微積分下冊知識點

1、微積分下冊知識點第一章 空間解析幾何與向量代數（一） 向量及其線性運算1、 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面；2、 線性運算：加減法、數乘；3、 空間直角坐標系：坐標軸、坐標面、卦限，向量的坐標分解式；4、 利用坐標做向量的運算：設，則 , ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 兩點間的距離公式：3） 方向角：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角4） 方向余弦：5） 投影：，其中為向量與的夾角。（二） 數量積，向量積1、 數量積：1）2）推薦精選2、 向量積：大?。?，方向：符合右手規(guī)則1）2）運算律：反交換律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2、

2、 旋轉曲面：面上曲線，繞軸旋轉一周：繞軸旋轉一周：3、 柱面：表示母線平行于軸，準線為的柱面4、 二次曲面（不考）1） 橢圓錐面：2） 橢球面：旋轉橢球面：3） 單葉雙曲面：推薦精選4） 雙葉雙曲面：5） 橢圓拋物面：6） 雙曲拋物面（馬鞍面）：7） 橢圓柱面：8） 雙曲柱面：9） 拋物柱面：（四） 空間曲線及其方程1、 一般方程：2、 參數方程：，如螺旋線：3、 空間曲線在坐標面上的投影，消去，得到曲線在面上的投影（五） 平面及其方程1、 點法式方程： 法向量：，過點2、 一般式方程：推薦精選截距式方程：3、 兩平面的夾角：， 4、 點到平面的距離：（六） 空間直線及其方程1、 一般式方程：

3、2、 對稱式（點向式）方程： 方向向量：，過點3、 參數式方程：4、 兩直線的夾角：， 5、 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，推薦精選 第二章 多元函數微分法及其應用（一） 基本概念1、 距離，鄰域，內點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。2、 多元函數：，圖形：3、 極限：4、 連續(xù)：5、 偏導數：6、 方向導數： 其中為的方向角。7、 梯度：，則。8、 全微分：設，則（二） 性質1、 函數可微，偏導連續(xù)，偏導存在，函數連續(xù)等概念之間的關系：推薦精選偏導數存在函數可微函數連續(xù)偏導數連續(xù)充分條件必要條件定義122342、 閉區(qū)域上連續(xù)函數的性

4、質（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定義： 2） 復合函數求導：鏈式法則 若，則 ，3） 隱函數求導：兩邊求偏導，然后解方程（組）（三） 應用1、 極值1） 無條件極值：求函數的極值解方程組 求出所有駐點，對于每一個駐點，令， 若，函數有極小值，若，函數有極大值； 若，函數沒有極值； 若，不定。推薦精選條件極值：求函數在條件下的極值令： Lagrange函數解方程組 2、 幾何應用1） 曲線的切線與法平面曲線，則上一點（對應參數為）處的切線方程為：法平面方程為：2） 曲面的切平面與法線曲面，則上一點處的切平面方程為： 法線方程為：第三章 重積分（一） 二重積分（一般換元

5、法不考）1、 定義：2、 性質：（6條）推薦精選3、 幾何意義：曲頂柱體的體積。4、 計算：1） 直角坐標，2） 極坐標 （二） 三重積分1、 定義： 2、 性質：3、 計算：1） 直角坐標 -“先一后二” -“先二后一”2） 柱面坐標推薦精選，3） 球面坐標（三） 應用曲面的面積：第五章 曲線積分與曲面積分（一） 對弧長的曲線積分1、 定義：2、 性質：1） 2） 3）在上，若，則4） ( l 為曲線弧 L的長度)推薦精選3、 計算：設在曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數方程為，其中在上具有一階連續(xù)導數，且，則（二） 對坐標的曲線積分1、 定義：設 L 為面內從 A 到B 的一條有向光滑弧，函數，

6、在 L 上有界，定義，.向量形式：2、 性質： 用表示的反向弧 , 則3、 計算：設在有向光滑弧上有定義且連續(xù), 的參數方程為，其中在上具有一階連續(xù)導數，且，則4、 兩類曲線積分之間的關系：設平面有向曲線弧為，上點處的切向量的方向角為：推薦精選，則.（三） 格林公式1、格林公式：設區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成，函數在 D 上具有連續(xù)一階偏導數, 則有2、為一個單連通區(qū)域，函數在上具有連續(xù)一階偏導數，則 曲線積分 在內與路徑無關曲線積分 在內為某一個函數的全微分（四） 對面積的曲面積分1、 定義：設為光滑曲面，函數是定義在上的一個有界函數，定義 2、 計算：“一投二換三代入”，則推薦

7、精選（五） 對坐標的曲面積分1、 預備知識：曲面的側，曲面在平面上的投影，流量2、 定義：設為有向光滑曲面，函數是定義在上的有界函數，定義 同理，3、 性質：1），則2）表示與取相反側的有向曲面 , 則4、 計算：“一投二代三定號”，在上具有一階連續(xù)偏導數，在上連續(xù)，則,為上側取“ + ”， 為下側取“ - ”.5、 兩類曲面積分之間的關系：其中為有向曲面在點處的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：設空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成, 推薦精選的方向取外側, 函數在上有連續(xù)的一階偏導數, 則有或（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：設光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線, S

8、 的側與 G 的正向符合右手法則, 在包含 在內的一個空間域內具有連續(xù)一階偏導數, 則有為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:第六章 常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函數的導數(或微分)的方程稱為微分方程；未知函數是一元函數的微分方程，稱為常微分方程;未知函數是多元函數的微分方程，稱為偏微分方程；微分方程中未知函數的導數的最高階數，稱為微分方程的階.能使微分方程成為恒等式的函數，稱為微分方程的解.如果微分方程的解中含任意常數,且獨立的(即不可合并而使個數減少的)任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解為微分方程的通解.推薦精選不包含任意常數的解為微分方程特解.2、典型的一階微分方程可分

9、離變量的微分方程：對于第1種形式，運用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：2、 齊次微分方程：代入微分方程即可。可通過坐標平移去掉常數項。3、 一階線性微分方程型如 稱為一階線性微分方程。其對應的齊次線性微分方程的解為 利用常數變異法可得到非齊次的線性微分方程的通解4、 伯努利方程：于是U的通解為：5、 全微分方程：7、可降階的高階常微分方程（1）（2）（3）8、線性微分方程解的結構（1）函數組的線性無關和線性相關（2）線性微分方程的性質和解的結構推薦精選疊加原理：二個齊次的特解的線性組合仍是其特解；二個線性無關齊次的特解的線性組合是其通解（3）劉維爾公式（4）二階非齊線性微分方程解的結構特解的求解過程主要是通過常數變異法，求解聯立方程的解