深化數(shù)學(xué)課改落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(浙江省級(jí)骨干章建躍)

1、深化數(shù)學(xué)課程深化數(shù)學(xué)課程改革改革落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)人民教育出版社人民教育出版社 章建躍章建躍一一、數(shù)學(xué)課改的數(shù)學(xué)課改的核心核心任務(wù)任務(wù) 十八大提出的十八大提出的“教育的根本任務(wù)在于立德教育的根本任務(wù)在于立德樹人樹人”就是整個(gè)教育改革的核心任務(wù)。就是整個(gè)教育改革的核心任務(wù)。 數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是“數(shù)學(xué)育人數(shù)學(xué)育人”。 如何把這個(gè)要求在如何把這個(gè)要求在數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)教育中落實(shí)下來(lái)，中落實(shí)下來(lái)，在在課程教材課程教材中體現(xiàn)出來(lái)中體現(xiàn)出來(lái)，在課堂教學(xué)中，在課堂教學(xué)中實(shí)實(shí)施下去施下去？ 要把要把“立德樹人立德樹人”的要求具體化，體現(xiàn)在的要求具體化，體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程中

2、，轉(zhuǎn)化為一種可操教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程中，轉(zhuǎn)化為一種可操作的行動(dòng)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)育人的具體作的行動(dòng)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)育人的具體措施措施。 教育部教育部的頂層的頂層設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)學(xué)科的數(shù)學(xué)學(xué)科的“立德樹人立德樹人”目標(biāo)，首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)目標(biāo)，首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)上上。 義教課標(biāo)中義教課標(biāo)中提出提出了了八八個(gè)個(gè)“核心概念核心概念”：數(shù)感、：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想；思想； 高中高中課標(biāo)修訂組進(jìn)一步提煉了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核課標(biāo)修訂組進(jìn)一步提煉了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、

3、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。 數(shù)學(xué)課改的數(shù)學(xué)課改的核心核心任務(wù)任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，心素養(yǎng)，要有具體措施要有具體措施，要要把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落實(shí)在養(yǎng)的培育落實(shí)在數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)。各個(gè)環(huán)節(jié)。思考思考 到底該不該提到底該不該提“學(xué)科核心素養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)”？ “數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”與與“核心素養(yǎng)核心素養(yǎng)”是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？ “數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的內(nèi)涵到底是什么？的內(nèi)涵到底是什么？“六要六要素素”合理嗎？是不是缺了點(diǎn)什么？合理嗎

4、？是不是缺了點(diǎn)什么？ 例如，蔡金法、徐斌艷提出例如，蔡金法、徐斌艷提出“四要素四要素”：數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)智能計(jì)算思維、數(shù)學(xué)情交流、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)智能計(jì)算思維、數(shù)學(xué)情感（全球教育展望，感（全球教育展望，20162016第第1111期）。期）。 對(duì)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵尚未形成共識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)核心對(duì)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵尚未形成共識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵的共識(shí)也沒有形成。素養(yǎng)內(nèi)涵的共識(shí)也沒有形成。 核心素養(yǎng)核心素養(yǎng)是是一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，它的內(nèi)涵是一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，它的內(nèi)涵是多維度、多元化的，是情感、態(tài)度、知識(shí)、多維度、多元化的，是情感、態(tài)度、知識(shí)、技能的綜合表現(xiàn)，因此技能的綜合表現(xiàn)，因此“以核心素養(yǎng)為綱以核心

5、素養(yǎng)為綱”的教育教學(xué)必然的教育教學(xué)必然是超越是超越知識(shí)技能知識(shí)技能的。的。 學(xué)科學(xué)科教育要為學(xué)生成長(zhǎng)和終身發(fā)展作出獨(dú)教育要為學(xué)生成長(zhǎng)和終身發(fā)展作出獨(dú)特貢獻(xiàn)，要通過(guò)特貢獻(xiàn)，要通過(guò)“基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，幫助學(xué)生形成必備品格和關(guān)鍵能力幫助學(xué)生形成必備品格和關(guān)鍵能力”。 日常日常教育以學(xué)科教學(xué)教育以學(xué)科教學(xué)為主，為主，脫離具體學(xué)科脫離具體學(xué)科知識(shí)技能的知識(shí)技能的“核心素養(yǎng)教育核心素養(yǎng)教育”是蒼白無(wú)力是蒼白無(wú)力的，只能是一種空洞說(shuō)教，因此的，只能是一種空洞說(shuō)教，因此“如何使如何使學(xué)科教學(xué)超越知識(shí)技能學(xué)科教學(xué)超越知識(shí)技能”是是落實(shí)落實(shí)核心素養(yǎng)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵問題的關(guān)鍵問題。二二、提升學(xué)生

6、核心素養(yǎng)的思考點(diǎn)提升學(xué)生核心素養(yǎng)的思考點(diǎn) “學(xué)科育人學(xué)科育人”要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量。 “數(shù)學(xué)育人數(shù)學(xué)育人”要要用數(shù)學(xué)的方式，在用數(shù)學(xué)的方式，在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)內(nèi)部挖掘育人資源，并使它們?cè)跀?shù)學(xué)教育的部挖掘育人資源，并使它們?cè)跀?shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)中發(fā)揮作用各個(gè)環(huán)節(jié)中發(fā)揮作用。 從從數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的學(xué)科學(xué)科本質(zhì)本質(zhì)出發(fā)出發(fā)開展思考和開展思考和研究：研究：數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)到底是一門怎樣的到底是一門怎樣的學(xué)科學(xué)科？其？其獨(dú)特獨(dú)特的、的、別的學(xué)科不能替代的育人功能到底在別的學(xué)科不能替代的育人功能到底在哪里哪里？怎樣教才能實(shí)現(xiàn)這些育人功能？這樣教的怎樣教才能實(shí)現(xiàn)這些育人功能？這樣教的效果如何？效果如何？樹立

7、課程意識(shí)樹立課程意識(shí)（1）我教的是一門怎樣的課）我教的是一門怎樣的課課程性質(zhì)課程性質(zhì)（2）這門課這門課能發(fā)揮怎樣的育人功能，在學(xué)生能發(fā)揮怎樣的育人功能，在學(xué)生發(fā)展中的不可替代作用是什么發(fā)展中的不可替代作用是什么課程目標(biāo)課程目標(biāo)（3）如何教這門課）如何教這門課課程實(shí)施課程實(shí)施（4）這樣教在多大程度上實(shí)現(xiàn)了它的育人功）這樣教在多大程度上實(shí)現(xiàn)了它的育人功能能課程評(píng)價(jià)課程評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)是這樣的學(xué)科數(shù)學(xué)是這樣的學(xué)科 數(shù)學(xué)是研究數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象抽象，基于抽象，基于抽象結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算

8、、形式推理、模型構(gòu)建等理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的等理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)本質(zhì)、關(guān)關(guān)系系與與規(guī)律規(guī)律。課標(biāo)如是說(shuō)。課標(biāo)如是說(shuō)。 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是思維的是思維的科學(xué)，科學(xué)，具有具有“追求最大限度的一追求最大限度的一般性模式特別是一般性算法的傾向般性模式特別是一般性算法的傾向”，有有一套一套具有普適性的思考結(jié)構(gòu)和交流的符號(hào)形式，這具有普適性的思考結(jié)構(gòu)和交流的符號(hào)形式，這種結(jié)構(gòu)和符號(hào)形式是強(qiáng)大的，富有邏輯，簡(jiǎn)明種結(jié)構(gòu)和符號(hào)形式是強(qiáng)大的，富有邏輯，簡(jiǎn)明而且精確，是人們可以借助于理解和處理周圍而且精確，是人們可以借助于理解和處理周圍環(huán)境的一種環(huán)境的一種思維思維方式方式，包括包括：抽象化、運(yùn)用符：抽象化、

9、運(yùn)用符號(hào)、建立模型、邏輯分析、推理、計(jì)算，不斷號(hào)、建立模型、邏輯分析、推理、計(jì)算，不斷地改進(jìn)、推廣，更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系，在地改進(jìn)、推廣，更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系，在更大范圍內(nèi)進(jìn)行概括，建立更為一般的統(tǒng)一理更大范圍內(nèi)進(jìn)行概括，建立更為一般的統(tǒng)一理論等一整套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⑿兄行У目茖W(xué)方法，這論等一整套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⑿兄行У目茖W(xué)方法，這是在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過(guò)程是在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過(guò)程中必須使用的思維方式中必須使用的思維方式。 推理是數(shù)學(xué)的命根子，推理是數(shù)學(xué)的命根子，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童童子功子功”。思維訓(xùn)練的載體就是推理和運(yùn)算。思維訓(xùn)練的載體就是推理和運(yùn)算。 數(shù)學(xué)是

10、一門語(yǔ)言，與語(yǔ)文有相似的特性，數(shù)學(xué)是一門語(yǔ)言，與語(yǔ)文有相似的特性，它有自己的一套獨(dú)立的符號(hào)系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃凶约旱囊惶转?dú)立的符號(hào)系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式表達(dá)方式閱讀、表達(dá)、交流的工具閱讀、表達(dá)、交流的工具。數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特育人功能數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特育人功能 主要在培養(yǎng)學(xué)生的思維特別是邏輯思維上，主要在培養(yǎng)學(xué)生的思維特別是邏輯思維上，要使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)要使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)“有邏輯有邏輯地思考地思考”、創(chuàng)造性思考、創(chuàng)造性思考，使，使學(xué)學(xué)生成為善于生成為善于認(rèn)識(shí)問題、認(rèn)識(shí)問題、善于善于解決問題的人才。解決問題的人才。 學(xué)會(huì)嚴(yán)格的邏輯推理，學(xué)會(huì)運(yùn)算的方法和學(xué)會(huì)嚴(yán)格的邏輯推理，學(xué)會(huì)運(yùn)算的方法和技巧

11、。技巧。 學(xué)會(huì)使用學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，能用數(shù)學(xué)的方式閱讀、語(yǔ)言，能用數(shù)學(xué)的方式閱讀、表達(dá)和交流。表達(dá)和交流。例例 如何閱讀這段教材如何閱讀這段教材怎樣才算讀懂了這段內(nèi)容？怎樣才算讀懂了這段內(nèi)容？（1 1）這是在象限角概念之后研究它的性質(zhì)。）這是在象限角概念之后研究它的性質(zhì)。一般而言，概念明確了研究對(duì)象的內(nèi)涵或組一般而言，概念明確了研究對(duì)象的內(nèi)涵或組成要素，性質(zhì)研究的主題之一是內(nèi)涵或要素成要素，性質(zhì)研究的主題之一是內(nèi)涵或要素之間的關(guān)系。從概念出發(fā)研究性質(zhì)是研究數(shù)之間的關(guān)系。從概念出發(fā)研究性質(zhì)是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本之道學(xué)對(duì)象的基本之道。（2）提出問題的方法：象限角的始邊相同，）提出問題的方法：象限

12、角的始邊相同，以射線以射線OB為終邊的角有無(wú)數(shù)個(gè)，即這些角有為終邊的角有無(wú)數(shù)個(gè)，即這些角有“始邊、終邊都相同始邊、終邊都相同”的共同特征。這一定的共同特征。這一定性特征如何量化？一般而言，具有相同特征性特征如何量化？一般而言，具有相同特征的事物一定有內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)要研究這種聯(lián)的事物一定有內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)要研究這種聯(lián)系在數(shù)、形上如何表達(dá)，特別是要追求精確系在數(shù)、形上如何表達(dá)，特別是要追求精確的量化表示。從定性到定量是數(shù)學(xué)的基本策的量化表示。從定性到定量是數(shù)學(xué)的基本策略略。（3）發(fā)現(xiàn)聯(lián)系方式的方法：借助圖像，觀察）發(fā)現(xiàn)聯(lián)系方式的方法：借助圖像，觀察幾個(gè)與幾個(gè)與32終邊相同的角之間的數(shù)量關(guān)系，終邊相同

13、的角之間的數(shù)量關(guān)系，在在“旋轉(zhuǎn)整數(shù)周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周”的幫助下，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)的幫助下，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)共同特征，得出表達(dá)式；再將共同特征，得出表達(dá)式；再將32推廣到推廣到一般角一般角。這里用到數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、。這里用到數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、從具體到抽象、通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，這是從具體到抽象、通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，這是數(shù)學(xué)地探索事物性質(zhì)的普遍方法數(shù)學(xué)地探索事物性質(zhì)的普遍方法。 這樣的閱讀中，有在研究具體內(nèi)容中領(lǐng)悟這樣的閱讀中，有在研究具體內(nèi)容中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，也有一般觀念指導(dǎo)下的發(fā)數(shù)學(xué)思想方法，也有一般觀念指導(dǎo)下的發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過(guò)程，現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過(guò)程，學(xué)生在對(duì)

14、課文的深度解讀中實(shí)現(xiàn)了高水平學(xué)生在對(duì)課文的深度解讀中實(shí)現(xiàn)了高水平數(shù)學(xué)思維參與，再一次經(jīng)歷和體驗(yàn)了數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思維參與，再一次經(jīng)歷和體驗(yàn)了數(shù)學(xué)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，學(xué)習(xí)了用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，學(xué)習(xí)了用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)規(guī)律的方法。言表示數(shù)學(xué)規(guī)律的方法。這是這是用用“數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的方式方式”閱讀閱讀，是課程意識(shí)的體現(xiàn)，也是落是課程意識(shí)的體現(xiàn)，也是落實(shí)核心素養(yǎng)的要訣實(shí)核心素養(yǎng)的要訣。以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體發(fā)展學(xué)生的以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得，要注重?cái)?shù)學(xué)對(duì)象的獲得，要注重?cái)?shù)學(xué)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間與現(xiàn)實(shí)之間的的聯(lián)聯(lián)系系，也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致、邏輯連貫也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致、

15、邏輯連貫性，從這兩個(gè)方面發(fā)現(xiàn)和提出問題，提升數(shù)學(xué)性，從這兩個(gè)方面發(fā)現(xiàn)和提出問題，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)；抽象、直觀想象等素養(yǎng)； 對(duì)對(duì)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)象的對(duì)象的研究研究，要注重以，要注重以“一般觀念一般觀念”為為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，通過(guò)數(shù)學(xué)的推理、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，通過(guò)數(shù)學(xué)的推理、論證證明結(jié)論（定理、性質(zhì)等）的過(guò)程，提升論證證明結(jié)論（定理、性質(zhì)等）的過(guò)程，提升推理、運(yùn)算等素養(yǎng)；推理、運(yùn)算等素養(yǎng)； 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，要注重利用數(shù)學(xué)概念要注重利用數(shù)學(xué)概念原理分析實(shí)際問題原理分析實(shí)際問題，體現(xiàn)建模的全過(guò)程體現(xiàn)建模的全過(guò)程，學(xué)會(huì)學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等從

16、數(shù)據(jù)中挖掘信息等?！皟蓚€(gè)過(guò)程兩個(gè)過(guò)程”的合理性的合理性 從數(shù)學(xué)從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的合理性、學(xué)生知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的合理性、學(xué)生思維過(guò)程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)思維過(guò)程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)。 前前一個(gè)的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問題，后一個(gè)的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問題，后一個(gè)是學(xué)生的思維規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)問題一個(gè)是學(xué)生的思維規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)問題。三三、教師專業(yè)發(fā)展的三大基石、教師專業(yè)發(fā)展的三大基石理解數(shù)學(xué)理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解學(xué)生理解教學(xué)理解教學(xué) 特別是，特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了理解數(shù)學(xué)的高度，同時(shí)

17、的理解水平?jīng)Q定了理解數(shù)學(xué)的高度，同時(shí)也決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。也決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。“理解數(shù)學(xué)理解數(shù)學(xué)”到底要理解什么？到底要理解什么？ 理解數(shù)學(xué)理解數(shù)學(xué)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)。理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)。 知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性內(nèi)涵，知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性內(nèi)涵，包括知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情包括知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情感等，它是知識(shí)的精義和主旨所在。感等，它是知識(shí)的精義和主旨所在。 數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、美育數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、美育價(jià)值有著天然聯(lián)系。價(jià)值有著天然聯(lián)系。 只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，才能理解只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)

18、的意蘊(yùn)，才能理解數(shù)學(xué)的基本思想，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧秘，數(shù)學(xué)的基本思想，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧秘，才能把握數(shù)學(xué)的基本方法。所以，理解數(shù)學(xué)知才能把握數(shù)學(xué)的基本方法。所以，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提。識(shí)的意蘊(yùn)是形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提。 數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與深化認(rèn)識(shí)活動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與深化認(rèn)識(shí)活動(dòng)的原動(dòng)力，是推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在根本力的原動(dòng)力，是推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在根本力量。所以，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，使學(xué)生感悟量。所以，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題和數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題和解決問題能力的根基所在。解

19、決問題能力的根基所在。 從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā)從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā),應(yīng)圍繞應(yīng)圍繞“數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系”、“空間形式空間形式”、“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”和和“公理化公理化思想思想”這四條主線這四條主線,讓讓學(xué)生學(xué)生有機(jī)會(huì)體會(huì)和認(rèn)有機(jī)會(huì)體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問題，例如引發(fā)某個(gè)數(shù)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問題，例如引發(fā)某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的基本問題學(xué)分支創(chuàng)立的基本問題,創(chuàng)立過(guò)程中出現(xiàn)的創(chuàng)立過(guò)程中出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想瓶頸和突破的關(guān)鍵思想,以及從定性到精確以及從定性到精確定量的基本過(guò)程等。定量的基本過(guò)程等。 數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來(lái)的；有哪些問題數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來(lái)的；有哪些問題值得研究，如何構(gòu)建研究路徑，如何形成值得研

20、究，如何構(gòu)建研究路徑，如何形成研究方法；如何用已有知識(shí)去解決問題，研究方法；如何用已有知識(shí)去解決問題，發(fā)展新知識(shí)；等等。發(fā)展新知識(shí)；等等。問題討論問題討論 什么什么叫叫“數(shù)學(xué)的方式數(shù)學(xué)的方式”？從從“有理數(shù)有理數(shù)” 背景引入背景引入現(xiàn)實(shí)的背景、數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯必然現(xiàn)實(shí)的背景、數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯必然性；性； 定義定義外延列舉式；外延列舉式； 表示表示符號(hào)、圖形；符號(hào)、圖形； 分類分類分類標(biāo)準(zhǔn)的確定；分類標(biāo)準(zhǔn)的確定； 性質(zhì)性質(zhì)相反數(shù)、絕對(duì)值、大小關(guān)系等；相反數(shù)、絕對(duì)值、大小關(guān)系等； 運(yùn)算和運(yùn)算律運(yùn)算和運(yùn)算律如何定義運(yùn)算法則？運(yùn)算法則如何定義運(yùn)算法則？運(yùn)算法則需要證明嗎？運(yùn)算律與運(yùn)算法則的關(guān)系？運(yùn)算律需要

21、證明嗎？運(yùn)算律與運(yùn)算法則的關(guān)系？運(yùn)算律如何證明？為什么（如何證明？為什么（1）（1）1？到到“實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)” 背景背景歸納具體實(shí)例，發(fā)現(xiàn)數(shù)的不同屬性（無(wú)歸納具體實(shí)例，發(fā)現(xiàn)數(shù)的不同屬性（無(wú)限循環(huán)、無(wú)限不循環(huán)）；限循環(huán)、無(wú)限不循環(huán)）； 定義定義外延列舉式；外延列舉式； 表示表示符號(hào)、圖形；符號(hào)、圖形； 分類分類分類標(biāo)準(zhǔn)的確定；分類標(biāo)準(zhǔn)的確定； 性質(zhì)性質(zhì)相反數(shù)、絕對(duì)值、大小關(guān)系等；相反數(shù)、絕對(duì)值、大小關(guān)系等； 運(yùn)算和運(yùn)算律（有限提及）。運(yùn)算和運(yùn)算律（有限提及）。 再到再到“復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)”體現(xiàn)數(shù)系擴(kuò)充的基本思想體現(xiàn)數(shù)系擴(kuò)充的基本思想 數(shù)系擴(kuò)充：引入一種新數(shù)（如何引入）；數(shù)系擴(kuò)充：引入一種新數(shù)（如何引入）；定義

22、其運(yùn)算（如何定義）；滿足怎樣的運(yùn)定義其運(yùn)算（如何定義）；滿足怎樣的運(yùn)算律。算律。 擴(kuò)充的基本原則是：使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律擴(kuò)充的基本原則是：使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保持不變。保持不變。 體現(xiàn)數(shù)學(xué)體現(xiàn)數(shù)學(xué)推廣過(guò)程推廣過(guò)程的重要特性：的重要特性：使得在原使得在原來(lái)范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更來(lái)范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大范圍大范圍內(nèi)仍然成內(nèi)仍然成立立。小結(jié)：需要關(guān)注的問題小結(jié)：需要關(guān)注的問題 滲透數(shù)系擴(kuò)充的思想；滲透數(shù)系擴(kuò)充的思想； 明確要研究哪些問題；明確要研究哪些問題； 研究研究的的“套路套路”邏輯結(jié)構(gòu)、過(guò)程與方邏輯結(jié)構(gòu)、過(guò)程與方法；法； 發(fā)現(xiàn)和提出問題的方法發(fā)現(xiàn)和提出問題的方法歸納；歸納； 一般一般觀念指導(dǎo)下的發(fā)現(xiàn)

23、和提出問題、分析觀念指導(dǎo)下的發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的和解決問題的過(guò)程過(guò)程；等等。；等等。再到再到“向量向量” 問題問題1：定義向量概念要完成哪些事情？：定義向量概念要完成哪些事情？ 現(xiàn)實(shí)背景現(xiàn)實(shí)背景定義定義表示（圖形、符號(hào)、表示（圖形、符號(hào)、方向、大?。┓较?、大?。┨乩阆蛄?、單位向特例（零向量、單位向量）量）性質(zhì)（向量與向量性質(zhì)（向量與向量的關(guān)系，相等的關(guān)系，相等是最重要的關(guān)系；重點(diǎn)考慮是最重要的關(guān)系；重點(diǎn)考慮“方向方向”，所，所以先有平行、共線、相反向量；等等以先有平行、共線、相反向量；等等）。）。問題問題2 2 如何定義向量加法？如何定義向量加法？ 既有大小，又有方向既有大小，

24、又有方向“方向方向”如何相如何相加？加？ “位移位移”是最好的模型，得到是最好的模型，得到“三角形法三角形法則則”； 接下來(lái)研究什么問題？接下來(lái)研究什么問題？ 定義定義a+0=0+a=a（完備性）；（完備性）； 向量加法的性質(zhì)：特例（共線）、三角形向量加法的性質(zhì)：特例（共線）、三角形不等式；運(yùn)算律。不等式；運(yùn)算律。向量的向量的數(shù)乘數(shù)乘 問題問題3 3 這個(gè)研究對(duì)象是怎么提出來(lái)的？這個(gè)研究對(duì)象是怎么提出來(lái)的？ 研究路徑該怎樣構(gòu)建（內(nèi)容、過(guò)程和方研究路徑該怎樣構(gòu)建（內(nèi)容、過(guò)程和方法）？法）？ 以以發(fā)展學(xué)生發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)為追求，根據(jù)學(xué)生的追求，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，螺旋上升地安排認(rèn)知規(guī)律，

25、螺旋上升地安排教教學(xué)學(xué)內(nèi)容內(nèi)容，特，特別是要讓重要的（往往也是難以一次完成別是要讓重要的（往往也是難以一次完成的）數(shù)學(xué)概念、思想方法得到反復(fù)理解的的）數(shù)學(xué)概念、思想方法得到反復(fù)理解的機(jī)會(huì)機(jī)會(huì)。 以以“事實(shí)事實(shí)概念概念性質(zhì)（關(guān)系）性質(zhì)（關(guān)系）結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）應(yīng)用應(yīng)用”為明線為明線； 以以“事實(shí)事實(shí)方法方法方法論方法論數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀科本質(zhì)觀”為為暗線。暗線。從數(shù)學(xué)思維、思想或核心素養(yǎng)角度看從數(shù)學(xué)思維、思想或核心素養(yǎng)角度看 “事實(shí)事實(shí)概念概念”主要是主要是“抽象抽象”（對(duì)對(duì)典型而豐富典型而豐富的具體事例進(jìn)行觀察、比較、分析的具體事例進(jìn)行觀察、比較、分析，歸納共性歸納共性，抽抽象出共同本

26、質(zhì)特征，并推廣到同類事物中去而得出象出共同本質(zhì)特征，并推廣到同類事物中去而得出概念概念）；）； “概念概念性質(zhì)性質(zhì)”主要是主要是“推理推理”，包括通過(guò)歸納，包括通過(guò)歸納推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，通過(guò)（邏輯）演繹推理證明性質(zhì)推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，通過(guò)（邏輯）演繹推理證明性質(zhì)； “性質(zhì)性質(zhì)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)”主要也是主要也是“推理推理”，是建立相關(guān)，是建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程； “概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)應(yīng)用應(yīng)用”主要是主要是“建模建?！?，是是用用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題。解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題。理

27、解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然 啟發(fā)啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！學(xué)生，示以思維之道耳！四四、如何、如何“示以學(xué)生思維之道示以學(xué)生思維之道” 使學(xué)生明白數(shù)學(xué)思維之道的關(guān)鍵點(diǎn)：使學(xué)生明白數(shù)學(xué)思維之道的關(guān)鍵點(diǎn)：（1 1）明確研究對(duì)象；）明確研究對(duì)象；（2 2）明確研究目標(biāo)；）明確研究目標(biāo)；（3 3）明確到達(dá)目標(biāo)的思路概要）明確到達(dá)目標(biāo)的思路概要發(fā)揮一般發(fā)揮一般觀念的引領(lǐng)作用。觀念的引領(lǐng)作用。幾何幾何教材教材呈現(xiàn)呈現(xiàn)的的“研究之道研究之道” 一般一般按按“背景（實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景）背景（實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景）定義（內(nèi)含、表示

28、）定義（內(nèi)含、表示）分類（以要素分類（以要素為標(biāo)準(zhǔn)）為標(biāo)準(zhǔn)）性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）互關(guān)系）特例（性質(zhì)和判定）特例（性質(zhì)和判定）聯(lián)聯(lián)系（應(yīng)用）系（應(yīng)用）”的邏輯的邏輯展開展開，在定性研究的，在定性研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行定量研究基礎(chǔ)上進(jìn)行定量研究。這個(gè)系統(tǒng)具有一般這個(gè)系統(tǒng)具有一般意義，是科學(xué)研究的意義，是科學(xué)研究的“基本之道基本之道”。教師。教師以此為基本依據(jù)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，并讓學(xué)生以此為基本依據(jù)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，并讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷這個(gè)邏輯過(guò)程，是反復(fù)經(jīng)歷這個(gè)邏輯過(guò)程，是“使學(xué)生學(xué)會(huì)使學(xué)生學(xué)會(huì)思考思考”的的關(guān)鍵。關(guān)鍵。平面幾何的研究思路和方法平面幾何的研究思路和方法 平面圖形中

29、，三角形是最簡(jiǎn)單的平面圖形中，三角形是最簡(jiǎn)單的，圓，圓是最完美是最完美的（主要表現(xiàn)在對(duì)稱性上）。于是，平面幾何的（主要表現(xiàn)在對(duì)稱性上）。于是，平面幾何中研究三角形、圓的基本性質(zhì)有奠基作用中研究三角形、圓的基本性質(zhì)有奠基作用。三三角形是最基本的。角形是最基本的。 得到得到三角形的性質(zhì)是一方面，更重要的是得到三角形的性質(zhì)是一方面，更重要的是得到了研究幾何圖形的一個(gè)典范了研究幾何圖形的一個(gè)典范研究研究其他其他幾何幾何對(duì)象都對(duì)象都可以循著這樣的思路展開，同時(shí)還得到可以循著這樣的思路展開，同時(shí)還得到了一個(gè)了一個(gè)“工具工具”，因?yàn)槲覀兺萌切蔚?，因?yàn)槲覀兺萌切蔚男再|(zhì)去分析其他幾何圖形的性質(zhì)。

30、性質(zhì)去分析其他幾何圖形的性質(zhì)。三角形性質(zhì)的研究思路和三角形性質(zhì)的研究思路和方法方法 以以三角形三角形的的要素（三條邊、三個(gè)內(nèi)角）、要素（三條邊、三個(gè)內(nèi)角）、相關(guān)要素（高、中線、角平分線、外角等）相關(guān)要素（高、中線、角平分線、外角等）以及幾何量（邊長(zhǎng)、角度、面積等）之間以及幾何量（邊長(zhǎng)、角度、面積等）之間的相互關(guān)系為基本問題，從的相互關(guān)系為基本問題，從“形狀、大小形狀、大小和位置關(guān)系和位置關(guān)系”等角度展開研究。顯然，這等角度展開研究。顯然，這是一般觀念指導(dǎo)下的研究是一般觀念指導(dǎo)下的研究。 “性質(zhì)就是一類事物共有的特性性質(zhì)就是一類事物共有的特性”之類的之類的說(shuō)法過(guò)于宏觀，在具體思考中沒有可操作說(shuō)法

31、過(guò)于宏觀，在具體思考中沒有可操作性，需要針對(duì)具體內(nèi)容進(jìn)行歸納。例如：性，需要針對(duì)具體內(nèi)容進(jìn)行歸納。例如： 運(yùn)算中的不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)運(yùn)算中的不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)研究代數(shù)性質(zhì)，研究代數(shù)性質(zhì)，“算算看算算看”是基本方法；是基本方法； 變化中的不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)變化中的不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)研究函數(shù)的性質(zhì)，在運(yùn)動(dòng)變化中進(jìn)行觀察研究函數(shù)的性質(zhì)，在運(yùn)動(dòng)變化中進(jìn)行觀察是基本方法；是基本方法； 要素和要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)要素和要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)觀察幾何圖形的構(gòu)成要素之間的相互關(guān)系觀察幾何圖形的構(gòu)成要素之間的相互關(guān)系（位置（位置關(guān)系、大小關(guān)系等）是研究幾何性關(guān)系、大小關(guān)系等）是

32、研究幾何性質(zhì)的基本方法質(zhì)的基本方法； 讓學(xué)生理解讓學(xué)生理解“幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)”的內(nèi)涵的內(nèi)涵 從三角形的從三角形的“內(nèi)角和為內(nèi)角和為180”、“兩邊之兩邊之和大于第三邊和大于第三邊”、“大邊對(duì)大角大邊對(duì)大角”、“等等邊對(duì)等角邊對(duì)等角”等你想到了什么？等你想到了什么？ 三角形要素之間確定的關(guān)系三角形要素之間確定的關(guān)系不隨三角不隨三角形的變化而變化。形的變化而變化。 幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。質(zhì)。 從從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三三條高交于一點(diǎn)條高交于一點(diǎn)”、“等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一”等又想到了什么？等又想

33、到了什么？ 把外角、高、中線、角平分線等叫做三角把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素相關(guān)要素”、要素、要素之間確定的關(guān)系。之間確定的關(guān)系。 要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。 兩個(gè)幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體兩個(gè)幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從“同位同位角相等角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等”以及以及“同旁內(nèi)同旁內(nèi)角互補(bǔ)角互補(bǔ)”可以想到，這時(shí)的可以想到，這時(shí)的“性質(zhì)性質(zhì)”是借是借助助“第三條直線第三條直線”構(gòu)成一些角，然后看由構(gòu)成一些角，然后看

34、由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。角之間有什么確定的關(guān)系。 研究?jī)蓚€(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有研究?jī)蓚€(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾何事物與其他幾何事物之間是否形兩個(gè)幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關(guān)系入手。成確定的關(guān)系入手。圓的幾何性質(zhì)圓的幾何性質(zhì) 要素、相關(guān)要素：圓心、半徑、直徑、弧、要素、相關(guān)要素：圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角弦、圓心角、圓周角 你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？

35、研究的命題？ 同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過(guò)圓心的任何同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過(guò)圓心的任何一條弦；一條弦； 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??；所對(duì)的兩條弧； 在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦相等，在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦相等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對(duì)的弦較大（弦心距較?。?；逆定理也所對(duì)的弦較大（弦心距較小）；逆定理也成立。成立。 切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。 過(guò)圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長(zhǎng)相等。過(guò)圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長(zhǎng)相等。 你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？你能發(fā)

36、現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究 棱柱棱柱 要素、相關(guān)要素：面、棱、頂點(diǎn)、面對(duì)角要素、相關(guān)要素：面、棱、頂點(diǎn)、面對(duì)角線、體對(duì)角線、高線、體對(duì)角線、高 要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系：面與面、棱要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系：面與面、棱與棱、面與棱與棱、面與棱 特例：長(zhǎng)方體特例：長(zhǎng)方體正方體，平行六面體正方體，平行六面體 直線與平面平行的性質(zhì)直線與平面平行的性質(zhì) 位置關(guān)系：直線位置關(guān)系：直線l 平面平面； 其他事物：直線、平面；其他事物：直線、平面； 命題：命題：（1）如果）如果 al，那么，那么a ；（2）如果）如果 a ，那么，那么a l；（3）如果）如果a l，那么

37、，那么a；（4）如果）如果a，那么，那么a l；（5）如果）如果l，那么，那么；（6）如果）如果，那么，那么l；（7）如果）如果l，那么，那么 ；（8）如果）如果 ，那么，那么 l。（9）與）與“公理公理”相聯(lián)系，直線相聯(lián)系，直線l與平面與平面 內(nèi)任內(nèi)任意一點(diǎn)意一點(diǎn)A確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 ， =m ，那么，那么 ml；（10）l ，所以，所以l =。如果。如果m在在 內(nèi)，內(nèi)，則或者則或者ml，或者，或者m與與l是異面直線。是異面直線。（11）直線）直線m與直線與直線l異面，則過(guò)直線異面，則過(guò)直線m有且有且只有一個(gè)平面與直線只有一個(gè)平面與直線l平行。平行。（12）l ， =l， =l1， =

38、l2，那那么么l1l2。貫徹貫徹“以學(xué)生為中心以學(xué)生為中心”的原則的原則 圍繞教學(xué)圍繞教學(xué)目標(biāo)目標(biāo)設(shè)計(jì)盡量多設(shè)計(jì)盡量多的的挑戰(zhàn)性挑戰(zhàn)性任務(wù)任務(wù)； 制造懸念，激發(fā)好奇心、學(xué)習(xí)興趣；制造懸念，激發(fā)好奇心、學(xué)習(xí)興趣； 教師教師少做少做，學(xué)生，學(xué)生多多做做，讓學(xué)生，讓學(xué)生感到感到“我我能做能做，能做好能做好”； 避免避免“告知告知”，給學(xué)生，給學(xué)生更多更多嘗試、嘗試、發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)； 調(diào)動(dòng)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)生的所有感官參與的所有感官參與學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)； 努力努力促成促成學(xué)生之間學(xué)生之間的的互相學(xué)習(xí)互相學(xué)習(xí)； 輕松愉快的輕松愉快的學(xué)習(xí)氛圍，學(xué)習(xí)氛圍，整潔清新的整潔清新的學(xué)習(xí)環(huán)境學(xué)習(xí)環(huán)境； 豐富豐富的反饋信息，包

39、括形成的反饋信息，包括形成性性、總結(jié)性總結(jié)性的評(píng)估的評(píng)估和評(píng)論和評(píng)論。從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué) 以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，按學(xué)以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)程，提高發(fā)現(xiàn)和提一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認(rèn)出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認(rèn)識(shí)和解決問題的能力。識(shí)和解決問題的能力。數(shù)學(xué)化的過(guò)程數(shù)學(xué)化的過(guò)程關(guān)于核心素養(yǎng)立意的教學(xué)思考關(guān)于核心素養(yǎng)立意的教學(xué)思考以三角函數(shù)為例以三角函數(shù)為例觀點(diǎn)：教觀點(diǎn)：教好好數(shù)學(xué)就落實(shí)了

40、核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)就落實(shí)了核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)育人的載體是數(shù)學(xué)知識(shí)；數(shù)學(xué)育人的載體是數(shù)學(xué)知識(shí)； 數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式什么叫什么叫“數(shù)數(shù)學(xué)的方式學(xué)的方式”？ 教教好數(shù)學(xué)就落實(shí)了核心素養(yǎng)好數(shù)學(xué)就落實(shí)了核心素養(yǎng)怎樣教才怎樣教才算是算是“教好數(shù)學(xué)教好數(shù)學(xué)”？一、對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)一、對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)（一）三角函數(shù)發(fā)展史概述（一）三角函數(shù)發(fā)展史概述三角術(shù)在希臘定量幾何學(xué)中三角術(shù)在希臘定量幾何學(xué)中應(yīng)運(yùn)而生應(yīng)運(yùn)而生，到托到托勒密出版勒密出版數(shù)學(xué)匯編，希臘三角術(shù)及在天數(shù)學(xué)匯編，希臘三角術(shù)及在天文學(xué)上的應(yīng)用達(dá)到頂峰。這部著作中有大量文學(xué)上的應(yīng)用達(dá)到頂峰。這部著作中有大量三角恒等變形問題，包括和（差）角

41、公式、三角恒等變形問題，包括和（差）角公式、和差化積公式等，證明采用了初等幾何方法和差化積公式等，證明采用了初等幾何方法。三角學(xué)三角學(xué)的發(fā)展與天文學(xué)相互交織，且服務(wù)于的發(fā)展與天文學(xué)相互交織，且服務(wù)于天文學(xué)。到十六世紀(jì)，三角學(xué)開始從天文學(xué)天文學(xué)。到十六世紀(jì)，三角學(xué)開始從天文學(xué)里分離出來(lái)，并成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支里分離出來(lái)，并成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。 為了應(yīng)付航海、天文、測(cè)量等實(shí)踐之需，為了應(yīng)付航海、天文、測(cè)量等實(shí)踐之需，制作三角函數(shù)表成為三角學(xué)研究的核心工制作三角函數(shù)表成為三角學(xué)研究的核心工作。因?yàn)樵谥谱鬟^(guò)程中需要大量的三角恒作。因?yàn)樵谥谱鬟^(guò)程中需要大量的三角恒等變形，所以三角恒等變形問題占據(jù)了重等變形

42、，所以三角恒等變形問題占據(jù)了重要地位要地位。 隨著隨著對(duì)數(shù)的發(fā)明，特別是微積分的創(chuàng)立，對(duì)數(shù)的發(fā)明，特別是微積分的創(chuàng)立，三角函數(shù)表的制作變得輕而易舉，繁雜的三角函數(shù)表的制作變得輕而易舉，繁雜的三角恒等變形不再需要，曾經(jīng)重要的三角三角恒等變形不再需要，曾經(jīng)重要的三角公式也風(fēng)光不再公式也風(fēng)光不再。（二）三角函數(shù)課程的與時(shí)俱進(jìn)（二）三角函數(shù)課程的與時(shí)俱進(jìn) 從從應(yīng)用的角度看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)作為描應(yīng)用的角度看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位，因?yàn)槭鲋芷诂F(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位，因?yàn)椤叭呛瘮?shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系與結(jié)合非常三角函數(shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系與結(jié)合非常重要，最重要的是它與振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系

43、，重要，最重要的是它與振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系，可以說(shuō)，它幾乎是全部高科技的基礎(chǔ)之可以說(shuō)，它幾乎是全部高科技的基礎(chǔ)之一一”。在建立三角函數(shù)的基本概念、認(rèn)識(shí)。在建立三角函數(shù)的基本概念、認(rèn)識(shí)它的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上它的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對(duì)，對(duì)y=Asin(x+)的的研究研究很重要很重要，實(shí)用且實(shí)用且有利于有利于提升學(xué)生的提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力數(shù)學(xué)建模能力。 “正弦、余弦函數(shù)是一對(duì)起源于圓周運(yùn)動(dòng)，正弦、余弦函數(shù)是一對(duì)起源于圓周運(yùn)動(dòng)，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是函

44、數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對(duì)稱性）的直接圓的幾何性質(zhì)（主要是其對(duì)稱性）的直接反映。反映?！彼?，要充分發(fā)揮單位圓的作用所以，要充分發(fā)揮單位圓的作用，借助借助單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)的所有內(nèi)單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)的所有內(nèi)容，這有利于提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化、直觀容，這有利于提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化、直觀想象能力。想象能力。 在思想、方法上，要強(qiáng)調(diào)函數(shù)的變換（映在思想、方法上，要強(qiáng)調(diào)函數(shù)的變換（映射）與坐標(biāo)系的變換及其關(guān)系、對(duì)稱性與射）與坐標(biāo)系的變換及其關(guān)系、對(duì)稱性與不變性等數(shù)學(xué)的主流思想和不變性等數(shù)學(xué)的主流思想和方法方法有些有些放正文，有些可以作為拓展放正文，有些可以作為拓展

45、。 這樣認(rèn)識(shí)和處理內(nèi)容，體現(xiàn)了三角函數(shù)性這樣認(rèn)識(shí)和處理內(nèi)容，體現(xiàn)了三角函數(shù)性質(zhì)的整體性，可以更充分地發(fā)揮三角函數(shù)質(zhì)的整體性，可以更充分地發(fā)揮三角函數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生在培養(yǎng)學(xué)生的的直觀想象、直觀想象、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)抽象、抽象、邏輯邏輯推理推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等等核心素養(yǎng)的核心素養(yǎng)的作用作用。 要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)與向量、復(fù)數(shù)、解析幾何要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)與向量、復(fù)數(shù)、解析幾何等的聯(lián)系與綜合，這可以通過(guò)加強(qiáng)三角函等的聯(lián)系與綜合，這可以通過(guò)加強(qiáng)三角函數(shù)在后續(xù)相關(guān)內(nèi)容中的應(yīng)用來(lái)體現(xiàn)，也可數(shù)在后續(xù)相關(guān)內(nèi)容中的應(yīng)用來(lái)體現(xiàn)，也可以通過(guò)用向量、復(fù)數(shù)的方法重新推導(dǎo)三角以通過(guò)用向量、復(fù)數(shù)的方法重新推導(dǎo)三角變換公式

46、等來(lái)實(shí)現(xiàn)。變換公式等來(lái)實(shí)現(xiàn)。 總之，定義三角函數(shù)的最好方式是利用直總之，定義三角函數(shù)的最好方式是利用直角坐標(biāo)系中的單位圓。抓住三角函數(shù)作為角坐標(biāo)系中的單位圓。抓住三角函數(shù)作為刻畫勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，這就真正刻畫勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，這就真正抓住了要領(lǐng)，就能以簡(jiǎn)馭繁抓住了要領(lǐng)，就能以簡(jiǎn)馭繁。二、課標(biāo)對(duì)三角函數(shù)的定位二、課標(biāo)對(duì)三角函數(shù)的定位 三角函數(shù)三角函數(shù)是一類最典型的是一類最典型的周期函數(shù)周期函數(shù)。 整體要求：整體要求：借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會(huì)引入弧度制的必要性；能夠用幾何直觀和代數(shù)體會(huì)引入弧度制的必要性；能夠用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究

47、三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、單調(diào)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性和最值等性質(zhì)；能夠探索和研究三角函數(shù)之間的性和最值等性質(zhì)；能夠探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系；能夠利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，一些恒等關(guān)系；能夠利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。提升數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象和運(yùn)解決實(shí)際問題。提升數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象和運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)建模能力。算能力以及數(shù)學(xué)建模能力。 本章本章內(nèi)容的大結(jié)構(gòu)：概念內(nèi)容的大結(jié)構(gòu)：概念（基本）（基本）性質(zhì)性質(zhì)（周期周期性性、對(duì)稱性、單調(diào)性和最值、對(duì)稱性、單調(diào)性和最值等等）特殊性質(zhì)特殊性質(zhì)（三三角函數(shù)角函數(shù)的恒等的恒等關(guān)系）關(guān)系）應(yīng)用。應(yīng)用。 加強(qiáng)單位

48、圓的作用，進(jìn)一步突出主線和核加強(qiáng)單位圓的作用，進(jìn)一步突出主線和核心概念；心概念； 體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)容、過(guò)程和方體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)容、過(guò)程和方法：概念法：概念圖像、基本性質(zhì)（直接由定圖像、基本性質(zhì)（直接由定義推出，要素的關(guān)系）義推出，要素的關(guān)系）其他性質(zhì)（聯(lián)其他性質(zhì)（聯(lián)系層面）系層面）應(yīng)用（把應(yīng)用（把y = A sin (x+)作為作為應(yīng)用、建模的結(jié)果）。應(yīng)用、建模的結(jié)果）。三、學(xué)生認(rèn)知三、學(xué)生認(rèn)知分析分析 認(rèn)知基礎(chǔ)：認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念、表示學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念、表示與性質(zhì)等，掌握了研究函數(shù)的一般方法，與性質(zhì)等，掌握了研究函數(shù)的一般方法，通過(guò)冪、指、對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌

49、握了通過(guò)冪、指、對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了研究一類函數(shù)的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、過(guò)程與方法。研究一類函數(shù)的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、過(guò)程與方法。這些函數(shù)的一個(gè)共同特點(diǎn)是它們的表達(dá)式這些函數(shù)的一個(gè)共同特點(diǎn)是它們的表達(dá)式都是代數(shù)式，是代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的反映。學(xué)都是代數(shù)式，是代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的反映。學(xué)生在平面幾何中學(xué)習(xí)了圓的知識(shí)，對(duì)圓的生在平面幾何中學(xué)習(xí)了圓的知識(shí)，對(duì)圓的幾何性質(zhì)有一定的掌握，但對(duì)幾何性質(zhì)有一定的掌握，但對(duì)“圓的旋轉(zhuǎn)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性對(duì)稱性”強(qiáng)調(diào)不夠。強(qiáng)調(diào)不夠。學(xué)習(xí)困難分析學(xué)習(xí)困難分析 三角函數(shù)三角函數(shù)不不以以“代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算”為為媒介媒介，是是幾幾何量（角與有向線段）之間何量（角與有向線段）之間的的直接直接對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)，不

50、是通過(guò)對(duì)不是通過(guò)對(duì)計(jì)算得到函數(shù)值，這是一個(gè)復(fù)計(jì)算得到函數(shù)值，這是一個(gè)復(fù)雜、不良結(jié)構(gòu)雜、不良結(jié)構(gòu)情境情境，是主要的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。是主要的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。 在在“對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識(shí)上必須采取措施破的認(rèn)識(shí)上必須采取措施破除定勢(shì)，幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的除定勢(shì)，幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的“三要三要素素”，特別是要在落實(shí)，特別是要在落實(shí)“給定一個(gè)角，如給定一個(gè)角，如何得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值何得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值”的操作過(guò)程的基礎(chǔ)的操作過(guò)程的基礎(chǔ)上再給上再給定義定義。 三角函數(shù)的三角函數(shù)的性質(zhì)與以往不同性質(zhì)與以往不同，主要表現(xiàn)在，主要表現(xiàn)在豐富的對(duì)稱性上豐富的對(duì)稱性上；以單位圓為媒介而建立以單位圓為媒介而建立起性質(zhì)之間的豐富

51、關(guān)聯(lián)，例如，由定義直起性質(zhì)之間的豐富關(guān)聯(lián)，例如，由定義直接推出同角三角函數(shù)之間的關(guān)系；結(jié)合單接推出同角三角函數(shù)之間的關(guān)系；結(jié)合單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及其坐標(biāo)的變化規(guī)律（非位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及其坐標(biāo)的變化規(guī)律（非常直觀），由定義可直接推出單調(diào)性、周常直觀），由定義可直接推出單調(diào)性、周期性期性。四、四、教教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)設(shè)計(jì)的思考的思考 根據(jù)根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的內(nèi)在邏輯，數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的內(nèi)在邏輯，體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路基本套路”，使使教教學(xué)學(xué)內(nèi)容具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性內(nèi)容具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，教學(xué)過(guò)程具，教學(xué)過(guò)程具有有連貫性；連貫性；同時(shí)，要發(fā)揮核心概念及其蘊(yùn)同時(shí)，要發(fā)揮核心概念及其

52、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的紐帶作用，使含的數(shù)學(xué)思想方法的紐帶作用，使教教學(xué)過(guò)學(xué)過(guò)程程具有具有思想方法思想方法的的前后前后一致性。一致性?？茖W(xué)科學(xué)性性 以以發(fā)展學(xué)生發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)為追求，根據(jù)學(xué)生的追求，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，螺旋上升地安排認(rèn)知規(guī)律，螺旋上升地安排教教學(xué)學(xué)內(nèi)容內(nèi)容，特，特別是要讓重要的（往往也是難以一次完成別是要讓重要的（往往也是難以一次完成的）數(shù)學(xué)概念、思想方法得到反復(fù)理解的的）數(shù)學(xué)概念、思想方法得到反復(fù)理解的機(jī)會(huì)機(jī)會(huì)。心理性心理性 以以“事實(shí)事實(shí)概念概念性質(zhì)（關(guān)系）性質(zhì)（關(guān)系）結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）應(yīng)用應(yīng)用”為明線為明線； 以以“事實(shí)事實(shí)方法方法方法論方法論數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科

53、本質(zhì)觀科本質(zhì)觀”為為暗線。暗線。從數(shù)學(xué)思維從數(shù)學(xué)思維、思想、思想或核心或核心素養(yǎng)角度素養(yǎng)角度看看 “事實(shí)事實(shí)概念概念”主要是主要是“抽象抽象”（在周而復(fù)（在周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，涉及哪些量，它們之間的關(guān)始的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，涉及哪些量，它們之間的關(guān)系如何，可以用怎樣的數(shù)學(xué)方式表示）系如何，可以用怎樣的數(shù)學(xué)方式表示）； “概念概念性質(zhì)性質(zhì)”主要是主要是“推理推理”，包括通過(guò)，包括通過(guò)歸納推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，通過(guò)（邏輯）演繹推理證歸納推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，通過(guò)（邏輯）演繹推理證明性質(zhì)明性質(zhì)； “性質(zhì)性質(zhì)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)”主要也是主要也是“推理推理”，是建立，是建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系而形

54、成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程； “概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)應(yīng)用應(yīng)用”主要是主要是“建建模模”，是，是用用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題。解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題。 在在整個(gè)整個(gè)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容的的展開過(guò)程中，都要發(fā)揮展開過(guò)程中，都要發(fā)揮“一般觀念一般觀念”的作用，加強(qiáng)的作用，加強(qiáng)“如何思考如何思考”、“如何發(fā)現(xiàn)如何發(fā)現(xiàn)”的啟發(fā)和引導(dǎo)，特別是在概的啟發(fā)和引導(dǎo)，特別是在概念的抽象要做念的抽象要做什么什么、“幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)”“”“代數(shù)代數(shù)性質(zhì)性質(zhì)”“”“函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)”指什么等問題指什么等問題上要及上要及時(shí)引導(dǎo)，以使學(xué)生明確思考方向時(shí)引導(dǎo)，

55、以使學(xué)生明確思考方向。 當(dāng)前的教學(xué)，主要問題是數(shù)學(xué)沒有講好，當(dāng)前的教學(xué)，主要問題是數(shù)學(xué)沒有講好，老師不知道如何老師不知道如何“示以思維之道示以思維之道”。我們。我們應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)這方面的研究。應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)這方面的研究。五、素材選擇的五、素材選擇的思考思考 在概念引入階段，要使用學(xué)生熟悉的周而在概念引入階段，要使用學(xué)生熟悉的周而復(fù)始現(xiàn)象，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究三角函數(shù)的復(fù)始現(xiàn)象，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究三角函數(shù)的必要性。必要性。 在概念的抽象（即研究對(duì)象的獲得）階段，在概念的抽象（即研究對(duì)象的獲得）階段，要利用典型的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如水車、摩要利用典型的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如水車、摩天輪等，物理中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、波動(dòng)、電磁天輪等，

56、物理中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、波動(dòng)、電磁振蕩等，構(gòu)建振蕩等，構(gòu)建“周期變化現(xiàn)象周期變化現(xiàn)象勻速圓勻速圓周運(yùn)動(dòng)周運(yùn)動(dòng)單位圓上的點(diǎn)以單位速率作勻單位圓上的點(diǎn)以單位速率作勻速運(yùn)動(dòng)速運(yùn)動(dòng)”的過(guò)程的過(guò)程。 在性質(zhì)的研究階段，要充分發(fā)揮學(xué)生已經(jīng)在性質(zhì)的研究階段，要充分發(fā)揮學(xué)生已經(jīng)掌握的研究函數(shù)性質(zhì)的已有經(jīng)驗(yàn)以及圓的掌握的研究函數(shù)性質(zhì)的已有經(jīng)驗(yàn)以及圓的幾何性質(zhì)的作用，因此要在選材上重視函幾何性質(zhì)的作用，因此要在選材上重視函數(shù)性質(zhì)、圓的性質(zhì)等要素。數(shù)性質(zhì)、圓的性質(zhì)等要素。 在應(yīng)用階段，要注意利用水車、摩天輪、在應(yīng)用階段，要注意利用水車、摩天輪、潮起潮落等現(xiàn)實(shí)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的潮起潮落等現(xiàn)實(shí)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的建立三

57、角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過(guò)程；建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過(guò)程；還要選擇物理等相關(guān)學(xué)科有一定變式性質(zhì)還要選擇物理等相關(guān)學(xué)科有一定變式性質(zhì)的實(shí)例，如鐘擺、電學(xué)等的實(shí)例，如鐘擺、電學(xué)等。六、系列數(shù)學(xué)活動(dòng)的安排六、系列數(shù)學(xué)活動(dòng)的安排（一）數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)與核心素養(yǎng)的（一）數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)與核心素養(yǎng)的關(guān)系關(guān)系 核心素養(yǎng)就是在復(fù)雜情境中解決問題的能力和核心素養(yǎng)就是在復(fù)雜情境中解決問題的能力和品質(zhì)品質(zhì)。 核心核心素養(yǎng)所蘊(yùn)含的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，核心素養(yǎng)是個(gè)素養(yǎng)所蘊(yùn)含的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，核心素養(yǎng)是個(gè)體在與情境的持續(xù)互動(dòng)中，不斷解決問題、創(chuàng)體在與情境的持續(xù)互動(dòng)中，不斷解決問題、創(chuàng)生意義的過(guò)程中形成的生意義的過(guò)程中形成

58、的。 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以核心素養(yǎng)的形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為路徑而逐步實(shí)現(xiàn)的。情境化是數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)為路徑而逐步實(shí)現(xiàn)的。情境化是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。 構(gòu)建構(gòu)建系列數(shù)學(xué)系列數(shù)學(xué)活動(dòng)活動(dòng)，要要注重創(chuàng)設(shè)與現(xiàn)實(shí)生注重創(chuàng)設(shè)與現(xiàn)實(shí)生活緊密關(guān)聯(lián)的、真實(shí)性的問題情境（這樣活緊密關(guān)聯(lián)的、真實(shí)性的問題情境（這樣的情境必然具有一定的復(fù)雜性），設(shè)計(jì)基的情境必然具有一定的復(fù)雜性），設(shè)計(jì)基于問題的、基于項(xiàng)目的活動(dòng)方式（如典型于問題的、基于項(xiàng)目的活動(dòng)方式（如典型實(shí)例的共同特征的抽象與概括，數(shù)學(xué)對(duì)象實(shí)例的共同特征的抽象與概括，數(shù)學(xué)對(duì)象的要素之間關(guān)系

59、的探索，相關(guān)概念之間聯(lián)的要素之間關(guān)系的探索，相關(guān)概念之間聯(lián)系性的研究等），引導(dǎo)學(xué)生開展體驗(yàn)學(xué)習(xí)、系性的研究等），引導(dǎo)學(xué)生開展體驗(yàn)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、建構(gòu)學(xué)習(xí)，通過(guò)有結(jié)構(gòu)、有邏合作學(xué)習(xí)、建構(gòu)學(xué)習(xí)，通過(guò)有結(jié)構(gòu)、有邏輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)科觀念、輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)科觀念、數(shù)學(xué)思維方式和探究技能，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)思維方式和探究技能，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的持續(xù)結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生的理性思維和技能的持續(xù)結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生的理性思維不斷走向成熟不斷走向成熟。（二）以（二）以系統(tǒng)化知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化知識(shí)結(jié)構(gòu)為載體的為載體的數(shù)學(xué)活動(dòng)數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì) 背景引入背景引入，通過(guò)通過(guò)典型而豐富的周而復(fù)始的典型而豐富的周而復(fù)始的變化現(xiàn)象，著重解決研究三角函數(shù)的必要變化現(xiàn)象，著重解決研究三角函數(shù)的必要性，要發(fā)揮信息技術(shù)的力量。性，要發(fā)揮信息技術(shù)的力量。 預(yù)備預(yù)備概念，任意角與弧度制，通過(guò)生產(chǎn)、概念，任意角與弧度制，通過(guò)生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題，使