概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程朱慶峰第6章參數(shù)估計(jì)6.6

1、6.6 區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)基本概念一、區(qū)間估計(jì)基本概念二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)三、小結(jié)三、小結(jié) 引言引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它它是用樣本算得的一個值去估計(jì)未知參數(shù)是用樣本算得的一個值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個缺陷正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個缺陷 .10 01 |,p其其中中1 p即即 , 隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間

2、的的置置信信區(qū)區(qū)間間 我們希望我們希望一、區(qū)間估計(jì)基本概念1. 置信區(qū)間的定義置信區(qū)間的定義121212( ; ),(01).,( , ) ( , )1nnnf xp 設(shè)總體 的概率函數(shù)含有一個未知參數(shù)對于給定值若由樣本確定的兩個統(tǒng)計(jì)量和使得 1, . 則稱隨機(jī)區(qū)間 ， 是參數(shù) 的置信水平為的（同等）置信區(qū)間和 分別稱為（雙側(cè)）置信區(qū)間的置信下限和置信上限2. 單側(cè)單側(cè)置信上（下）限的定義置信上（下）限的定義121212( ; ),(01).,( , ) ( , )11nnnf xpp 設(shè)總體 的概率函數(shù)含有一個未知參數(shù)對于給定值若由樣本確定的兩個統(tǒng)計(jì)量和使得 （） .則稱和 分別稱為單側(cè)置信

3、下限和置信上限關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明 , , , . 被估計(jì)的參數(shù) 雖然未知 但它是一個常數(shù)沒有隨機(jī)性 而區(qū)間（ ，）是隨機(jī)的1 : p 因此定義中以下表達(dá)式的本質(zhì)是, 1, 1 , . 隨機(jī)區(qū)間以的概率包含著參數(shù) 的真值 而不能說參數(shù) 以的概率落入隨機(jī)區(qū)間例如例如 , 1000 0.01, 次次反復(fù)抽樣反復(fù)抽樣若若 .10 1000 個個真真值值的的約約為為個個區(qū)區(qū)間間中中不不包包含含則則得得到到的的 一旦有了樣本，就把一旦有了樣本，就把 估計(jì)在區(qū)間估計(jì)在區(qū)間( , ) 內(nèi)內(nèi).這里有兩個要求這里有兩個要求:由定義可見，由定義可見，112( ,.)n 對參數(shù)對參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法

4、找出作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個只依賴于樣本的界限兩個只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)212( ,.)n )(21 2. 估計(jì)的精度要盡可能的高估計(jì)的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間如要求區(qū)間21長度長度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則它準(zhǔn)則.( , ) 1. 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間p內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠即要求估計(jì)盡量可靠. 可靠度與精度是一對矛盾，可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度盡可能提高精度.3. 求置

5、信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟( (共共3步步) )1212(1) ,:(,; ), ().nnzzz 尋求一個樣本的函數(shù)其中僅包含待估參數(shù)并且 的分布已知且不依賴于任何未知參數(shù) 包括12(2) 1, , (,; )1.na bp azb 對于給定的置信度決定出兩個常數(shù)使1212112212(3) ( ,; ) , ( ,),( ,), , 1 .nnnazb 若能從得到等價的不等式其中都是統(tǒng)計(jì)量 那么就是的一個置信度為的置信區(qū)間12221, , ( ,), ,.nns 設(shè)給定置信度為并設(shè)為總體的樣本分別是樣本均值和修正樣本方差二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)),(2 n ,)1(2為為

6、已已知知 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為 1/2.un 的置信區(qū)間的置信區(qū)間均值均值 1.i 單個總體單個總體的情況的情況 , 因?yàn)槭堑臒o偏估計(jì) (0,1),/unn且(0,1)/nn是不依賴于任何未知參數(shù)的.推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下:1/21, /pun 1/21/2 1,puunn 即1/21/2 1 ,.uunn于是得 的一個置信度為的置信區(qū)間這樣的置信區(qū)間常寫成這樣的置信區(qū)間常寫成1/2.un其置信區(qū)間的長度為其置信區(qū)間的長度為1/ 22 .un 包糖機(jī)某日開工包了包糖機(jī)某日開工包了1212包糖包糖, ,稱得重量稱得重量( (單單位位: :克克) )分別為分別為5

7、06,500,495,488,504,486,505,506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 513,521,520,512,485. 假設(shè)重量服從正態(tài)分布假設(shè)重量服從正態(tài)分布, ,解解,12,10 n ,92.502 x計(jì)算得計(jì)算得,10. 0)1(時時當(dāng)當(dāng) 1/20.95 uu查表得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分別取分別取置信區(qū)間置信區(qū)間的的試求糖包的平均重量試求糖包的平均重量且標(biāo)準(zhǔn)差為且標(biāo)準(zhǔn)差為,95. 021 ,645. 1例例11/2xun645. 1121092.502 ,67.507 1/2xun645.

8、1121092.502 ,17.498 90% 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的置信度為的置信度為即即 (498.17, 507.67),05. 0)2(時時當(dāng)當(dāng) ,975. 021 1/20.975uu 95% 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的置信度為的置信度為同理可得同理可得 (497.26, 508.58).,1 ;,1 ,置置信信區(qū)區(qū)間間也也較較小小較較小小時時當(dāng)當(dāng)置置信信度度置置信信區(qū)區(qū)間間也也較較大大較較大大時時當(dāng)當(dāng)置置信信度度從從此此例例可可以以看看出出 ,96. 1查表得查表得例6.5.4 設(shè)總體為正態(tài)分布n(,1)，為得到 的置信水平為0.95的置信區(qū)間長度不超過1.2，樣本容量應(yīng)為多大

9、？ ,)2(2為未知為未知 1/2 , , un由于區(qū)間中含有未知參數(shù)不能直接使用此區(qū)間 , , 222替換可用的無偏估計(jì)是但因?yàn)閟ss 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為 1/2(1) .stnn推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下:1/21/2 (1)(1)1,ssptntnnn 即 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得于是得 1/2(1) .stnn (1), /t nsn根據(jù)1/21/2(1)(1)1, /ptntnsn故解解 有一大批糖果有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋袋, 稱得重稱得重量量(克克)如下如下: 49650950250649649350551

10、4512497510504503499508506設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布, 試求總體均值試求總體均值,151 0.05, n : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt0.975(15)t,2022. 6,75.503 sx計(jì)算得 . 0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為 ,1315. 2例例2 5%9 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為得得 1315. 2162022. 675.503(500.4,507.1).即就是說估計(jì)袋裝糖果重量的均值在就是說估計(jì)袋裝糖果重量的均值在500.4克與克與507.1克之間克之間, 這個估計(jì)的可信程度為這

11、個估計(jì)的可信程度為95%. ).( 61. 621315. 2162022. 6 克克其誤差不大于其誤差不大于 , 的近似值的近似值為為若依此區(qū)間內(nèi)任一值作若依此區(qū)間內(nèi)任一值作 這個誤差的可信度為這個誤差的可信度為95%.例6.5.5 假設(shè)輪胎的壽命服從正態(tài)分布。為估計(jì)某種輪胎的平均壽命，現(xiàn)隨機(jī)地抽12只輪胎試用，測得它們的壽命（單位：萬公里）如下：4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此處正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可使用t分布求均值的置信區(qū)間。經(jīng)計(jì)算有 =4.7092，s2=0.0615。取 =0.05，查表知t0.9

12、75(11)=2.2010，于是平均壽命的0.95置信區(qū)間為（單位：萬公里）x4.70922.20100.0615 / 124.5516, 4.8668 在實(shí)際問題中，由于輪胎的壽命越長越好，因此可以只求平均壽命的置信下限，也即構(gòu)造單邊的置信下限。由于 由不等式變形可知 的1-置信下限為 將t0.95(11)=1.7959代入計(jì)算可得平均壽命 的0.95置信下限為4.5806（萬公里）。 1()(1)1n xptns 1(1)xtnsn推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: , 22的無偏估計(jì)是因?yàn)閟),1() 1(222nsn根據(jù)根據(jù) 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為方差方差 22221-

13、 /2/2(1)(1),. (1)(1)nsnsnn . ,未知的情況未知的情況只介紹只介紹根據(jù)實(shí)際需要根據(jù)實(shí)際需要 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間方差方差 2 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得方差于是得方差 222/21/22(1) (1)(1)1, nspnn 故222221- /2/2(1)(1) 1, (1)(1)nsnspnn 即22221- /2/2(1)(1),. (1)(1)nsnsnn 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 221- /2/211,.(1)(1)nsnsnn進(jìn)一步可得進(jìn)一步可得:注意注意: 在密度函數(shù)不對稱時在密度函數(shù)不

14、對稱時, , 2分布分布分布和分布和如如f 習(xí)慣上仍取對稱的分位點(diǎn)來習(xí)慣上仍取對稱的分位點(diǎn)來確定置信區(qū)間確定置信區(qū)間(如圖如圖). (續(xù)例續(xù)例2) 求例求例2 2中總體標(biāo)準(zhǔn)差中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為的置信度為0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .解解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s計(jì)算得 )15(2975. 0 代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間4.58, 9.60 .（） ,488.27,262. 6例例5 在樣本容量充分大時，可以用漸近分布來構(gòu)造近似的置信區(qū)間。一個

15、典型的例子是關(guān)于比例p 的置信區(qū)間。3.大樣本置信區(qū)間 設(shè)x1, xn是來自b(1, p)的樣本,有 對給定 ， ，通過變形，可得到置信區(qū)間為 其中記= u21-/2，實(shí)用中通常略去/n項(xiàng)，于是可將置信區(qū)間近似為(0,1)(1)/xpunppn121(1)xppuppn 22221(1)1(1),242411xxxxxxnnnnnnnn22(1)(1),xxxxxuxunn例6.5.7 對某事件a作120次觀察，a發(fā)生36次。試給出事件a發(fā)生概率p 的0.95置信區(qū)間。解：此處n=120， =36/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（雙側(cè)）置信下限和上限分別為 故所求的

16、置信區(qū)間為 0.218，0.382x0.3 0.70.3 1.960.218120lp0.3 0.70.31.960.382120upii 兩個正態(tài)總體下的置信區(qū)間 設(shè)x1 , , xm是來自n(1, 12)的樣本，y1 , , yn是來自n(2, 22)的樣本，且兩個樣本相互獨(dú)立。 與 分別是它們的樣本均值， 和 分別是它們的樣本方差。下面討論兩個均值差和兩個方差比的置信區(qū)間。 xy22111mxiisxxm22111nyiisyyn一、一、 1 - 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間1、 12和 22已知時的兩樣本u區(qū)間 2、 12 = 22 = 2未知時的兩樣本t區(qū)間 222212121212,xy

17、uxyumnmn12122 ,2wwmnmnxys tmnxys tmnmnmn3、 22 / 12=c已知時的兩樣本t區(qū)間 12122 ,2wwmcnmcnxys tmnxys tmnmnmn4、當(dāng)m和n都很大時的近似置信區(qū)間 5、一般情況下的近似置信區(qū)間 其中 22221212,yyxxssssxyuxyumnmn 0 120 12,xys tlxys tl2220/ ,xyssmsn40442211yxslssmmnn例6.6.9 為比較兩個小麥品種的產(chǎn)量，選擇18塊條件相似的試驗(yàn)田，采用相同的耕作方法作試驗(yàn)，結(jié)果播種甲品種的8塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量和播種乙品種的10塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量（單位：千

18、克/畝）分別為： 甲品種 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品種 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定畝產(chǎn)量均服從正態(tài)分布，試求這兩個品種平均畝產(chǎn)量差的置信區(qū)間.( =0.05）。 解：以x1 , , x8記甲品種的畝產(chǎn)量，y1 , , y10記乙品種的畝產(chǎn)量，由樣本數(shù)據(jù)可計(jì)算得到 =569.3750，sx2 =2140.5536，m=8 =487.0000，sy2=3256.2222， n=10 下面分兩種情況討論。 xy(1) 若已知兩個品種畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差相同，則可采用兩樣本t區(qū)間。此處 故1 -2的0.95置

19、信區(qū)間為22117 2110.55369 3256.222252.4880216xywmsnssmn 120.9752162.1199tmnt12111122.1199 52.488052.7797810wtmnsmn569.3750 487 52.7797, 9569.3750 487 52.7797 29.5953, 135.1547(2) 若兩個品種畝產(chǎn)量的方差不等，則可采用近 似 t 區(qū)間。此處 s02 =2140.5536/8+3256.2222/10=593.1914， s0 =24.3555 于是1-2的0.95近似置信區(qū)間為 31.74，134.0222222593.19141

20、5.99162140.55363256.222287109l 0 0.97524.3555 2.119951.64s tl 二、 12/ 22的置信區(qū)間 由于(m-1) sx2/ 12 2(m-1), (n-1) sy2/ 22 2(n-1)，且sx2與sy2相互獨(dú)立，故可仿照f變量構(gòu)造如下樞 軸量 ,對給定的1-，由 經(jīng)不等式變形即給出 12/ 22的如下的置信區(qū)間2212221,1xysff mns2222122211,11,11xysp fmnfmns 222212211,1,11,1xxyysssfmnsfmn例6.6.10 某車間有兩臺自動機(jī)床加工一類套筒，假設(shè)套筒直徑服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在從兩個班次的產(chǎn)品中分別檢查了5個和6個套筒，得其直徑數(shù)據(jù)如下（單位：厘米）： 甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.