不定積分論文

1、對不定積分一題多解的分析目 錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Keywords21 引言32 求不定積分的思想方法3 2.1直接積分的思想方法3 2.2換元積分的思想方法3 2.2.1第一類換元積分的思想方法3 2.2.2第二類換元積分的思想方法3 2.3分部積分的思想方法4 2.4拆項(xiàng)的思想方法43 常見的不定積分類型44 例題分析 7 5 不定積分的方法與歸類10結(jié)束語11謝辭11參考文獻(xiàn)11 - 11 -對不定積分一題多解的分析對不定積分一題多解的分析摘 要 隨著社會進(jìn)入信息時(shí)代，積分的語言已經(jīng)滲透到各個領(lǐng)域。積分的出現(xiàn)不僅是數(shù)學(xué)史上也是人類歷史上一個偉大的創(chuàng)舉。它的產(chǎn)生是由于社會經(jīng)濟(jì)的

2、發(fā)展和生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步的需要促成的，也是自古以來許多數(shù)學(xué)家長期辛勤發(fā)展起來的一連串?dāng)?shù)學(xué)思想的結(jié)晶。因此，他在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。 研究不定積分要重在提高自己的邏輯思維能力、科學(xué)分析能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)語言能力、聯(lián)想運(yùn)算能力以及應(yīng)用能力。求解不定積分的過程對學(xué)生的科學(xué)思維和文化素質(zhì)的培養(yǎng)所起的作用極為明顯。數(shù)學(xué)與不同學(xué)科的結(jié)合形成新興學(xué)科，都體現(xiàn)了量化方法已經(jīng)成為研究經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會科學(xué)的重要方法。掌握了它，會使我們在以后的學(xué)習(xí)及工作中占有一定的優(yōu)勢。 本文的題目是“對不定積分一題多解的分析”。一題多解其實(shí)就是培養(yǎng)學(xué)生的多方向性和開放性思維，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維最有效的方法。其主要解法有三種，分別是

3、：直接積分法、換元積分法以及分部積分法。對于同一題可以用不同的方法來解。關(guān)鍵字：積分；直接積分法；換元積分法；分部積分法;一題多解Indefinite integral solutions to a problem of example analysis Liu Han( Xianyang Normal University College of mathematics and information science, Shaanxi, Xianyang)Abstract Along with the society into the information age, the integral

4、 language has penetrated into all fields. It is not only the emergence of mathematics history is also the history of the last great pioneering work. It is caused because of the development of social economy and the progress of production technologyof the need to facilitate, also since ancient times,

5、 many mathematicians long-term hard developed a series of mathematical thought crystallization. Therefore, he was in mathematics and other disciplines have a wide range of applications.Study of indefinite integral should focus on improving their ability of logic thinking, scientific analysis ability

6、, making use of the mathematics language ability, operation ability and application ability of association. Solving indefinite integral process on students scientific thinking and cultural quality cultivation of the role is very clear. Mathematics and different disciplines are combined to form a new

7、 discipline, reflected the quantification method has become the study of economics, social scientific important method. Grasp it, we will in future work to occupy certain advantages.The title of this paper is on indefinite integral solutions to a problem analysis. Several solutions to one problem is

8、 to cultivate the students multiple directions and open thinking, divergent thinking of students is the most effective method. Its main method has three kinds, respectively is: the direct integral method, integration by substitution and subsection integral method. For the same problem can use differ

9、ent methods to solve.Keywords: integral; integral method; changing integral method; subsection integral method；several solutions to one problem.1 引 言 怎樣計(jì)算不定積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)不定積分的求解方法技巧性很強(qiáng)，靈活性也比較大，而且對于同一個不定積分可能有多種不同的求解方法為了開拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力，使學(xué)生能夠更好的理解和使用多種積分方法，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果，教學(xué)中往往要讓學(xué)生進(jìn)行一題多解的練習(xí) 在學(xué)生初步

10、掌握不定積分的基本積分方法后，我們不能局限于一題一解，要試圖一題多解。為了正確使用各種積分方法求解不定積分，我們必須掌握它的概念和性質(zhì)以及積分的基本公式，才能夠在以后的解題中做題自如，進(jìn)行同類遷移。2. 求不定積分思想方法2.1 直接積分的思想方法 觀察所求積分的形式是否可用積分基本公式直接求解。2.2 換元積分的思想方法2.2.1 第一類換元（湊微分法）的思想方法（1）被積函數(shù)有一個因式，主要是觀察被積函數(shù)與積分基本公式中的哪一個公式的被積函數(shù)相似，即所應(yīng)用的基本積分公式；然后再根據(jù)與基本積分公式相似的形式進(jìn)行湊微分，湊微分的目的是為了應(yīng)用積分基本公式和性質(zhì)求積分。（2）被積函數(shù)有兩個因式時(shí)

11、，先由一個因式找到與基本積分公式相似的公式，余下一個因式與 結(jié)合湊微分，進(jìn)而可由積分基本公式求出結(jié)果。2.2.2 第二類換元的思想方法主要可以分為以下三類：1.三角代換 2.根式代換 3.倒數(shù)代換 第二類換元積分法主要是通過對所求積分進(jìn)行化簡。（1） 根式代換：如果被積函數(shù)中，含有因子，我們可以通過去掉根 式，以便化簡后的積分式能直接積分或使用簡單的變形湊微分后可直接用積分基 本公式，故選取要保證去掉根式。（2）三角代換法：如果被積函數(shù)中，含有因式，時(shí)，我 們由根號下式子的特點(diǎn)，能夠聯(lián)想到三角公式的平方關(guān)系式，以及由此來選擇，以此來去掉根號。當(dāng)遇到時(shí)， 先將進(jìn)行配方成，三種形式中的一種，再用

12、公式或利用三角代換積分。若果遇到，我們對它先進(jìn)行分母有理化，在對 其分子進(jìn)行配方就可化簡為，三種形式中的一種，可根 據(jù)上述方法進(jìn)行求解。 （3）倒數(shù)代換：當(dāng)積分表達(dá)式分母中自變量的冪較高于分子時(shí)，我們可以采用 進(jìn)行化簡求解2.3 分部積分的思想方法分部積分法是運(yùn)用公式進(jìn)行求解不定積分，通常適用于兩類不同函數(shù)相乘的積分。此法的關(guān)鍵是，的選擇。通常來講，先選定，使選定的能容易的湊出微分且積分后不是很復(fù)雜，求導(dǎo)后變簡單，一次分部積分后，未積出的部分要比原來的積分簡單。如果被積函數(shù)是反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)中任意兩類函數(shù)的乘積，那么，我們可以考慮按照反、對、冪、三、指的順序來選

13、取，另一個函數(shù)想辦法湊成進(jìn)行分部積分。2.4 拆項(xiàng)的思想方法 對形如這種形式的積分，我們很難進(jìn)行用以上公式進(jìn)行求解，那么我們可以對它進(jìn)行拆項(xiàng)已達(dá)到可以用以上方法求解的效果。我們把可以分解為。例：（和C均為任意常數(shù)）3 常見函數(shù)的積分類型 （1）有理函數(shù)的積分一般情況下，是把有理函數(shù)變形為有理整函數(shù)與真分式函數(shù)之和的形式，把真分式函數(shù)化成部分分式函數(shù)之和的形式，然后利用積分的一些方法將有理函數(shù)的積分積出來。（2）無理函數(shù)的積分如果所求積分不能用直接積分法、換元法、分部積分法求解的話，可將無理函數(shù)通過一系列的變形化為有理三角函數(shù)或有理函數(shù)。(3)三角函數(shù)的積分 所求積分是三角函數(shù)的積分時(shí)，通常是運(yùn)

14、用三角等式進(jìn)行變換。形如和的積分，可直接利用第一類換元積分法進(jìn)行計(jì)算；形如或的積分當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，即，則將可將被積函數(shù)化簡成與的乘積，再利用三角恒等式可將正弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為余弦或余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦，如：或進(jìn)行計(jì)算不定積分；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，即，則可利用三角恒等式將被積函數(shù)進(jìn)行先化簡后計(jì)算。即被積表達(dá)式可化為 或 進(jìn)行計(jì)算不定積分。形如、的積分我們這里只以型的積分為例進(jìn)行說明，其它積分解法與此相似。當(dāng)時(shí)，我們可先利用二倍角公式對其進(jìn)行化簡后再用第一類換元積分法進(jìn)行計(jì)算。即 當(dāng)時(shí)，我們可以利用積化和差公式對其進(jìn)行化簡后再用第一類換元積分法進(jìn)行計(jì)算，即形如的積分若時(shí)，則化為或型的積分；若時(shí)，如果為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)

15、，此時(shí)令就可把上式化為多項(xiàng)式的積分，積分后把回代即可；如果為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)令就可把上式化為多項(xiàng)式的積分，積分后把回代即可；如果、均為奇數(shù)時(shí)，我們?nèi)?、中比較小的數(shù)按上述方法進(jìn)行計(jì)算；如果、均為偶數(shù)時(shí)，我們利用三角恒等式可將被積函數(shù)降次化簡，然后再用上述方法換元進(jìn)行計(jì)算。形如的積分如果為正偶數(shù)時(shí)，則，此時(shí)令就可把上式化為多項(xiàng)式的積分；如果時(shí)，則得積分，此時(shí)可利用將積分化為上面的情形和積分上去?；蛘咭部衫脫Q元公式化為分母為的有理函數(shù)的積分；如果為奇數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，利用恒等式以及不定積分的線性性，最后可化為形如的積分；如果為奇數(shù)時(shí)，則，此時(shí)令就把上式化為多項(xiàng)式的積分。形如、的積分一般利用或化簡進(jìn)行

16、求解如果為偶數(shù)時(shí)， 由得一遞推公式，則的積分問題即得解決。解決的積分類似于的積分 如果為奇數(shù)時(shí)， 4 例題分析例1 求解：（方法1）（分析：所求積分可以看做兩個分式的乘積的積分，那么我們可把它拆成兩個分式的差的積分） （方法2）（分析：的導(dǎo)數(shù)為，而乘以恰巧也等于因此，我們可以對其進(jìn)行換元，然后再進(jìn)行拆項(xiàng)求解）2（方法3）（分析：所求積分的分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)，因此我們可以考慮用倒代換法）（方法4） 例2 求解 （方法1）（所求積分包含，其導(dǎo)數(shù)等于，恰好可利用此特點(diǎn)對其進(jìn)行湊微分）原式 （方法2）（分析：所求積分含有根式，因此我們可以考慮用根式代換求解）原式 例3 求解 方法1 原式 （此解

17、法采用了分部積分法,令，）方法2 令 原式 （此解法采用了三角代換進(jìn)行求解。當(dāng)積分表達(dá)式中含有，時(shí)，可分別令，進(jìn)行換元計(jì)算）例4 求解：方法1（因?yàn)楸环e函數(shù)是三角有理式，所以我們很自然地想到用萬能代換進(jìn)行換元， 轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的不定積分來做）原式 方法2（因?yàn)楸环e函數(shù)的分母是一個和式，如果能化成一個整體再拆成部分分式之和可能有助于問題的解決，所以我們自然地想到用倍角公式來試一下）原式 方法3（湊微分法是不定積分的常用方法，通過觀察將被積函數(shù)適當(dāng)變形，再進(jìn)行湊微分是我們應(yīng)該掌握的技巧）原式方法4（此法是通過三角函數(shù)的恒等變形（分子與分母同時(shí)除以）轉(zhuǎn)化成的湊微分法，結(jié)合了有理真分式拆分成部分分式之

18、和）原式 例 5 求解 （方法1）（分析：因?yàn)榉帜缚梢苑纸鉃閮蓚€因式的乘積，因此我們可以聯(lián)想到用拆項(xiàng)法可以對其進(jìn)行化簡）原式（方法2）（分析：因?yàn)榉帜笧橐辉问剑虼?，我們可以對其進(jìn)行配方，然后觀察其特點(diǎn)，又用了第一類換元法）原式 5 不定積分的方法與歸類當(dāng)我們在積分時(shí)，如果所求積分中含有如下特點(diǎn)，我們可以考慮一下其對應(yīng)解決方法。含 令或 三角代換 令 三角代換 令 三角代換 令 根式代換 令 根式代換 令 倒數(shù)代換我們在求積分時(shí)遇見與如下形式相似的，可采用湊微分法。1. 2.（）3. 4.5. 6.7. 8.9. 10.11.結(jié)束語 為什么一道題會有多種解法呢？這是因?yàn)橥坏李}兼有不同類型

19、的積分的特點(diǎn)，因而兼屬于幾種不同的積分類型；或同一個積分類型兼有不同的積分方法。 對于一些簡單的基本的不定積分，我們可以通過基本的積分公式直接進(jìn)行求解。對于難以直接用基本積分公式的積分，我們有第一類換元積分法和第二類換元積分法，以及分部積分法。對于某些特殊類型的不定積分，如一些有理函數(shù)的和可以化為有理函數(shù)的不定積分，無論不定積分有多么復(fù)雜，我們都可以按照一定的步驟求解。對于有理函數(shù)的不定積分，我們可以用待定系數(shù)法把它拆成一些分式的和，再按照基本積分公式求解；對于高階的積分，我們可以運(yùn)用多次分部積分法遞推公式，也可以通過一些公式代換將它化為有理函數(shù)的不定積分，但在具體計(jì)算時(shí)，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)

20、而采用簡單靈活的代換；一些無理根式的不定積分，可以運(yùn)用換元法將其化為有理函數(shù)的不定積分，再按照有理函數(shù)的不定積分方法進(jìn)行求解。 謝 辭 在我選了論文題目之后，我曾經(jīng)一度痛苦、彷徨，我不知道該怎么寫，該怎樣找到有效的資料。通過指導(dǎo)老師的細(xì)心點(diǎn)撥，使我在對這次論文的寫作有了明確的方向。老師的嚴(yán)格教導(dǎo)，對教學(xué)的細(xì)心認(rèn)真，是我在寫作過程中的問題與不足都被老師一一發(fā)現(xiàn)并進(jìn)行指正。如今，伴隨著這篇畢業(yè)論文的最終成稿，復(fù)雜的心情煙消云散，自己甚至還有一點(diǎn)成就感。 非常感謝伊老師在我大學(xué)的最后階段畢業(yè)設(shè)計(jì)階段給予指導(dǎo)，從資料收集，開題報(bào)告，到寫作，修改，到論文定稿，她給了我耐心的指導(dǎo)和無私的幫助。同時(shí)，感謝所有任課老師和所有同學(xué)在這幾年里給我的指導(dǎo)和幫助，是他們教會了我專業(yè)知識，教會了我如何學(xué)習(xí)，教會了我如何做人。正是由于他們，我才能在各方面取得顯著的進(jìn)步，在