2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)4.1《數(shù)列的概念》（1）導(dǎo)學(xué)案 (含答案)

1、4.1數(shù)列的概念（1） 導(dǎo)學(xué)案 1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類(lèi).3.理解數(shù)列的函數(shù)特征,掌握判斷數(shù)列增減性的方法.4.掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的概念及其應(yīng)用,能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.重點(diǎn)：數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法 難點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特征一、數(shù)列1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列.2.項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),常用符號(hào)a1表示;第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng),用a2表示第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).3.表示:數(shù)列的一般形式是a

2、1,a2,an,簡(jiǎn)記為an.點(diǎn)睛：(1)數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個(gè)數(shù)列是不相同的數(shù)列,例如1,2,3,與3,2,1就是不同的數(shù)列.(2)符號(hào)an和an是不同的概念,an表示一個(gè)數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項(xiàng).二、數(shù)列的分類(lèi) 類(lèi)別含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列三、數(shù)列與函數(shù) 數(shù)列an是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,

3、2，n)到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為anf(n)另一方面，對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果f(n)(nN*)有意義，那么 構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列f(n)f(1)，f(2)，f(n)， 四、數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.點(diǎn)睛：(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)1,2,n為定義域的函數(shù)表達(dá)式.(2)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(3)同一數(shù)列的通項(xiàng)公式,其表達(dá)形式可以是不唯一的,例如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成an=(-1)

4、n,an=(-1)n+2,an=cos n等.1. 下列敘述正確的是()A.所有數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類(lèi)B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號(hào)唯一確定C.數(shù)列1,3,5,7可表示為1,3,5,7D.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中不可能重復(fù)出現(xiàn)2.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n2-1,則該數(shù)列的第10項(xiàng)a10=,224是該數(shù)列的第項(xiàng).一、情景導(dǎo)學(xué)古語(yǔ)云:“勤學(xué)如春起之苗,不見(jiàn)其增,日有所長(zhǎng)”如果對(duì)“春起之苗”每日用精密儀器度量,則每日的高度值按日期排在一起,可組成一個(gè)數(shù)列. 那么什么叫數(shù)列呢?二、問(wèn)題探究1. 王芳從一歲到17歲，每年生日那天測(cè)量身高，將這些身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）依次排成一列數(shù)：75,87,96

5、,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168 記王芳第i歲的身高為 i，那么1=75, 2=87,，17=168.我們發(fā)現(xiàn)i中的i反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時(shí)的確定位置，即1=75是排在第1位的數(shù)，2=87是排在第2位的數(shù)，17 =168是排在第17位的數(shù)，它們之間不能交換位置，所以具有確定順序的一列數(shù)。2. 在兩河流域發(fā)掘的一塊泥板（編號(hào)K90，約生產(chǎn)于公元前7世紀(jì)）上，有一列依次表示一個(gè)月中從第1天到第15天，每天月亮可見(jiàn)部分的數(shù)：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,

6、208,224,240. 記第i天月亮可見(jiàn)部分的數(shù)為 si, 那么s1=5, s2=10,，s15=240.這里，si中的i反映了月亮可見(jiàn)部分的數(shù)按日期從115順序排列時(shí)的確定位置，即s1=5是排在第1位的數(shù)，s2=10是排在第2位的數(shù) s15=240是排在第15位的數(shù)，它們之間不能交換位置，所以，也是具有確定順序的一列數(shù)。3. -12的n次冪按1次冪， 2次冪, 3次冪, 4次冪依次排成一列數(shù)：- 12， 14，- 18， 116 思考：你能仿照上面的敘述，說(shuō)明也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？三、典例解析例1. 根據(jù)下列數(shù)列an的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng),并畫(huà)出它們的圖像.（1） an=n2+

7、n2; （2） an=cos(n1)2例2. 根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng),寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)12,2,92,8,252,; (2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,; (4)22-11,32-23,42-35,52-47,;(5)-112,123,-134,145,;(6)4,0,4,0,4,0,.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)通項(xiàng)公式的具體思路為:(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.(2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的關(guān)系.(3)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對(duì)值,再用(-1)k處理符號(hào).(4)對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列,考

8、慮利用周期函數(shù)的知識(shí)解答.2.常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列-1,1,-1,1,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n,數(shù)列1,-1,1,-1,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)數(shù)列1,2,3,4,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n.(3)數(shù)列1,3,5,7,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.(4)數(shù)列2,4,6,8,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n.(5)數(shù)列1,2,4,8,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.(6)數(shù)列1,4,9,16,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n2.(7)數(shù)列1,3,6,10,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n(n+1)2.(8)數(shù)列1,12,13,14,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=1n.跟蹤訓(xùn)

9、練1.寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1)1,13,15,17; (2)212,414,618,8116;(3)3,5,9,17; (4)23,415,635,863;(5)7,77,777,7 777.例3 (1)已知數(shù)列an滿(mǎn)足an=n2-5n-6,nN*.數(shù)列中有哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)?當(dāng)n為何值時(shí),an取得最小值?求出此最小值.(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=(n+1)1011n(nN*),試問(wèn)數(shù)列an有沒(méi)有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的兩種方法(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來(lái)研究數(shù)列的相關(guān)

10、性質(zhì),如單調(diào)性、最大值、最小值等,此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集1,2,n這一條件.(2)可以利用不等式組an-1an,anan+1(n1)找到數(shù)列的最大項(xiàng);利用不等式組an-1an,anan+1(n1)找到數(shù)列的最小項(xiàng).變式探究：在本例(2)中,若已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an=1n+398n,nN*,試求該數(shù)列an的最小項(xiàng).1.下列各項(xiàng)表示數(shù)列的是()A.,B.2 008,2 009,2 010,2 017C.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形D.a+b,a-b,ab,a2.下列數(shù)列既是遞增數(shù)列,又是無(wú)窮數(shù)列的是()A.1,2,3,20B.-1,-2,-3,-n,C.1,2,3,2,

11、5,6,D.-1,0,1,2,100,3. 觀察圖中5個(gè)圖形的相應(yīng)小圓圈的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,猜想第n個(gè)圖中有小圓圈.4.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=log3(2n+1),則a3=.5.已知數(shù)列3,7,11,15,則53是該數(shù)列的第項(xiàng).6.在數(shù)列an中,已知an=n2+n-13(nN*).(1)寫(xiě)出a10,an+1.(2)7923是不是該數(shù)列中的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?7.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=kn2n+3(kR).(1)當(dāng)k=1時(shí),判斷數(shù)列an的單調(diào)性;(2)若數(shù)列an是遞減數(shù)列,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.數(shù)列的概念與表示數(shù)列的定義數(shù)列的表示數(shù)列的分類(lèi)數(shù)列的函數(shù)特征數(shù)列的通項(xiàng)公式參考答案：知識(shí)梳

12、理1. 解析:按項(xiàng)的變化趨勢(shì),數(shù)列可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列等數(shù)列,A錯(cuò)誤;數(shù)列1,3,5,7與由實(shí)數(shù)1,3,5,7組成的集合1,3,5,7是兩個(gè)不同的概念,C錯(cuò)誤;同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn),如2,2,2,表示由實(shí)數(shù)2構(gòu)成的常數(shù)列,D錯(cuò)誤;對(duì)于給定的數(shù)列,數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號(hào)唯一確定,B正確.答案:B2.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是該數(shù)列的第15項(xiàng).答案:9915學(xué)習(xí)過(guò)程一、 典例解析例1.解:（1）當(dāng)通項(xiàng)公式中的n=1，2，3，4，5時(shí)，數(shù)列an的前5項(xiàng)依次為1,3,6,10,15如圖所示(1)（2）當(dāng)通項(xiàng)公式中的

13、n=1，2，3，4，5時(shí)，數(shù)列 an的前5項(xiàng)依次為 1,0,-1,0,1如圖所示(2)例2. 解:(1)數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察,12,42,92,162,252,所以,它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n22.(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值分別為1,3,5,7,9,是連續(xù)的正奇數(shù),其通項(xiàng)公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項(xiàng)加1后,分別變?yōu)?0,100,1 000,10 000,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1.(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1

14、開(kāi)始的奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n-1;分子的前一部分是從2開(kāi)始的自然數(shù)的平方,其通項(xiàng)公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù),其通項(xiàng)公式為n,綜合得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(n+1)2-n2n-1=n2+n+12n-1.(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n1n(n+1).(6)由于該數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)全部都是4,偶數(shù)項(xiàng)全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項(xiàng)公式,即an=4,n為奇數(shù),0,n為偶數(shù).又因?yàn)閿?shù)列可改寫(xiě)為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通項(xiàng)公式又可表示為an=2

15、+2(-1)n+1.跟蹤訓(xùn)練1.解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)an=2n+1;(4)an=2n(2n)2-1;(5)an=79(10n-1).例3 分析:(1)根據(jù)數(shù)列的函數(shù)的特征,以及不等式的解法,即可求出;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.(2)數(shù)列an的通項(xiàng)計(jì)算an+1-an確定單調(diào)性求解最大(小)項(xiàng)(1)解:an=n2-5n-60,解得0n6.nN*,數(shù)列中第1,2,3,4,5項(xiàng)為負(fù)數(shù),即-10,-12,-12,-10,-6.an=n2-5n-6=n-522494,當(dāng)n=2,3時(shí),an取得最小值,最小值為-12.(2)解法一:an+1-an=(n+2)1011n

16、+1-(n+1)1011n=1011n9-n11,當(dāng)n0,即an+1an;當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n9時(shí),an+1-an0,即an+1an.故a1a2a3a11a12,數(shù)列中有最大項(xiàng),最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng),即a9=a10=1010119.解法二:設(shè)ak是數(shù)列an的最大項(xiàng), 則akak-1,akak+1,即(k+1)1011kk1011k-1,(k+1)1011k(k+2)1011k+1,整理,得10k+1011k,11k+1110k+20,得9k10,所以k=9或k=10.又a1=2011a5=a6,即a5與a6都是數(shù)列的最小項(xiàng),且a5=a6=9586.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.

17、解析:數(shù)列是指按照一定次序排列的一列數(shù),而不能是圖形、文字、向量等,只有B項(xiàng)符合.答案:B2.解析:由遞增數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列的定義知D項(xiàng)正確.答案:D3. 分析:仔細(xì)觀察每個(gè)圖形中圓圈的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)順序之間的關(guān)系,從而歸納出第n個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù).解析:觀察圖中5個(gè)圖形小圓圈的個(gè)數(shù)分別為1,12+1,23+1,34+1,45+1,故第n個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為(n-1)n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.解析:觀察可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=4n-1,而53=75=419-1,所以53是該數(shù)列的第19項(xiàng).答案:19 5.解析:an=log3(2n+1),a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.解:(1)a10=102+10-13=1093;an+1=(n+1)2+(n+1)-13=n2+3n+13.(2)令an=n2+n-13=7923,解得n=15(n=-16舍去),所以7923是該數(shù)列中的