第三章推斷統(tǒng)計1

1、southwestern university教育統(tǒng)計篇教育統(tǒng)計篇第三章第三章 推斷統(tǒng)計推斷統(tǒng)計第三章第三章 推斷統(tǒng)計推斷統(tǒng)計一、標準分數(shù)一、標準分數(shù)標準分數(shù)的含義標準分數(shù)的含義 標準分數(shù)是從原始分數(shù)轉化而來的一種分數(shù)，標準分數(shù)是從原始分數(shù)轉化而來的一種分數(shù)，又稱為又稱為z分數(shù)。是將原始數(shù)據(jù)與其所在數(shù)據(jù)組的分數(shù)。是將原始數(shù)據(jù)與其所在數(shù)據(jù)組的平均數(shù)之差除以所在數(shù)據(jù)組的標準差所得之商。平均數(shù)之差除以所在數(shù)據(jù)組的標準差所得之商。其公式為：其公式為：xxxz標準分數(shù)的性質標準分數(shù)的性質v標準分數(shù)是以標準差為單位的一種量數(shù)。標準分數(shù)是以標準差為單位的一種量數(shù)。v把一組原始數(shù)據(jù)轉化成把一組原始數(shù)據(jù)轉化成z

2、分數(shù)之后，這組分數(shù)之后，這組z分數(shù)分數(shù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為0，標準差為，標準差為1。v標準分數(shù)值的大小和正負可以反映某一個數(shù)據(jù)標準分數(shù)值的大小和正負可以反映某一個數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)中的地位。在全體數(shù)據(jù)中的地位。v1.在教育測驗、評價中的應用。在教育測驗、評價中的應用。v明確每個原始分數(shù)在總體分布中的相對地位；明確每個原始分數(shù)在總體分布中的相對地位；v比較不同測驗成績的優(yōu)劣；比較不同測驗成績的優(yōu)劣；v計算不同測驗的總分和平均分。計算不同測驗的總分和平均分。v2.在統(tǒng)計推斷中的應用。在統(tǒng)計推斷中的應用。標準分數(shù)的應用標準分數(shù)的應用v例：某中學初一全體學生期中考試語文和數(shù)學例：某中學初一全體學生期中考試

3、語文和數(shù)學成績記為成績記為x和和y，請用標準分數(shù)來比較張、王，請用標準分數(shù)來比較張、王兩個同學總成績的優(yōu)劣。兩個同學總成績的優(yōu)劣。方法：分別計算兩個同學兩項測驗成績的標準分數(shù)，然后求他們標準分數(shù)的總和，從而比較出他們總成績的優(yōu)劣。v解：張同學成績的標準分數(shù)分別為：解：張同學成績的標準分數(shù)分別為：v兩個標準分數(shù)的和為：兩個標準分數(shù)的和為：1 + 1.5 = 0.5v同理，可求出王同學成績的標準分數(shù)分別為同理，可求出王同學成績的標準分數(shù)分別為1和和0.5，二者之和為，二者之和為1.5v 因為因為0.51.5，所以，張同學的總成績沒，所以，張同學的總成績沒有王同學好。有王同學好。5 . 120659

4、5187567yyxxyyzxxz二、正態(tài)分布與標準正態(tài)分布二、正態(tài)分布與標準正態(tài)分布v正態(tài)分布又稱為常態(tài)分布，是一種連續(xù)型隨機變正態(tài)分布又稱為常態(tài)分布，是一種連續(xù)型隨機變量的概率分布。量的概率分布。正態(tài)曲線的特點正態(tài)曲線的特點v曲線不止一條，而是有一個正態(tài)曲線族。曲線不止一條，而是有一個正態(tài)曲線族。v曲線隨著分布的曲線隨著分布的、n的變化而變化。的變化而變化。v曲線在平均數(shù)處為最高點。曲線在平均數(shù)處為最高點。v以平均數(shù)為中心，形成中間高，兩側逐漸降低以平均數(shù)為中心，形成中間高，兩側逐漸降低的對稱分布。的對稱分布。v以橫軸為漸進線。以橫軸為漸進線。標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布v平均數(shù)為平均數(shù)為0，

5、標準差為，標準差為1的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。v標準正態(tài)曲線是一個以標準正態(tài)曲線是一個以z=0（平均數(shù)）為中（平均數(shù)）為中心的雙側對稱曲線，曲線在心的雙側對稱曲線，曲線在z=0處為最高點，處為最高點，兩側逐漸降低，并無限延伸，但永不與基線相兩側逐漸降低，并無限延伸，但永不與基線相交。交。v由于把一組原始數(shù)據(jù)轉化成由于把一組原始數(shù)據(jù)轉化成z分數(shù)之后，這分數(shù)之后，這組組z分數(shù)的平均數(shù)為分數(shù)的平均數(shù)為0，標準差為，標準差為1，因此，因此，只要將自變量只要將自變量x轉化成標準分數(shù)轉化成標準分數(shù)z，就可以，就可以將任何一個正態(tài)分布轉化為標準正態(tài)分布。將任何一個正態(tài)分布轉化為標準正態(tài)分布。標準正態(tài)分布表標準

6、正態(tài)分布表v結構：結構：vz值（值（z0）vy值：值：z值的縱線高度（概率）值的縱線高度（概率）vp值：某個值：某個z值到值到z=0之間的概率之間的概率v用途：用途：v已知已知z值查值查y值、值、p值值v已知已知p值查值查z值、值、y值值三、總體參數(shù)估計三、總體參數(shù)估計v參數(shù)估計：根據(jù)樣本統(tǒng)計量對相應的總體參參數(shù)估計：根據(jù)樣本統(tǒng)計量對相應的總體參數(shù)進行的估計。分為點估計和區(qū)間估計。數(shù)進行的估計。分為點估計和區(qū)間估計。v點估計：用某一樣本統(tǒng)計量的值去估計相應點估計：用某一樣本統(tǒng)計量的值去估計相應總體參數(shù)的值。例如，用一個樣本平均數(shù)的值總體參數(shù)的值。例如，用一個樣本平均數(shù)的值估計總體平均數(shù)的值，以

7、估計總體平均數(shù)的值，以s估計總體標準差。估計總體標準差。區(qū)間估計區(qū)間估計v1.區(qū)間估計：以樣本統(tǒng)計量的抽樣分布為理論區(qū)間估計：以樣本統(tǒng)計量的抽樣分布為理論依據(jù)，按一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計量的值依據(jù)，按一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計量的值估計總體參數(shù)值的所在范圍（區(qū)間）。估計總體參數(shù)值的所在范圍（區(qū)間）。v2.置信度：估計的可靠程度，通常取置信度：估計的可靠程度，通常取0.95或或0.990.99。v3.置信區(qū)間：估計出的參數(shù)所在區(qū)間。置信區(qū)間：估計出的參數(shù)所在區(qū)間。4.區(qū)間估計的基本原理區(qū)間估計的基本原理v明確相應統(tǒng)計量的分布形態(tài)和特征；明確相應統(tǒng)計量的分布形態(tài)和特征；在一定在一定的置信度下，推

8、測樣本統(tǒng)計量將落在以總體參數(shù)的置信度下，推測樣本統(tǒng)計量將落在以總體參數(shù)為中心的一個什么樣的區(qū)間內；為中心的一個什么樣的區(qū)間內；v對數(shù)學式子進行簡單變形，即可在同樣的置信對數(shù)學式子進行簡單變形，即可在同樣的置信度下，推測以樣本統(tǒng)計量的觀測值為中心的某個度下，推測以樣本統(tǒng)計量的觀測值為中心的某個包含總體參數(shù)的區(qū)間范圍，也即是置信區(qū)間。包含總體參數(shù)的區(qū)間范圍，也即是置信區(qū)間。四、假設檢驗四、假設檢驗v假設檢驗的基本原理假設檢驗的基本原理v假設：用統(tǒng)計術語對總體參數(shù)或分布所作的假定假設：用統(tǒng)計術語對總體參數(shù)或分布所作的假定性說明。性說明。v假設檢驗：根據(jù)一定概率，利用樣本信息對總體假設檢驗：根據(jù)一定概

9、率，利用樣本信息對總體參數(shù)或分布的某一假設作出拒絕或保留的決斷。參數(shù)或分布的某一假設作出拒絕或保留的決斷。v假設檢驗是推斷統(tǒng)計的重要內容。假設檢驗是推斷統(tǒng)計的重要內容。新舊科學課程對初中生科學抽象思維新舊科學課程對初中生科學抽象思維能力影響的比較研究能力影響的比較研究 v摘要摘要:v根據(jù)青少年科學抽象思維能力的結構及表現(xiàn)，設根據(jù)青少年科學抽象思維能力的結構及表現(xiàn)，設計了計了青少年科學抽象思維能力測驗青少年科學抽象思維能力測驗，分別對，分別對使用新舊課程培養(yǎng)的使用新舊課程培養(yǎng)的138名初中生進行了測量，名初中生進行了測量，比較了新舊課程對初中生科學抽象思維能力的影比較了新舊課程對初中生科學抽象思

10、維能力的影響。結果表明，使用新課程學生的科學抽象思維響。結果表明，使用新課程學生的科學抽象思維能力顯著高于使用舊課程的學生，但對于不同類能力顯著高于使用舊課程的學生，但對于不同類型學校以及不同性別的學生，差異的表現(xiàn)不同。型學校以及不同性別的學生，差異的表現(xiàn)不同。v教育研究與實驗教育研究與實驗 2008年年 第第01期期 假設檢驗的步驟假設檢驗的步驟v提出原假設和備擇假設（相互對立）提出原假設和備擇假設（相互對立）v原假設（零假設）原假設（零假設） h0：v備擇假設備擇假設 h1：v選擇和計算檢驗統(tǒng)計量選擇和計算檢驗統(tǒng)計量v根據(jù)檢驗形式，選擇公式，利用樣本信息計根據(jù)檢驗形式，選擇公式，利用樣本信

11、息計算檢驗統(tǒng)計量的值。算檢驗統(tǒng)計量的值。v統(tǒng)計決斷統(tǒng)計決斷v根據(jù)顯著性水平查相應的理論概率分布表，根據(jù)顯著性水平查相應的理論概率分布表，尋找相應的臨界值。把計算結果與臨界值作尋找相應的臨界值。把計算結果與臨界值作比較，再根據(jù)決斷規(guī)則作決斷。比較，再根據(jù)決斷規(guī)則作決斷。假設檢驗的方法假設檢驗的方法v是一種概率意義上的反證法。是一種概率意義上的反證法。v它從它從“零假設是真零假設是真”出發(fā)，根據(jù)樣本計算出一出發(fā)，根據(jù)樣本計算出一個統(tǒng)計量的值進行推理，如果出現(xiàn)矛盾則拒絕個統(tǒng)計量的值進行推理，如果出現(xiàn)矛盾則拒絕零假設而接受備擇假設，反之則接受零假設。零假設而接受備擇假設，反之則接受零假設。v判斷是否出

12、現(xiàn)矛盾的依據(jù)是小概率事件原理。判斷是否出現(xiàn)矛盾的依據(jù)是小概率事件原理。v小概率事件：發(fā)生可能性很小的事件。小概率事件：發(fā)生可能性很小的事件。v小概率事件原理：小概率事件在一次抽樣中不小概率事件原理：小概率事件在一次抽樣中不會發(fā)生。會發(fā)生。v顯著性水平（顯著性水平（）：確定小概率事件的概率范）：確定小概率事件的概率范圍，通常圍，通常=0.05或或0.01。這也就是拒絕零。這也就是拒絕零假設的區(qū)域。假設的區(qū)域。臨界值臨界值v劃分保留與拒絕區(qū)域的界限值?？刹榕c檢驗統(tǒng)計劃分保留與拒絕區(qū)域的界限值?？刹榕c檢驗統(tǒng)計量相應的分布表來尋找臨界值。量相應的分布表來尋找臨界值。v例如，對于正態(tài)分布，在例如，對于正

13、態(tài)分布，在0.050.05的顯著性水平上的顯著性水平上, ,雙雙側檢驗的拒絕區(qū)域在分布的兩個尾端側檢驗的拒絕區(qū)域在分布的兩個尾端, ,面積各為面積各為0.025, z0.025, z的臨界值為的臨界值為-1.96-1.96和和+1.96+1.96。v雙側檢驗：把拒絕雙側檢驗：把拒絕零假設的零假設的概率（顯著性水平概率（顯著性水平）分置于理論抽樣分布的兩側，在）分置于理論抽樣分布的兩側，在抽樣分布抽樣分布的兩側尾端各有一個拒絕區(qū)，其面積各為的兩側尾端各有一個拒絕區(qū)，其面積各為/2/2。v單側檢驗：把拒絕單側檢驗：把拒絕零假設的零假設的概率（顯著性水平概率（顯著性水平）置于理論抽樣分布的一側，）置

14、于理論抽樣分布的一側，拒絕零假設的拒絕零假設的區(qū)域在抽樣分布的一側尾端（左側或右側）區(qū)域在抽樣分布的一側尾端（左側或右側）, ,面積為面積為。平均數(shù)差異的顯著性檢驗平均數(shù)差異的顯著性檢驗v根據(jù)兩個樣本平均數(shù)之差檢驗兩個相應總體根據(jù)兩個樣本平均數(shù)之差檢驗兩個相應總體平均數(shù)之差的顯著性，即推斷兩個總體的平平均數(shù)之差的顯著性，即推斷兩個總體的平均數(shù)相同或不相同。均數(shù)相同或不相同。v常用雙側檢驗常用雙側檢驗, ,其假設為：其假設為：vh0： 兩個總體平均數(shù)差異不顯著兩個總體平均數(shù)差異不顯著v( 1=2）v h1： 兩個總體平均數(shù)差異顯著兩個總體平均數(shù)差異顯著 （12） 檢驗方法檢驗方法v先判斷樣本是相

15、互獨立還是相關，再根據(jù)樣本的先判斷樣本是相互獨立還是相關，再根據(jù)樣本的容量來決定具體的檢驗方法。容量來決定具體的檢驗方法。v大樣本一般采用大樣本一般采用z檢驗檢驗. （利用分布，即正態(tài)分布，利用分布，即正態(tài)分布，進行的檢驗。）進行的檢驗。）v小樣本采用小樣本采用t檢驗檢驗. （利用利用t分布進行的檢驗。）分布進行的檢驗。）獨立樣本獨立樣本v兩個樣本內的個體是隨機抽取的，它們之間不兩個樣本內的個體是隨機抽取的，它們之間不存在一一對應關系。存在一一對應關系。v兩個獨立樣本的容量可能相等，也可能不等。兩個獨立樣本的容量可能相等，也可能不等。v獨立大樣本：兩個獨立樣本的容量都大于獨立大樣本：兩個獨立樣

16、本的容量都大于30。v獨立小樣本：兩個樣本容量都小于獨立小樣本：兩個樣本容量都小于30，或其，或其中一個小于中一個小于30的兩個獨立樣本。的兩個獨立樣本。相關樣本相關樣本v兩個樣本內的個體之間存在一一對應的關系。兩個樣本內的個體之間存在一一對應的關系。v兩個相關樣本的樣本容量相等。兩個相關樣本的樣本容量相等。v類型類型:v配對組：根據(jù)某些條件基本相同的原則，把被試配對組：根據(jù)某些條件基本相同的原則，把被試匹配成對，然后將每對被試隨機地分入兩個組里，匹配成對，然后將每對被試隨機地分入兩個組里，接受不同的處理，用同一個測驗所獲得的兩組測接受不同的處理，用同一個測驗所獲得的兩組測驗結果。驗結果。v同

17、一組對象的不同測試結果：同一組對象的不同測試結果：v同組被試在實驗前后的測驗結果；同組被試在實驗前后的測驗結果；v同組被試在兩種實驗條件下的測驗結果。同組被試在兩種實驗條件下的測驗結果。獨立大樣本檢驗獨立大樣本檢驗。可能相等和分別為兩個樣本的容量差；分別表示兩個樣本標準均數(shù)；分別表示兩個樣本的平，在式中，2121212122212121,nnnnxxnnxxzxxxx相關大樣本檢驗相關大樣本檢驗。為兩個樣本的相關系數(shù)為樣本容量；表示兩個樣本的標準差，；表示兩個樣本的平均數(shù)，在式中，rnxxnrxxzxxxxxx21212122212112v 例：對人的實驗班在實驗前和實驗后進行測試，例：對人的

18、實驗班在實驗前和實驗后進行測試，檢驗實驗有無顯著效果。檢驗實驗有無顯著效果。v 分析：分析：v 實驗前后測驗分數(shù)平均數(shù)差異的顯著性檢驗（兩個實驗前后測驗分數(shù)平均數(shù)差異的顯著性檢驗（兩個總體平均數(shù)差異的顯著性檢驗）總體平均數(shù)差異的顯著性檢驗）v 同一組對象的兩次測驗分數(shù)屬于相關樣本，樣本容同一組對象的兩次測驗分數(shù)屬于相關樣本，樣本容量超過，是大樣本量超過，是大樣本v 檢驗方法：相關大樣本檢驗方法：相關大樣本z檢驗。檢驗。vh0：1=2 h1：12v 兩個樣本為獨立大樣本，計算兩個樣本為獨立大樣本，計算z值：值：v v .，根據(jù)雙側，根據(jù)雙側z檢驗的決斷規(guī)檢驗的決斷規(guī)則作出決斷：則作出決斷：接受零

19、假設，即男女生測驗接受零假設，即男女生測驗成績沒有顯著差異。成績沒有顯著差異。45. 11745 .101805 .112 .785 .7622z獨立小樣本獨立小樣本t檢驗檢驗2,112212121212122221121nndfnnnnnnnnnnxxtxx?？赡芟嗟群褪莾蓚€樣本的容量、在式中相關小樣本相關小樣本t檢驗檢驗1,12212121222121ndfnrxxnrxxtxxxxxx為樣本容量。；為兩個樣本的相關系數(shù)；分別為兩個樣本標準差；分別為兩個樣本平均數(shù)，在式中，v例：例：10對學生分別接受兩種實驗，根據(jù)他們對學生分別接受兩種實驗，根據(jù)他們的統(tǒng)一測驗成績檢驗兩種實驗的效果有無顯的

20、統(tǒng)一測驗成績檢驗兩種實驗的效果有無顯著差異。著差異。v分析：分析：v兩組測驗分數(shù)平均數(shù)差異的顯著性檢驗兩組測驗分數(shù)平均數(shù)差異的顯著性檢驗v相關小樣本（配對組統(tǒng)一測驗分數(shù)）相關小樣本（配對組統(tǒng)一測驗分數(shù)）v檢驗方法：相關樣本檢驗方法：相關樣本t檢驗檢驗v 2檢驗檢驗 v是對樣本的頻數(shù)分布所來自的總體分布是否是對樣本的頻數(shù)分布所來自的總體分布是否服從某種理論分布或假設分布所作的檢驗。服從某種理論分布或假設分布所作的檢驗。即根據(jù)樣本的頻數(shù)分布來推斷總體的分布。即根據(jù)樣本的頻數(shù)分布來推斷總體的分布。v數(shù)據(jù)類型：點計數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)類型：點計數(shù)據(jù)單向表單向表2檢驗檢驗v單向表是把實測的點計數(shù)據(jù)按一種分類標準編制單向表是把實測的點計數(shù)據(jù)按一種分類標準編制而得的表。而得的表。例：從某校隨機抽取例：從某校隨機抽取50個學生，其中男生個學生，其中男生27人，人，女生女生23人，問該學校男女生人數(shù)是否有顯著差異？人，問該學校男女生人數(shù)是否有顯著差異？雙向表雙向表2檢驗檢驗v雙向表是把實測的點計數(shù)據(jù)按兩種分類標準編制雙向表是把實測的點計數(shù)據(jù)按兩種分類標準編制而得的表，也稱為列