第三章推斷統(tǒng)計1

1、southwestern university教育統(tǒng)計篇教育統(tǒng)計篇第三章第三章 推斷統(tǒng)計推斷統(tǒng)計第三章第三章 推斷統(tǒng)計推斷統(tǒng)計一、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)一、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的含義標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的含義 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是從原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化而來的一種分?jǐn)?shù)，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是從原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化而來的一種分?jǐn)?shù)，又稱為又稱為z分?jǐn)?shù)。是將原始數(shù)據(jù)與其所在數(shù)據(jù)組的分?jǐn)?shù)。是將原始數(shù)據(jù)與其所在數(shù)據(jù)組的平均數(shù)之差除以所在數(shù)據(jù)組的標(biāo)準(zhǔn)差所得之商。平均數(shù)之差除以所在數(shù)據(jù)組的標(biāo)準(zhǔn)差所得之商。其公式為：其公式為：xxxz標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)v標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的一種量數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的一種量數(shù)。v把一組原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成把一組原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成z

2、分?jǐn)?shù)之后，這組分?jǐn)?shù)之后，這組z分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為1。v標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)值的大小和正負(fù)可以反映某一個數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)值的大小和正負(fù)可以反映某一個數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)中的地位。在全體數(shù)據(jù)中的地位。v1.在教育測驗、評價中的應(yīng)用。在教育測驗、評價中的應(yīng)用。v明確每個原始分?jǐn)?shù)在總體分布中的相對地位；明確每個原始分?jǐn)?shù)在總體分布中的相對地位；v比較不同測驗成績的優(yōu)劣；比較不同測驗成績的優(yōu)劣；v計算不同測驗的總分和平均分。計算不同測驗的總分和平均分。v2.在統(tǒng)計推斷中的應(yīng)用。在統(tǒng)計推斷中的應(yīng)用。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用v例：某中學(xué)初一全體學(xué)生期中考試語文和數(shù)學(xué)例：某中學(xué)初一全體學(xué)生期中考試

3、語文和數(shù)學(xué)成績記為成績記為x和和y，請用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)來比較張、王，請用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)來比較張、王兩個同學(xué)總成績的優(yōu)劣。兩個同學(xué)總成績的優(yōu)劣。方法：分別計算兩個同學(xué)兩項測驗成績的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，然后求他們標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的總和，從而比較出他們總成績的優(yōu)劣。v解：張同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)分別為：解：張同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)分別為：v兩個標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的和為：兩個標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的和為：1 + 1.5 = 0.5v同理，可求出王同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)分別為同理，可求出王同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)分別為1和和0.5，二者之和為，二者之和為1.5v 因為因為0.51.5，所以，張同學(xué)的總成績沒，所以，張同學(xué)的總成績沒有王同學(xué)好。有王同學(xué)好。5 . 120659

4、5187567yyxxyyzxxz二、正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布二、正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布v正態(tài)分布又稱為常態(tài)分布，是一種連續(xù)型隨機變正態(tài)分布又稱為常態(tài)分布，是一種連續(xù)型隨機變量的概率分布。量的概率分布。正態(tài)曲線的特點正態(tài)曲線的特點v曲線不止一條，而是有一個正態(tài)曲線族。曲線不止一條，而是有一個正態(tài)曲線族。v曲線隨著分布的曲線隨著分布的、n的變化而變化。的變化而變化。v曲線在平均數(shù)處為最高點。曲線在平均數(shù)處為最高點。v以平均數(shù)為中心，形成中間高，兩側(cè)逐漸降低以平均數(shù)為中心，形成中間高，兩側(cè)逐漸降低的對稱分布。的對稱分布。v以橫軸為漸進(jìn)線。以橫軸為漸進(jìn)線。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布v平均數(shù)為平均數(shù)為0，

5、標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。v標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線是一個以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線是一個以z=0（平均數(shù)）為中（平均數(shù)）為中心的雙側(cè)對稱曲線，曲線在心的雙側(cè)對稱曲線，曲線在z=0處為最高點，處為最高點，兩側(cè)逐漸降低，并無限延伸，但永不與基線相兩側(cè)逐漸降低，并無限延伸，但永不與基線相交。交。v由于把一組原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成由于把一組原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成z分?jǐn)?shù)之后，這分?jǐn)?shù)之后，這組組z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為1，因此，因此，只要將自變量只要將自變量x轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)z，就可以，就可以將任何一個正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。將任何一個正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)

6、正態(tài)分布表v結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)：vz值（值（z0）vy值：值：z值的縱線高度（概率）值的縱線高度（概率）vp值：某個值：某個z值到值到z=0之間的概率之間的概率v用途：用途：v已知已知z值查值查y值、值、p值值v已知已知p值查值查z值、值、y值值三、總體參數(shù)估計三、總體參數(shù)估計v參數(shù)估計：根據(jù)樣本統(tǒng)計量對相應(yīng)的總體參參數(shù)估計：根據(jù)樣本統(tǒng)計量對相應(yīng)的總體參數(shù)進(jìn)行的估計。分為點估計和區(qū)間估計。數(shù)進(jìn)行的估計。分為點估計和區(qū)間估計。v點估計：用某一樣本統(tǒng)計量的值去估計相應(yīng)點估計：用某一樣本統(tǒng)計量的值去估計相應(yīng)總體參數(shù)的值。例如，用一個樣本平均數(shù)的值總體參數(shù)的值。例如，用一個樣本平均數(shù)的值估計總體平均數(shù)的值，以

7、估計總體平均數(shù)的值，以s估計總體標(biāo)準(zhǔn)差。估計總體標(biāo)準(zhǔn)差。區(qū)間估計區(qū)間估計v1.區(qū)間估計：以樣本統(tǒng)計量的抽樣分布為理論區(qū)間估計：以樣本統(tǒng)計量的抽樣分布為理論依據(jù)，按一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計量的值依據(jù)，按一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計量的值估計總體參數(shù)值的所在范圍（區(qū)間）。估計總體參數(shù)值的所在范圍（區(qū)間）。v2.置信度：估計的可靠程度，通常取置信度：估計的可靠程度，通常取0.95或或0.990.99。v3.置信區(qū)間：估計出的參數(shù)所在區(qū)間。置信區(qū)間：估計出的參數(shù)所在區(qū)間。4.區(qū)間估計的基本原理區(qū)間估計的基本原理v明確相應(yīng)統(tǒng)計量的分布形態(tài)和特征；明確相應(yīng)統(tǒng)計量的分布形態(tài)和特征；在一定在一定的置信度下，推

8、測樣本統(tǒng)計量將落在以總體參數(shù)的置信度下，推測樣本統(tǒng)計量將落在以總體參數(shù)為中心的一個什么樣的區(qū)間內(nèi)；為中心的一個什么樣的區(qū)間內(nèi)；v對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行簡單變形，即可在同樣的置信對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行簡單變形，即可在同樣的置信度下，推測以樣本統(tǒng)計量的觀測值為中心的某個度下，推測以樣本統(tǒng)計量的觀測值為中心的某個包含總體參數(shù)的區(qū)間范圍，也即是置信區(qū)間。包含總體參數(shù)的區(qū)間范圍，也即是置信區(qū)間。四、假設(shè)檢驗四、假設(shè)檢驗v假設(shè)檢驗的基本原理假設(shè)檢驗的基本原理v假設(shè)：用統(tǒng)計術(shù)語對總體參數(shù)或分布所作的假定假設(shè)：用統(tǒng)計術(shù)語對總體參數(shù)或分布所作的假定性說明。性說明。v假設(shè)檢驗：根據(jù)一定概率，利用樣本信息對總體假設(shè)檢驗：根據(jù)一定概

9、率，利用樣本信息對總體參數(shù)或分布的某一假設(shè)作出拒絕或保留的決斷。參數(shù)或分布的某一假設(shè)作出拒絕或保留的決斷。v假設(shè)檢驗是推斷統(tǒng)計的重要內(nèi)容。假設(shè)檢驗是推斷統(tǒng)計的重要內(nèi)容。新舊科學(xué)課程對初中生科學(xué)抽象思維新舊科學(xué)課程對初中生科學(xué)抽象思維能力影響的比較研究能力影響的比較研究 v摘要摘要:v根據(jù)青少年科學(xué)抽象思維能力的結(jié)構(gòu)及表現(xiàn)，設(shè)根據(jù)青少年科學(xué)抽象思維能力的結(jié)構(gòu)及表現(xiàn)，設(shè)計了計了青少年科學(xué)抽象思維能力測驗青少年科學(xué)抽象思維能力測驗，分別對，分別對使用新舊課程培養(yǎng)的使用新舊課程培養(yǎng)的138名初中生進(jìn)行了測量，名初中生進(jìn)行了測量，比較了新舊課程對初中生科學(xué)抽象思維能力的影比較了新舊課程對初中生科學(xué)抽象思

10、維能力的影響。結(jié)果表明，使用新課程學(xué)生的科學(xué)抽象思維響。結(jié)果表明，使用新課程學(xué)生的科學(xué)抽象思維能力顯著高于使用舊課程的學(xué)生，但對于不同類能力顯著高于使用舊課程的學(xué)生，但對于不同類型學(xué)校以及不同性別的學(xué)生，差異的表現(xiàn)不同。型學(xué)校以及不同性別的學(xué)生，差異的表現(xiàn)不同。v教育研究與實驗教育研究與實驗 2008年年 第第01期期 假設(shè)檢驗的步驟假設(shè)檢驗的步驟v提出原假設(shè)和備擇假設(shè)（相互對立）提出原假設(shè)和備擇假設(shè)（相互對立）v原假設(shè)（零假設(shè)）原假設(shè)（零假設(shè)） h0：v備擇假設(shè)備擇假設(shè) h1：v選擇和計算檢驗統(tǒng)計量選擇和計算檢驗統(tǒng)計量v根據(jù)檢驗形式，選擇公式，利用樣本信息計根據(jù)檢驗形式，選擇公式，利用樣本信

11、息計算檢驗統(tǒng)計量的值。算檢驗統(tǒng)計量的值。v統(tǒng)計決斷統(tǒng)計決斷v根據(jù)顯著性水平查相應(yīng)的理論概率分布表，根據(jù)顯著性水平查相應(yīng)的理論概率分布表，尋找相應(yīng)的臨界值。把計算結(jié)果與臨界值作尋找相應(yīng)的臨界值。把計算結(jié)果與臨界值作比較，再根據(jù)決斷規(guī)則作決斷。比較，再根據(jù)決斷規(guī)則作決斷。假設(shè)檢驗的方法假設(shè)檢驗的方法v是一種概率意義上的反證法。是一種概率意義上的反證法。v它從它從“零假設(shè)是真零假設(shè)是真”出發(fā)，根據(jù)樣本計算出一出發(fā)，根據(jù)樣本計算出一個統(tǒng)計量的值進(jìn)行推理，如果出現(xiàn)矛盾則拒絕個統(tǒng)計量的值進(jìn)行推理，如果出現(xiàn)矛盾則拒絕零假設(shè)而接受備擇假設(shè)，反之則接受零假設(shè)。零假設(shè)而接受備擇假設(shè)，反之則接受零假設(shè)。v判斷是否出

12、現(xiàn)矛盾的依據(jù)是小概率事件原理。判斷是否出現(xiàn)矛盾的依據(jù)是小概率事件原理。v小概率事件：發(fā)生可能性很小的事件。小概率事件：發(fā)生可能性很小的事件。v小概率事件原理：小概率事件在一次抽樣中不小概率事件原理：小概率事件在一次抽樣中不會發(fā)生。會發(fā)生。v顯著性水平（顯著性水平（）：確定小概率事件的概率范）：確定小概率事件的概率范圍，通常圍，通常=0.05或或0.01。這也就是拒絕零。這也就是拒絕零假設(shè)的區(qū)域。假設(shè)的區(qū)域。臨界值臨界值v劃分保留與拒絕區(qū)域的界限值?？刹榕c檢驗統(tǒng)計劃分保留與拒絕區(qū)域的界限值。可查與檢驗統(tǒng)計量相應(yīng)的分布表來尋找臨界值。量相應(yīng)的分布表來尋找臨界值。v例如，對于正態(tài)分布，在例如，對于正

13、態(tài)分布，在0.050.05的顯著性水平上的顯著性水平上, ,雙雙側(cè)檢驗的拒絕區(qū)域在分布的兩個尾端側(cè)檢驗的拒絕區(qū)域在分布的兩個尾端, ,面積各為面積各為0.025, z0.025, z的臨界值為的臨界值為-1.96-1.96和和+1.96+1.96。v雙側(cè)檢驗：把拒絕雙側(cè)檢驗：把拒絕零假設(shè)的零假設(shè)的概率（顯著性水平概率（顯著性水平）分置于理論抽樣分布的兩側(cè)，在）分置于理論抽樣分布的兩側(cè)，在抽樣分布抽樣分布的兩側(cè)尾端各有一個拒絕區(qū)，其面積各為的兩側(cè)尾端各有一個拒絕區(qū)，其面積各為/2/2。v單側(cè)檢驗：把拒絕單側(cè)檢驗：把拒絕零假設(shè)的零假設(shè)的概率（顯著性水平概率（顯著性水平）置于理論抽樣分布的一側(cè)，）置

14、于理論抽樣分布的一側(cè)，拒絕零假設(shè)的拒絕零假設(shè)的區(qū)域在抽樣分布的一側(cè)尾端（左側(cè)或右側(cè)）區(qū)域在抽樣分布的一側(cè)尾端（左側(cè)或右側(cè)）, ,面積為面積為。平均數(shù)差異的顯著性檢驗平均數(shù)差異的顯著性檢驗v根據(jù)兩個樣本平均數(shù)之差檢驗兩個相應(yīng)總體根據(jù)兩個樣本平均數(shù)之差檢驗兩個相應(yīng)總體平均數(shù)之差的顯著性，即推斷兩個總體的平平均數(shù)之差的顯著性，即推斷兩個總體的平均數(shù)相同或不相同。均數(shù)相同或不相同。v常用雙側(cè)檢驗常用雙側(cè)檢驗, ,其假設(shè)為：其假設(shè)為：vh0： 兩個總體平均數(shù)差異不顯著兩個總體平均數(shù)差異不顯著v( 1=2）v h1： 兩個總體平均數(shù)差異顯著兩個總體平均數(shù)差異顯著 （12） 檢驗方法檢驗方法v先判斷樣本是相

15、互獨立還是相關(guān)，再根據(jù)樣本的先判斷樣本是相互獨立還是相關(guān)，再根據(jù)樣本的容量來決定具體的檢驗方法。容量來決定具體的檢驗方法。v大樣本一般采用大樣本一般采用z檢驗檢驗. （利用分布，即正態(tài)分布，利用分布，即正態(tài)分布，進(jìn)行的檢驗。）進(jìn)行的檢驗。）v小樣本采用小樣本采用t檢驗檢驗. （利用利用t分布進(jìn)行的檢驗。）分布進(jìn)行的檢驗。）獨立樣本獨立樣本v兩個樣本內(nèi)的個體是隨機抽取的，它們之間不兩個樣本內(nèi)的個體是隨機抽取的，它們之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系。存在一一對應(yīng)關(guān)系。v兩個獨立樣本的容量可能相等，也可能不等。兩個獨立樣本的容量可能相等，也可能不等。v獨立大樣本：兩個獨立樣本的容量都大于獨立大樣本：兩個獨立樣

16、本的容量都大于30。v獨立小樣本：兩個樣本容量都小于獨立小樣本：兩個樣本容量都小于30，或其，或其中一個小于中一個小于30的兩個獨立樣本。的兩個獨立樣本。相關(guān)樣本相關(guān)樣本v兩個樣本內(nèi)的個體之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。兩個樣本內(nèi)的個體之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。v兩個相關(guān)樣本的樣本容量相等。兩個相關(guān)樣本的樣本容量相等。v類型類型:v配對組：根據(jù)某些條件基本相同的原則，把被試配對組：根據(jù)某些條件基本相同的原則，把被試匹配成對，然后將每對被試隨機地分入兩個組里，匹配成對，然后將每對被試隨機地分入兩個組里，接受不同的處理，用同一個測驗所獲得的兩組測接受不同的處理，用同一個測驗所獲得的兩組測驗結(jié)果。驗結(jié)果。v同

17、一組對象的不同測試結(jié)果：同一組對象的不同測試結(jié)果：v同組被試在實驗前后的測驗結(jié)果；同組被試在實驗前后的測驗結(jié)果；v同組被試在兩種實驗條件下的測驗結(jié)果。同組被試在兩種實驗條件下的測驗結(jié)果。獨立大樣本檢驗獨立大樣本檢驗?？赡芟嗟群头謩e為兩個樣本的容量差；分別表示兩個樣本標(biāo)準(zhǔn)均數(shù)；分別表示兩個樣本的平，在式中，2121212122212121,nnnnxxnnxxzxxxx相關(guān)大樣本檢驗相關(guān)大樣本檢驗。為兩個樣本的相關(guān)系數(shù)為樣本容量；表示兩個樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，；表示兩個樣本的平均數(shù)，在式中，rnxxnrxxzxxxxxx21212122212112v 例：對人的實驗班在實驗前和實驗后進(jìn)行測試，例：對人的

18、實驗班在實驗前和實驗后進(jìn)行測試，檢驗實驗有無顯著效果。檢驗實驗有無顯著效果。v 分析：分析：v 實驗前后測驗分?jǐn)?shù)平均數(shù)差異的顯著性檢驗（兩個實驗前后測驗分?jǐn)?shù)平均數(shù)差異的顯著性檢驗（兩個總體平均數(shù)差異的顯著性檢驗）總體平均數(shù)差異的顯著性檢驗）v 同一組對象的兩次測驗分?jǐn)?shù)屬于相關(guān)樣本，樣本容同一組對象的兩次測驗分?jǐn)?shù)屬于相關(guān)樣本，樣本容量超過，是大樣本量超過，是大樣本v 檢驗方法：相關(guān)大樣本檢驗方法：相關(guān)大樣本z檢驗。檢驗。vh0：1=2 h1：12v 兩個樣本為獨立大樣本，計算兩個樣本為獨立大樣本，計算z值：值：v v .，根據(jù)雙側(cè)，根據(jù)雙側(cè)z檢驗的決斷規(guī)檢驗的決斷規(guī)則作出決斷：則作出決斷：接受零

19、假設(shè)，即男女生測驗接受零假設(shè)，即男女生測驗成績沒有顯著差異。成績沒有顯著差異。45. 11745 .101805 .112 .785 .7622z獨立小樣本獨立小樣本t檢驗檢驗2,112212121212122221121nndfnnnnnnnnnnxxtxx?？赡芟嗟群褪莾蓚€樣本的容量、在式中相關(guān)小樣本相關(guān)小樣本t檢驗檢驗1,12212121222121ndfnrxxnrxxtxxxxxx為樣本容量。；為兩個樣本的相關(guān)系數(shù)；分別為兩個樣本標(biāo)準(zhǔn)差；分別為兩個樣本平均數(shù)，在式中，v例：例：10對學(xué)生分別接受兩種實驗，根據(jù)他們對學(xué)生分別接受兩種實驗，根據(jù)他們的統(tǒng)一測驗成績檢驗兩種實驗的效果有無顯的

20、統(tǒng)一測驗成績檢驗兩種實驗的效果有無顯著差異。著差異。v分析：分析：v兩組測驗分?jǐn)?shù)平均數(shù)差異的顯著性檢驗兩組測驗分?jǐn)?shù)平均數(shù)差異的顯著性檢驗v相關(guān)小樣本（配對組統(tǒng)一測驗分?jǐn)?shù)）相關(guān)小樣本（配對組統(tǒng)一測驗分?jǐn)?shù)）v檢驗方法：相關(guān)樣本檢驗方法：相關(guān)樣本t檢驗檢驗v 2檢驗檢驗 v是對樣本的頻數(shù)分布所來自的總體分布是否是對樣本的頻數(shù)分布所來自的總體分布是否服從某種理論分布或假設(shè)分布所作的檢驗。服從某種理論分布或假設(shè)分布所作的檢驗。即根據(jù)樣本的頻數(shù)分布來推斷總體的分布。即根據(jù)樣本的頻數(shù)分布來推斷總體的分布。v數(shù)據(jù)類型：點計數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)類型：點計數(shù)據(jù)單向表單向表2檢驗檢驗v單向表是把實測的點計數(shù)據(jù)按一種分類標(biāo)準(zhǔn)編制單向表是把實測的點計數(shù)據(jù)按一種分類標(biāo)準(zhǔn)編制而得的表。而得的表。例：從某校隨機抽取例：從某校隨機抽取50個學(xué)生，其中男生個學(xué)生，其中男生27人，人，女生女生23人，問該學(xué)校男女生人數(shù)是否有顯著差異？人，問該學(xué)校男女生人數(shù)是否有顯著差異？雙向表雙向表2檢驗檢驗v雙向表是把實測的點計數(shù)據(jù)按兩種分類標(biāo)準(zhǔn)編制雙向表是把實測的點計數(shù)據(jù)按兩種分類標(biāo)準(zhǔn)編制而得的表，也稱為列