南航理學(xué)院復(fù)變函數(shù)與積分變換1673-5

1、5 5 cauchy積分公式積分公式 利用利用cauchy-goursat基本定理在多連通域上基本定理在多連通域上的推廣的推廣,即復(fù)合閉路定理即復(fù)合閉路定理,導(dǎo)出一個(gè)用邊界值表示解導(dǎo)出一個(gè)用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式,該公式不僅給出了解析該公式不僅給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式，從而成為研究解析函數(shù)函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式，從而成為研究解析函數(shù)的有力工具，而且提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉的有力工具，而且提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的方法路積分的方法.內(nèi)內(nèi) 容容 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介0)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在則則的的一一條條閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞是

2、是內(nèi)內(nèi)解解析析在在單單連連通通設(shè)設(shè) cdzzzzfzzzzfzdcdzdzfd 100)()(ccdzzzzfdzzzzf的的內(nèi)內(nèi)部部。線線在在內(nèi)內(nèi)部部的的曲曲包包含含由由復(fù)復(fù)合合閉閉路路定定理理得得ccz 10,分析分析dcz0c1)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfccc )0(01可可充充分分小小 zzzc)()(,0)(,)(0zfzfzfczf 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)上上的的函函數(shù)數(shù)值值在在的的連連續(xù)續(xù)性性 .,這這就就是是下下面面的的定定理理這這個(gè)個(gè)猜猜想想是是對(duì)對(duì)的的dcz0c1猜想積分猜想積分特別地，取定理定理(cauchy 積分公式積分公式) 一一

3、點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)為為它它的的內(nèi)內(nèi)部部完完全全含含于于一一條條正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)是是內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在設(shè)設(shè)czddcdzf0)3,)2,)()1 cdzzzzfizf00)(21)( )(2)(lim:,)(.00000zifdzzzzfrkdzzzzfcrzzzkkrc 只只須須證證明明無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的半半徑徑與與的的內(nèi)內(nèi)部部設(shè)設(shè)證明證明000:0,0( ) 2( )kzzrf zdzif zzz 即要證，當(dāng) kkkkdzzzzfzfdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf0000000)()(1)()()(2)( 2)()(00 kkdsrdszzzfzf0000lim( )()0

4、,0( )()z zf zf zzzrf zf z ，當(dāng)，000( )lim2()krf zdzif zzz cdzzzzfizf00)(21)( 積積分分公公式式仍仍成成立立. .上上連連續(xù)續(xù)及及在在內(nèi)內(nèi)解解析析, ,所所圍圍區(qū)區(qū)域域在在( (1 1) )若若定定理理?xiàng)l條件件改改為為cauchybbcbczf,)( 200200000)re(21 re)re(21)(21)(re:)2(dzfdriezfidzzzzfizfzzciiiici則則若若a .,的的平平均均值值在在圓圓周周上上值值等等于于它它圓圓心心處處的的析析函函數(shù)數(shù)在在一一個(gè)個(gè)解解即即441sin121);2).213zzzdzdzizzz求：（）041sin11)2sin0.22zzzdziziziiiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及例例1解解.1122簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單正正向向曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)的的為為包包含含求求 zcdzzzzc例例2iizzizzdzzzzdzzzzdzzzzdzzzzdzzzzzzcccccc 4 2122112112112121212102222121 積積分分公公式式由由解解cc1c21xyo2223713,( ),(1).ccxyf zdzfi設(shè)為圓周求例例3解解 )613(27)1