《數(shù)學(xué)建?！返?講

1、羅守成第第三三講講 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型3.1 安全渡河數(shù)學(xué)模型安全渡河數(shù)學(xué)模型3.2 商店經(jīng)營(yíng)狀況數(shù)學(xué)模型商店經(jīng)營(yíng)狀況數(shù)學(xué)模型3.3 正則鏈數(shù)學(xué)模型正則鏈數(shù)學(xué)模型3.4 微量元素?cái)?shù)學(xué)模型微量元素?cái)?shù)學(xué)模型3.5 基因遺傳和近親繁殖基因遺傳和近親繁殖33.1 安全渡河數(shù)學(xué)模型安全渡河數(shù)學(xué)模型問題：商人們?cè)鯓影踩^河問題：商人們?cè)鯓影踩^河( (智力游戲智力游戲) )隨從們密約隨從們密約, , 在河的任一岸在河的任一岸, , 一旦隨從的人數(shù)比商人多一旦隨從的人數(shù)比商人多, , 就殺人越貨就殺人越貨. .但是乘船渡河的方案由商人決定但是乘船渡河的方案由商人決定. . 3名商人名商人 3名隨從名隨

2、從河河小船小船(至多至多2人人)商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河? ?4決策決策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人員船上的人員要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (兩岸的隨從數(shù)不比商人多兩岸的隨從數(shù)不比商人多),),經(jīng)有經(jīng)有限步使全體人員過河限步使全體人員過河. .模型構(gòu)成模型構(gòu)成xk第第k次渡河前此岸的商人數(shù)次渡河前此岸的商人數(shù)yk第第k次渡河前此岸的隨從數(shù)次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0

3、,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合允許狀態(tài)集合uk第第k次渡船上的商人數(shù)次渡船上的商人數(shù)vk第第k次渡船上的隨從數(shù)次渡船上的隨從數(shù)uk, vk=0,1,2; k=1,2, 5dk=(uk , vk)決策決策sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并按轉(zhuǎn)并按轉(zhuǎn)移律由移律由 s1=(3,3)到達(dá)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題多步?jīng)Q策問題D=(u , v) u+v=1, 2 允許允許決策決策集合集合6模型求解模型求解 窮舉法窮舉法 編程上機(jī)編程上機(jī) 圖解法圖解法狀態(tài)狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn)個(gè)格點(diǎn) 10個(gè)個(gè)

4、點(diǎn)點(diǎn)允許決策允許決策 移動(dòng)移動(dòng)1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.d1, ，d11給出安全渡河方案給出安全渡河方案評(píng)注和思考評(píng)注和思考規(guī)格化方法規(guī)格化方法, ,易于推廣易于推廣考慮考慮4名商人各帶一隨從的情況名商人各帶一隨從的情況xy3322110s1sn+1d1d11允許狀態(tài)允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,273.2 商店經(jīng)營(yíng)狀態(tài)數(shù)學(xué)模型商店經(jīng)營(yíng)狀態(tài)數(shù)學(xué)模型馬氏鏈模型：馬氏鏈模型： 系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的 從一時(shí)期到下時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移從一時(shí)期到下

5、時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移 下時(shí)期狀態(tài)只取決于本時(shí)期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率下時(shí)期狀態(tài)只取決于本時(shí)期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率 已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）描述一類重要的描述一類重要的隨機(jī)動(dòng)態(tài)隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（過程）的模型系統(tǒng)（過程）的模型馬氏鏈馬氏鏈 (Markov Chain)時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程8問題：商店的經(jīng)營(yíng)情況會(huì)怎樣變化問題：商店的經(jīng)營(yíng)情況會(huì)怎樣變化狀態(tài)：狀態(tài)：0.6概率轉(zhuǎn)移矩陣概率轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖狀態(tài)概率向量：狀態(tài)概率向量：轉(zhuǎn)移概率：轉(zhuǎn)移概率：=月銷路不好表示第月銷路好表示第ttSt,

6、2, 11)()(, 1 , 0, 2 , 1),()()(),()(2121=+=tatatiiSPtatatatatiLL, 1 , 0, 2 , 1,),(1=+tjiiSjSPpttij=6 . 04 . 05 . 05 . 0)(ijpP9狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性無后效性 2221212)()() 1(ptaptata+=+St+1只取決于只取決于St和和pij, 與與St-1, 無關(guān)無關(guān)已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）2121111)()() 1(ptaptata+=+1222112112121)0()()(),()1(),1() 1

7、(+=+=+tPaPtapppptatatatata10t0123a1(t)10.50.450.4454/9a2(t)00.50.550.5555/9初始時(shí)刻商店銷路好的穩(wěn)定狀態(tài)t0123a1(t)00.40.440.4444/9a2(t)10.60.560.5565/9初始時(shí)刻商店銷路不好的穩(wěn)定狀態(tài)t時(shí)狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān)時(shí)狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān)結(jié)論：結(jié)論：113.3 正則鏈數(shù)學(xué)模型正則鏈數(shù)學(xué)模型 正則鏈正則鏈 :從任一狀態(tài)從任一狀態(tài) i 出發(fā)經(jīng)有限次（出發(fā)經(jīng)有限次（k次）轉(zhuǎn)次）轉(zhuǎn)移能到達(dá)另外任一狀態(tài)移能到達(dá)另外任一狀態(tài) j 。wwPw=滿足)()(,t

8、wtaw正則鏈=6 . 04 . 05 . 05 . 0P)9/5 , 9/4(=w2211216 . 05 . 04 . 05 . 0wwwwww=+=+121=+ www 穩(wěn)態(tài)概率穩(wěn)態(tài)概率如0,kPk正則鏈11=kiiww滿足123.4 微量元素磷轉(zhuǎn)移微量元素磷轉(zhuǎn)移 吸收鏈吸收鏈 : 存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會(huì)離開的狀存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會(huì)離開的狀態(tài)態(tài)i, pii=1）,且且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)吸收狀態(tài)移能以正概率到達(dá)吸收狀態(tài)磷的轉(zhuǎn)移：磷的轉(zhuǎn)移：磷在土壤中記為狀態(tài)磷在土壤中記為狀態(tài)1：St=1磷在草、牛、養(yǎng)等生物中記為狀態(tài)磷在

9、草、牛、養(yǎng)等生物中記為狀態(tài)2 ：St=2磷在上述系統(tǒng)之外記為狀態(tài)磷在上述系統(tǒng)之外記為狀態(tài)3 ：St=3轉(zhuǎn)移概率轉(zhuǎn)移概率pij表示為狀態(tài)表示為狀態(tài) i 中的磷轉(zhuǎn)移到狀態(tài)中的磷轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j 中的比例中的比例13問題：最后土壤里還有磷元素嗎？問題：最后土壤里還有磷元素嗎？1230.40. 0.4模型假設(shè)：模型假設(shè)：轉(zhuǎn)移概率矩陣：轉(zhuǎn)移概率矩陣：=1004 . 02 . 04 . 02 . 03 . 05 . 0P狀態(tài)概率向量：狀態(tài)概率向量：1)()()(, 1 , 0)(),(),()(321321=+=tatatattatatataL狀態(tài)狀態(tài)S=(1, 2, 3)14狀態(tài)狀態(tài)

10、與與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移t012310a1(t)10.50.370.270.0270a2(t)050.0150a3(t)00.20.420.580.9581tPata=)0()( 不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3 ； 一旦一旦a1(t)= a2(t)=0, a3(t)=1, 則對(duì)于則對(duì)于nt: a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即：即： 從狀態(tài)從狀態(tài)3不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。結(jié)論：結(jié)論：15有有r個(gè)吸收狀態(tài)的吸收鏈的個(gè)吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式R有非零元素有非零元素性質(zhì)：性質(zhì)：

11、ijsstbBjiNRBiNjiQINQQIQIQt的元素的概率是吸收出發(fā)，被吸收狀態(tài)從非吸收狀態(tài)，記行的和的第數(shù)為吸收之前的平均轉(zhuǎn)移次出發(fā)，被吸收狀態(tài)從非吸收狀態(tài)記可逆，時(shí)，=-=-=-)4(,)()3()()()2(0)1 (101=QRIPrr016實(shí)例：實(shí)例：P57=2 . 04 . 04 . 03 . 05 . 02 . 0001213213P=2 . 04 . 03 . 05 . 0Q=QRIPrr0 1=I=4 . 02 . 0R計(jì)算：計(jì)算：-=-8 . 04 . 03 . 05 . 0QI=-=-=-2850284028302880118 . 04 . 03 . 05 . 0)

12、(QIN結(jié)論：結(jié)論：從狀態(tài)從狀態(tài)1出發(fā)，到吸收狀態(tài)出發(fā)，到吸收狀態(tài)3，平均轉(zhuǎn)移次數(shù)：，平均轉(zhuǎn)移次數(shù)：3.93次次從狀態(tài)從狀態(tài)2出發(fā)，到吸收狀態(tài)出發(fā)，到吸收狀態(tài)3，平均轉(zhuǎn)移次數(shù)：，平均轉(zhuǎn)移次數(shù)：3.21次次從狀態(tài)從狀態(tài)1或狀態(tài)或狀態(tài)2出發(fā)，被狀態(tài)出發(fā)，被狀態(tài)3吸收的概率均為吸收的概率均為100%=114 . 02 . 02850284028302880NRB=21. 393. 3112890281102850284028302880NEM17背景背景 生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定。生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定。 基因分優(yōu)勢(shì)基因基因分優(yōu)勢(shì)基因d 和劣勢(shì)基因和劣勢(shì)基因r 兩種。兩種。 每

13、種外部表征由兩個(gè)基因決定，每個(gè)基因可以是每種外部表征由兩個(gè)基因決定，每個(gè)基因可以是d, r 中的任一個(gè)。形成中的任一個(gè)。形成3種基因類型：種基因類型： 基因類型為優(yōu)種和混種基因類型為優(yōu)種和混種, 外部表征呈優(yōu)勢(shì)；基因外部表征呈優(yōu)勢(shì)；基因類型為劣種類型為劣種, 外部表征呈劣勢(shì)。外部表征呈劣勢(shì)。生物繁殖時(shí)后代隨機(jī)地（等概率地）繼承父、母的生物繁殖時(shí)后代隨機(jī)地（等概率地）繼承父、母的各一個(gè)基因，形成它的兩個(gè)基因。父母的基因類型各一個(gè)基因，形成它的兩個(gè)基因。父母的基因類型決定后代基因類型的概率決定后代基因類型的概率完全完全優(yōu)勢(shì)優(yōu)勢(shì)基因基因遺傳遺傳3.5基因遺傳和近親繁殖基因遺傳和近親繁殖dd dd 優(yōu)

14、種優(yōu)種DD, , dr dr 混種混種HH, , rr rr 劣種劣種R R。18父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合父母基因類型組合后代各種后代各種基因類型基因類型 的概率的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011 / 21 / 200101 / 41 / 21 / 401 / 21 / 23種基因類型：種基因類型：dd優(yōu)種優(yōu)種D, dr混種混種H, rr劣種劣種R完全優(yōu)勢(shì)基因遺傳完全優(yōu)勢(shì)基因遺傳P(D DH)=P(dd dd,dr)=P(d dd)P(d dr)P(R HH)=P(rr dr,dr)=P(r dr)P(r dr

15、)=1 1/2=1/2=1/2 1/2=1/419隨機(jī)繁殖隨機(jī)繁殖 設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等，基因設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等，基因類型的分布相同（記作類型的分布相同（記作D:H:R） 每一雄性個(gè)體以每一雄性個(gè)體以D:H:R的概率與一雌性個(gè)體交配，的概率與一雌性個(gè)體交配，其后代隨機(jī)地繼承它們的各一個(gè)基因其后代隨機(jī)地繼承它們的各一個(gè)基因 設(shè)初始一代基因類型比例設(shè)初始一代基因類型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 記記p=a+b, q=b+c, 則群體中優(yōu)勢(shì)基因則群體中優(yōu)勢(shì)基因和劣勢(shì)基因比例和劣勢(shì)基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。假設(shè)假設(shè)建模建模狀態(tài)狀態(tài)Xn=1,2

16、,3 第第n代的一個(gè)體屬于代的一個(gè)體屬于D, H, R狀態(tài)概率狀態(tài)概率 ai(n) 第第n代的一個(gè)體屬于狀態(tài)代的一個(gè)體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概率。的概率。討論基因類型的演變情況討論基因類型的演變情況20)()(1父基因類型后代基因類型iXjXPpnnij=+pddXddXPpnn=+)1)( 1(111）（父為后代為基因比例基因比例 d:r=p:qqddXdrXPpnn=+)1)(2(112）（父為后代為0)1)(3(113=+）（父為后代為ddXrrXPpnn2/2/ 1)2)( 1(121ppdrXddXPpnn=+）（父為后代為2/12/12/1)2)(2(122=+=+qpdrX

17、drXPpnn）（父為后代為=qpqpqpP02/2/ 12/0轉(zhuǎn)移概率矩陣轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨機(jī)繁殖隨機(jī)繁殖21LL),2 ,()1 ()2(),2 ,()0()1 (2222qpqpPaaqpqpPaa=12,=+=+=cbacbqbap馬氏鏈模型馬氏鏈模型L, 1 , 0,)() 1(=+nPnana),2 ,()0(cbaa=qpqpqpP02/2/ 12/0),2 ,()0(22qpqpwPwa=任意，穩(wěn)態(tài)分布自然界中通常自然界中通常p=q=1/2穩(wěn)態(tài)分布穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為基因類型為D和和H, 優(yōu)勢(shì)表征優(yōu)勢(shì)表征綠色，綠色，基因類型為

18、基因類型為R, 劣勢(shì)表征劣勢(shì)表征黃色。黃色。解釋解釋“豆科植物的莖，綠色豆科植物的莖，綠色:黃色黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機(jī)繁殖隨機(jī)繁殖22近親近親繁殖繁殖在一對(duì)父母的大量后代中在一對(duì)父母的大量后代中, 雄雌隨機(jī)配對(duì)繁殖，雄雌隨機(jī)配對(duì)繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過程。討論一系列后代的基因類型的演變過程。狀態(tài)定義為配對(duì)的基因類型組合狀態(tài)定義為配對(duì)的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6配對(duì)基因組合為配對(duì)基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率=2/ 14/ 1004/ 104/ 14/ 18/ 14/ 116/ 116/ 101000004/ 102/ 104/ 1000010000001HRHHDRDHRRDDPHRHHDRDHRRDD馬氏鏈模型馬氏鏈模型1) (111=+DDXDDXPpnn4/12/12/1) (131=+DHXDDXPpnn23=653232654564NEM=2/ 14/ 1004/ 104/ 14/ 18/ 14/ 116/ 116/ 101000004/ 102/ 104/ 100