產(chǎn)地b1b2bn產(chǎn)量a1 c11 x11c12 x12c1n x1na1 a2 c21 x21c22 x22c2n x2na2 amcm1 xm1cm2 xm2cmn xmnam銷量b1b2bn19111111111111111111212222111211mnmmnnxxxxxxxxxa中任意m+n階子式等于零，取第一行到m+n1行與對應的列（共m+n-1列）組成

10、的m+n1階子式1, 1121121,nmnnnxxxxxx，200111111111故r(a)=m+n1所以運輸問題有m+n1個基變量。21 運輸問題的基變量共有 m + n -1 個，a的秩為 m + n -1。 運輸問題的 m + n -1 個變量構成基變量的充分必要條件是不含閉回路。 重要概念: 閉回路、閉回路的頂點特點 運輸問題基變量的1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念22 定義4.1 在表4-5的決策變量格中，凡是能夠排列成下列形式的 xab ,xac ,xdc ,xde ,xst ,xsb (4-7)或 xab ,xcb ,xcd ,xed ,xst ,xat

11、(4-8) 其中，a,d,s 各不相同；b,c,t 各不相同，我們稱之為變量集合的一個閉回路閉回路，并將式（4-7）、式（4-8）中的變量稱為這個閉回路的頂點閉回路的頂點。 為了說明這個特征，我們不加證明的給出一些概念和結論。下面的討論建立在表4-5中決策變量格的基礎上。1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念23例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是閉回路。 若把閉回路的各變量格看作節(jié)點，在表中可以畫出如下形式的閉回路：1.1.運輸問題模型及有關概

12、念運輸問題模型及有關概念 閉回路示意圖24 根據(jù)定義可以看出閉回路的一些明顯特點： (1)閉回路均為一封閉折線，它的每一條邊，或為水平的，或為垂直的； (2)閉回路的每一條邊（水平的或垂直的）均有且僅有兩個閉回路的頂點（變量格）。 1.1.運輸問題模型及有關概念運輸問題模型及有關概念25 x23 b1b2b3b4b5a1 a2 a3 x35a4 x43 x11x12 x25x31 x42表33表33中閉回路的變量集合是x11,x12,x42, x 43, x 23, x 25, x 35, x 31共有8個頂點， 這8個頂點間用水平或垂直線段連接起來，組成一條封閉的回路。 26x11x12x3

13、2x33x41 b1b2b3a1 a2 a3 a4 x43表34 一條回路中的頂點數(shù)一定是偶數(shù)，回路遇到頂點必須轉90度與另一頂點連接，表33中的變量x 32及x33不是回閉路的頂點，只是連線的交點。 表34中閉回路是123233434111,xxxxxx;,121131352521xxxxxxa ;,2111123233xxxxxb 例如變量組a不能組成一條閉回路，但a中包含有閉回路 ;,31352521xxxxb的變量數(shù)是奇數(shù)，顯然不是閉回路，也不含有閉回路； 27333211122321,xxxxxxc c是一條閉回路，若把c重新寫成 就不難看出c仍是一條閉回路。 11123233232

14、1,xxxxxxc 【定理定理1】 若變量組b 包含有閉回路 ，則b中的變量對應的例向量線性相關。12111,jijijisxxxc【證】由線性代數(shù)知，向量組中部分向量組線性相關則該向量組線性相關，顯然，將c中列向量分別乘以正負號線性組合后等于零，即01222111jijijijispppp因而c中的列向量線性相關，所以b中列向量線性相關?！径ɡ矶ɡ?】若變量組中包含一個部分組構成閉回路，那么該變量組所對應的系數(shù)列向量線性相關。1122,rri jiji jxxx1122,rrijijijppp28 定理3 變量組 xab , xcd , xef , xst 所對應的系數(shù)列向量pab , pc

15、d , pef , pst 線性無關的充分必要條件是這個變量組中不包含閉回路。 推論 產(chǎn)銷平衡運輸問題的 m + n -1 個變量構成基變量的充分必要條件是它不含閉回路。 這個推論給出了運輸問題基本解的重要性質(zhì)，也為尋求基本可行解提供了依據(jù)。這個推論告訴了一個求基變量的簡單方法，同時也可以判斷一組變量是否可以作為某個運輸問題的基變量。這種方法是直接在運價表中進行的，不需要在系數(shù)矩陣a中去尋找，從而給運輸問題求初始基可行解帶來極大的方便。29例如，m=3,n=4，在運價表cij的格子的右上方填上相應的xij，如表3-5所示。表35 bjaib1b2b3b4aia1 x11 x12 x13 x14

16、 a1c11c12c13c14a2 x21 x22 x23 x24a2c21c22c23c24a3 x31 x32 x2 x34a3c31c32c33c34bjb1b2b3b4 30這個運輸問題的基變量數(shù)目是3+41=6。變量組中有7個變量，顯然不能構成一組基變量，又如中有6個變量，但包含有一條閉回路故不能構成一組基變量。變量組有6個變量且不含有任何閉回路，故可以構成此問題的一組基變量。22121324323111,xxxxxxx,342413322221xxxxxx24343222,xxxx343332222111,xxxxxx312.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 上一

17、節(jié)已經(jīng)分析了，對于產(chǎn)銷平衡問題，我們關心的量均可以表示在表4-5中。因此可以建立基于表4-5的求解運輸問題的方法表上作業(yè)法。這里求解運輸問題的思想和單純形法完全類似，即首先確定一個初始基本可行解，然后根據(jù)最優(yōu)性判別準則來檢查這個基本可行解是不是最優(yōu)的。如果是則計算結束；如果不是，則進行換基，直至求出最優(yōu)解為止。322.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 一、初始基本可行解的確定 根據(jù)上面的討論，要求得運輸問題的初始基本可行解，必須保證找到 m + n 1 個不構成閉回路的基變量。一般的方法步驟如下： (1)在運輸問題求解作業(yè)數(shù)據(jù)表中任選一個單元格 xij ( ai 行 bj 列

18、交叉位置上的格),令 xij = min ai , bj 即從ai向bj運最大量(使行或列在允許的范圍內(nèi)盡量飽和，即使一個約束方程得以滿足),填入xij的相應位置；332.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 (2)從 ai 或 bj 中分別減去 xij 的值，即調(diào)整 ai 的擁有量及 bj 的需求量；(3)若ai=0，則劃去對應的行（把擁有的量全部運走），若bj=0則劃去對應的列（把需要的量全部運來），且每次只劃去一行或一列（即每次要去掉且只去掉一個約束）；(4)若運輸平衡表中所有的行與列均被劃去，則得到了一個初始基本可行解。否則在剩下的運輸平衡表中選下一個變量，轉(4)。34

19、上述計算過程可用流程圖描述如下（圖4-2）取未劃去的單元格xij ,令xij = min ai , bj ai = ai - xijbj = bj - xijai = 0?劃去第i行劃去第j列是否 bj = 0否所有行列是否均被劃去是找到初始基本可行解圖4-2 求運輸問題的初始基本可行解過程352.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 按照上述方法所產(chǎn)生的一組變量的取值將滿足下面條件：(1)所得的變量均為非負，且變量總數(shù)恰好為 m + n 1 個；(2)所有的約束條件均得到滿足；(3)所得的變量不構成閉回路。因此，根據(jù)定理4.1及其推論，所得的解一定是運輸問題的基本可行解。在上面

20、的方法中，xij的選取方法并沒有給予限制，若采取不同的規(guī)則來選取xij，則得到不同的方法，較常用的方法有西北角法和最小元素法。下面分別舉例予以說明。362.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 1、初始基本可行解的確定 （1）西北角法：從西北角（左上角）格開始，在格內(nèi)的右下角標上允許取得的最大數(shù)。然后按行（列）標下一格的數(shù)。若某行（列）的產(chǎn)量（銷量）已滿足，則把該行（列）的其他格劃去。如此進行下去，直至得到一個基本可行解。37例1：設有運輸問題如下表所示，求其最優(yōu)解。2b3b1a2a 銷地 產(chǎn)地可供量(t)907095200806575230需求量(t)1001501801b38

21、 銷地 產(chǎn)地可供量(t)90（100）70 （100）95200 （100）8065（50） 75（180） 230 （180）需求量(t)100（0）150 （50）180（0）1b2b3b1a2a第一次第二次第三次第四次392.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 （2）最小元素法：從運價最小的格開始，在格內(nèi)的右下角標上允許取得的最大數(shù)。然后按運價從小到大順序填數(shù)。若某行（列）的產(chǎn)量（銷量）已滿足，則把該行（列）的其他格劃去。如此進行下去，直至得到一個基本可行解。最小元素法的思想是就近優(yōu)先運送，即最小運價cij對應的變量xij優(yōu)先賦值然后再在剩下的運價中取最小運價對應的變量賦

22、值并滿足約束，依次下去，直到最后一個初始基可行解。jiijbax,min40【例例2】求表】求表36所示的運輸問題的初始基可行解。表36 銷 地產(chǎn)地b1b2b3產(chǎn)量a186730a243545a374825銷 量60301010041b1b2b3可發(fā)量a186730a243545a374825未滿足量6030101000 00【解】301510252015452020000產(chǎn)地銷地42 注:應用西北角法和最小元素法，每次填完數(shù)，都只劃去一行或一列，只有最后一個元例外（同時劃去一行和一列）。當填上一個數(shù)后行、列同時飽和時，也應任意劃去一行（列），在保留的列（行）中沒被劃去的格內(nèi)標一個0。2.2.

23、運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 432.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 表1441、確 定 初 始 基 本 可 行 解： （1）西 北 角 法 b1 b2 b3 b4 產(chǎn)量 ai a1 3 3 11 4 3 10 7 a2 1 9 2 2 2 8 4 a3 7 4 10 3 5 6 9 銷量 bj 3 6 5 6 20 2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 45（2）最小元素法 b1 b2 b3 b4 產(chǎn)量 ai a1 3 11 3 4 10 3 7 a2 1 3 9 2 1 8 4 a3 7 4 6 10 5 3 9 銷量 bj 3 6

24、5 6 20 2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 46 最優(yōu)性檢驗就是檢查所得到的方案是不是最優(yōu)方案。檢查的方法與單純形方法中的原理相同，即計算檢驗數(shù)。由于目標要求極小，因此，當所有的檢驗數(shù)都大于或等于零時該調(diào)運方案就是最優(yōu)方案；否則就不是最優(yōu)，需要進行調(diào)整。下面介紹兩種求檢驗數(shù)的方法。 二、基本可行解的最優(yōu)性檢驗 2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 47 1、閉回路法 為了方便，我們以表1給出的初始基本可行解方案為例，考察初始方案的任意一個非基變量，比如 x24。根據(jù)初始方案，產(chǎn)地 a2 的產(chǎn)品是不運往銷地 b4 的。如果現(xiàn)在改變初始方案，把 a2 的

25、產(chǎn)品運送1 個單位給 b4 ，那么為了保持產(chǎn)銷平衡，就必須使 x14 或 x34 減少 1 個單位；而如果 x14 減少 1 個單位，第 1 行的運輸量就必須增加 1 個單位，例如 x13 增加 1 個單位，那么為了保持產(chǎn)銷平衡，就必須使 x23 減少 1 個單位。2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 48 這個過程就是尋找一個以非基變量 x24 為起始頂點的閉回路 x24 ，x14 ，x13 ，x23 ，這個閉回路的其他頂點均為基變量(對應著填上數(shù)字的格)。容易計算出上述調(diào)整使總的運輸費用發(fā)生的變化為 8 10 + 3 2 -1 ，即總的運費減少 1 個單位，這就說明原始方

26、案不是最優(yōu)方案，可以進行調(diào)整以得到更好的方案。2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 49 可以證明，如果對閉回路的方向不加區(qū)別（即只要起點及其他所有頂點完全相同，而不區(qū)別行進方向），那么以每一個非基量為起始頂點的閉回路就存在而且唯一。因此，對每一個非基變量可以找到而且只能找到唯一的一個閉回路。 表4-10中用虛線畫出以非基變量 x22 為起始頂點的閉回路。2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 50表4-10 以非基變量 x22 為起始頂點的閉回路銷地產(chǎn)地b1b2b3b4產(chǎn)量3 11 3 410 371 39 2 18 47 4 610 5 39銷量36562

27、0(產(chǎn)銷平衡)a1a2a351 可以計算出以非基變量 x22 為起始頂點的閉回路調(diào)整使總的運輸費用發(fā)生的變化為 9 2 + 3 10 + 5 4 1 即總的運費增加 1 個單位，這就說明這個調(diào)整不能改善目標值。 從上面的討論可以看出，當某個非基變量增加一個單位時，有若干個基變量的取值受其影響。2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 52 這樣，利用單位產(chǎn)品變化（運輸?shù)膯挝毁M用）可計算出它們對目標函數(shù)的綜合影響，其作用與線性規(guī)劃單純形方法中的檢驗數(shù)完全相同。故也稱這個綜合影響為該非基變量對應的檢驗數(shù)。上面計算的兩個非基變量的檢驗數(shù)為 24 = -1，22 = 1。閉回路方法原理就

28、是通過尋找閉回路來找到非基變量的檢驗數(shù)。 2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 53 如果規(guī)定作為起始頂點的非基變量為第 1 個頂點，閉回路的其他頂點依次為第 2 個頂點、第 3 個頂點，那么就有 ij = (閉回路上的奇數(shù)次頂點單位運費之和) - (閉回路上的偶數(shù)次頂點單位運費之和) 其中 ij 為非基變量的下角指標。2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 54 按上述作法，可計算出表1的所有非基變量的檢驗數(shù)，把它們填入相應位置的方括號內(nèi)，如圖4-11所示。 銷地產(chǎn)地b1b2b3b4產(chǎn)量a13 111 23 410 37a21 39 12 18-14a37

29、104 610125 39銷量365620(產(chǎn)銷平衡)表4-11 初始基本可行解及檢驗數(shù)55 顯然，當所有非基變量的檢驗數(shù)均大于或等于零時，現(xiàn)行的調(diào)運方案就是最優(yōu)方案，因為此時對現(xiàn)行方案作任何調(diào)整都將導致總的運輸費用增加。 閉回路法的主要缺點是：當變量個數(shù)較多時，尋找閉回路以及計算兩方面都會產(chǎn)生困難。2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 56【解】用最小元素法得到下列一組基本可行解【例例4】求下列運輸問題的一個初始基本可行解及其檢驗數(shù)。矩陣中的元素為運價cij ，矩陣右邊的元素為產(chǎn)量ai ，下方的元素為銷量bj 。3040601020507029102156748391010

30、30201060x20507010 60 40 3057矩陣中打“”的位置是非基變量，其余是基變量，這里只求非基變量的檢驗數(shù)。求11，先找出x11的閉回路 ，對應的運價為再用正負號分別交替乘以運價有直接求代數(shù)和得31331311,xxxx31331311,cccc31331311,cccc829893133131111cccc58同理可求出其它非基變量的檢驗數(shù)：3951269831063856929570851433232434343313123232121323222231332321211323244114cccccccccccccccccccc這里34 dj 的運輸問題，得到的數(shù)學模 i

31、=1 j=1型為2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 812.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 m n min f = cij xij i=1 j=1 n s.t. xij si i = 1,2,m j=1 m xij =dj j = 1,2,n i=1 xij0(i=1,2,m;j=1,2,n) 82 只要在模型中的產(chǎn)量限制約束（前m個不等式約束）中引入m個松弛變量xin+1 i= 1,2,m 即可，變?yōu)椋?n xij+xin+1=si i=1,2,mj=1然后，需設一個銷地b n+1,它的銷量為： m n bn+1= si- d dj j i=1 j=1

32、2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 83 這里，松弛變量 x i n+1 可以視為從產(chǎn)地 a i 運往銷地 b n+1 的運輸量，由于實際并不運送，它們的運費為 c i n+1 = 0 i = 1,2,m。于是，這個運輸問題就轉化成了一個產(chǎn)銷平衡的問題。2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 84 例4.2:某公司從兩個產(chǎn)地a1、a2將物品運往三個銷地b1、b2、b3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最?。?b1 b2 b3 產(chǎn)產(chǎn)量量 a1 6 4 6 300 a2 6 5 5 300 銷銷量

33、量 150 150 200 2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 85 解：增加一個虛設的銷地運輸費用為0 b1 b2 b3 b4 產(chǎn)量 a1 6 4 6 0 300 a2 6 5 5 0 300 銷量 150 150 200 100 2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 86 2.銷量大于產(chǎn)量的情況 m n 考慮sidj的運輸問題，得到的數(shù)學模型為 i=1 j=12.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 m n min f = cij xij i=1 j=1 n s.t. xij =si i = 1,2,m j=1 m xij dj j =

34、1,2,n i=1 xij0(i=1,2,m;j=1,2,n) 87 只要在模型中的產(chǎn)量限制約束（后n個不等式約束）中引入n個松弛變量xm+1j j = 1,2,n即可，變?yōu)椋?m xij+xm+1j=dj j=1,2,mi=1然后，需設一個產(chǎn)地a m+1,它的銷量為： n m am+1= dj - si j=1 i=12.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 88 這里，松弛變量 x m+1j 可以視為從產(chǎn)地 a m+1 運往銷地 b j 的運輸量，由于實際并不運送，它們的運費為 c m+1j = 0 j = 1,2,n。于是，這個運輸問題就轉化成了一個產(chǎn)銷平衡的問題。2.2.

35、運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 89 例4.3:某公司從兩個產(chǎn)地a1、a2將物品運往三個銷地b1、b2、b3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最??？ b1 b2 b3 產(chǎn)量 a1 6 4 6 200 a2 6 5 5 300 銷量 250 200 200 2.2.運輸問題求解運輸問題求解 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 90 解：增加一個虛設的產(chǎn)地運輸費用為0 b1 b2 b3 產(chǎn)量 a1 6 4 6 200 a2 6 5 5 300 a3 0 0 0 150 銷量 250 200 200 2.2.運輸問題求解運輸問題求解

36、 表上作業(yè)法表上作業(yè)法 91 例4.4:石家莊北方研究院有一、二、三，三個區(qū)。每年分別需要用煤3000、1000、2000t，由河北臨城、山西盂縣兩處煤礦負責供應，價格、質(zhì)量相同。供應能力分別為1500、4000t，運價如下表。由于需大于供，經(jīng)院研究決定一區(qū)供應量可減少0300t，二區(qū)必須滿足需求量，三區(qū)供應量不少于1700t，試求總費用為最低的調(diào)運方案。 一區(qū) 二區(qū) 三區(qū) 產(chǎn)量 山西盂縣 1.65 1.70 1.75 4000 河北臨城 1.60 1.65 1.70 1500 需要量 3000 1000 2000 3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用92 解:根據(jù)題意，作出產(chǎn)銷平衡與運價表：

37、 取 m 代表一個很大的正數(shù)，其作用是強迫相應的 x31、x33、x34取值為0。 一區(qū) 一區(qū) 二區(qū) 三區(qū) 三區(qū) 產(chǎn)量 山西盂縣 1.65 1.65 1.70 1.75 1.75 4000 河北臨城 1.60 1.60 1.65 1.70 1.70 1500 假想生產(chǎn)點 m 0 m m 0 500 需要量 2700 300 1000 1700 300 3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用93 例4.5:設有a、b、c三個化肥廠供應1、2、3、4四個地區(qū)的農(nóng)用化肥。假設效果相同，有關數(shù)據(jù)如下表。試求總費用為最低的化肥調(diào)撥方案。 1 2 3 4 產(chǎn)量 a 16 13 22 17 50 b 14 1

38、3 19 15 60 c 19 20 23 - 50 最低需要量 30 70 0 10 最高需要量 50 70 30 不限 3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用94 解：解：根據(jù)題意，作出產(chǎn)銷平衡與運價表:最低要求必須滿足，因此把相應的虛設產(chǎn)地運費取為 m ，而最高要求與最低要求的差允許按需要安排，因此把相應的虛設產(chǎn)地運費取為 0 。對應 4”的銷量 50 是考慮問題本身適當取的數(shù)據(jù)，根據(jù)產(chǎn)銷平衡要求確定 d的產(chǎn)量為 50。 1 1” 2 3 4 4” 產(chǎn)量 a 16 16 13 22 17 17 50 b 14 14 13 19 15 15 60 c 19 19 20 23 m m 50 d

39、 m 0 m 0 m 0 50 銷量 30 20 70 30 10 50 3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用95 生產(chǎn)與儲存問題生產(chǎn)與儲存問題 例例4.6:4.6:某廠按合同規(guī)定須于當年每個季度末分別提供10、15、25、20臺同一規(guī)格的柴油機。已知該廠各季度的生產(chǎn)能力及生產(chǎn)每臺柴油機的成本如右表。如果生產(chǎn)出來的柴油機當季不交貨，每臺每積壓一個季度需儲存、維護等費用0.15萬元。試求在完成合同的情況下，使該廠全年生產(chǎn)總費用為最小的決策方案。生產(chǎn)能力（臺） 單位成本（萬元）一季度2510.8二季度3511.1三季度3011.0四季度1011.33.3.運輸問題的應用運輸問題的應用96 交貨：

40、生產(chǎn)：x11 = 10 x11 + x12 + x13 + x14 25x12 + x22 = 15 x22 + x23 + x24 35x13 + x23 + x33 = 25 x33 + x34 30 x14 + x24 + x34 + x44 = 20 x44 10 解：解： 設設 x xijij為第為第 i i 季度生產(chǎn)的第季度生產(chǎn)的第 j j 季度交貨的柴油機數(shù)目，那么應滿足：季度交貨的柴油機數(shù)目，那么應滿足：3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用97把第 i 季度生產(chǎn)的柴油機數(shù)目看作第 i 個生產(chǎn)廠的產(chǎn)量；把第 j 季度交貨的柴油機數(shù)目看作第 j 個銷售點的銷量；成本加儲存、維護等費

41、用看作運費?？蓸嬙煜铝挟a(chǎn)銷平衡問題：目標函數(shù)：min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44 第 一 季 度 第 二 季 度 第 三 季 度 第 四 季 度 d 產(chǎn) 量 第 一 季 度 10.80 10.95 11.10 11.2 0 25 第 二 季 度 m 11.10 11.25 11.40 0 35 第 三 季 度 m m 11.00 11.15 0 30 第 四 季 度 m m m 11.30 0 10 銷 量 1

42、0 15 25 20 30 3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用98 生產(chǎn)與儲存問題 例4.7:光明儀器廠生產(chǎn)電腦繡花機是以產(chǎn)定銷的。已知1至6月份各月的生產(chǎn)能力、合同銷量和單臺電腦繡花機平均生產(chǎn)費用見下表： 正常生產(chǎn)能力（臺） 加班生產(chǎn)能力（臺） 銷量（臺） 單臺費用（萬元）1月份6010104152月份501075143月份902011513.54月份10040160135月份10040103136月份80407013.53.3.運輸問題的應用運輸問題的應用99 已知上年末庫存103臺繡花機，如果當月生產(chǎn)出來的機器當月不交貨，則需要運到分廠庫房，每臺增加運輸成本0.1萬元,每臺機器每月的平

43、均倉儲費、維護費為0.2萬元。在7-8月份銷售淡季，全廠停產(chǎn)1個月，因此在6月份完成銷售合同后還要留出庫存80臺。加班生產(chǎn)機器每臺增加成本1萬元。問應如何安排1-6月份的生產(chǎn)，可使總的生產(chǎn)費用（包括運輸、倉儲、維護）最少？運輸問題（運輸問題（7 7）3 3 運輸問題的應用運輸問題的應用100 解： 這個生產(chǎn)存儲問題可化為運輸問題來做?？紤]：各月生產(chǎn)與交貨分別視為產(chǎn)地和銷地。 1）1-6月份合計生產(chǎn)能力（包括上年末儲存量）為743臺，銷量為707臺。設一假想銷地銷量為36； 2）上年末庫存103臺，只有倉儲費和運輸費，把它列為的0行； 3）6月份的需求除70臺銷量外，還要80臺庫存，其需求應為7

44、0+80=150臺； 4）1-6表示1-6月份正常生產(chǎn)情況， 1-6表示1-6月份加班生產(chǎn)情況。3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用101產(chǎn)銷平衡與運價表： 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 虛銷地 正常產(chǎn)量 加班產(chǎn)量 0 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 0 103 1 15 15.3 15.5 15.7 15.9 16.1 0 60 1 16 16.3 16.5 16.7 6.9 17.1 0 10 2 m 14 14.3 14.5 14.7 14.9 0 50 2 m 15 15.3 15.5 15.7 15.9 0 10 3 m m 13.5 13.8 14

45、.0 14.2 0 90 3 m m 14.5 14.8 15.0 15.2 0 20 4 m m m 13.0 13.3 13.5 0 100 4 m m m 14.0 14.3 14.5 0 40 5 m m m m 13.0 13.3 0 100 5 m m m m 14.0 14.3 0 40 6 m m m m m 13.5 0 80 6 m m m m m 14.5 0 40 銷量 104 75 115 160 103 150 36 - 3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用102 例4.8:騰飛電子儀器公司在大連和廣州有兩個分廠生產(chǎn)同一種儀器，大連分廠每月生產(chǎn)450臺,廣州分廠每月

46、生產(chǎn)600臺。該公司在上海和天津有兩個銷售公司負責對南京、濟南、南昌、青島四個城市的儀器供應。另外因為大連距離青島較近，公司同意大連分廠向青島直接供貨，運輸費用如下圖，單位是百元。問應該如何調(diào)運儀器，可使總運輸費用最低？ 三、轉運問題三、轉運問題: :原運輸問題上增加若干轉運站。運輸方式有：產(chǎn)地 轉運站、轉運站 銷地、產(chǎn)地 產(chǎn)地、產(chǎn)地 銷地、銷地 轉運站、銷地 產(chǎn)地等。3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用103圖中 1廣州、2大連、3上海、4天津 5南京、6濟南、7南昌、8青島3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用450104 解：解：設 xij 為從 i 到 j 的運輸量，可得到有下列特點的線

47、性規(guī)劃模型： 目標函數(shù)：min f = 所有可能的運輸費用（運輸單價與運輸量乘積之和） 約束條件：對產(chǎn)地（發(fā)點） i ： 輸出量 - 輸入量 = 產(chǎn)量 對轉運站（中轉點）： 輸入量 - 輸出量 = 0 對銷地（收點） j ： 輸入量 - 輸出量 = 銷量3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用105約束條件： s.t. x13+x14 600 (廣州分廠供應量限制） x23+x24+x28 450 (大連分廠供應量限制） -x13-x23+x35+x36+x37+x38 = 0 （上海銷售公司，轉運站） 目標函數(shù)： min f = 2x13+3x14+3x23+x24+4x28+2x35 +6x36+3x37+6x38+4x45+4x46+6x47+ 5x48 3.3.運輸問題的應用運輸問題的應用106-x14- x