北航數(shù)學(xué)二學(xué)位常微方程復(fù)習(xí)-1

1、常微分方程復(fù)習(xí)課 王進(jìn)良1變量分離方程、變量變換變量分離方程：若，則有，所以，另外，也是解。齊次方程：令，則原方程化為，是變量可分離方程，求其通解后，再將換為，得到原方程的通解。另外，若，也是解?？苫癁辇R次方程：（1） 若，則是齊次方程（2） 若，則。令，則是變量分離方程（3） 若，則，令，其中，滿足，原方程化為2一階線性微分方程一階齊線性方程：通解（全部解）一階非齊線性方程：通解（全部解），常數(shù)變易法Bernoulli方程：令，原方程化為3恰當(dāng)方程、積分因子對(duì)稱式方程：若，此方程是恰當(dāng)方程，通解為：或解方程組：或分項(xiàng)組合法求解：記住幾個(gè)常用的全微分公式。積分因子的求法：若，則積分因子若，則積

2、分因子4一階隱方程（1），其中兩邊對(duì)求導(dǎo)，是顯式方程，按以前的方法求解若解為，則原方程的解為：。若解為，則原方程的解為：。若解為，則原方程的解為：。（2），其中兩邊對(duì)求導(dǎo)，是顯式方程，按以前的方法求解若解為，則原方程的解為：。（3），其中參數(shù)化： ，得到，。則原方程的解為：。（4），其中參數(shù)化： ，得到，。則原方程的解為：。5一階微分方程界的存在唯一性定理定理：如果在上連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件：，則方程存在唯一的解，定義在區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件，其中，。證明思路：（1）先證的解等價(jià)于的連續(xù)解。（2）證明積分方程的解存在唯一任取，令，若，則是積分方程的解；否則令，若，則是積分方

3、程的解；否則重復(fù)上述步驟，一般地，作函數(shù)，得到函數(shù)序列，若對(duì)于某個(gè)，則是積分方程的解若沒(méi)有上述情況發(fā)生，則可以證明：，一致成立。對(duì)于（*）兩邊取極限: .是積分方程的解。注：是次近似解，且6奇解（積分曲線的包絡(luò)）求微分方程：的奇解消去得到微分方程的曲線在進(jìn)一步驗(yàn)證，若是解曲線，則是奇解；否則不是奇解。特別地，Clairaut方程：通解：奇解：7線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)存在唯一性定理：疊加是（4.2）的解是（4.2）的解（4.2）的解在上線性無(wú)關(guān)在上，。（在a,b恒為0，或恒不為0）齊線性方程通解定理： 是（4.2）的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則（4.2）的通解（所有解）可表示為：注：全體解構(gòu)成一個(gè)維線性空間

4、非齊線性方程解的性質(zhì)：（i）(4.1)的解與(4.2)的解之和為(4.1)的解。（ii）(4.1)的兩解之差為(4.2)的解。非齊線性方程通解定理： 是（4.2）的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，而（4.1）的解，則（4.2）的通解（所有解）可表示為：。已知（4.2）的基本解組，用常數(shù)變易法求（4.1）的解8常系數(shù)齊線性微分方程的解法特征方程：（1）單個(gè)實(shí)特征根，對(duì)應(yīng)（4.19）的一個(gè)解：；（2）單個(gè)復(fù)特征根，對(duì)應(yīng)（4.19）的兩個(gè)解：，；（3）重實(shí)特征根，對(duì)應(yīng)（4.19）的個(gè)解：；（4）重復(fù)特征根，對(duì)應(yīng)（4.19）的個(gè)解：，；由此可以找到（4.19）的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，即基本解組。Euler方程：通過(guò)，可以將（4

5、.29）化為（4.19）的形式。特征方程：重實(shí)根對(duì)應(yīng)（4.29）的個(gè)線性無(wú)關(guān)解：。重復(fù)根對(duì)應(yīng)（4.29）的個(gè)線性無(wú)關(guān)解：。9常系數(shù)非齊線性微分方程的解法比較系數(shù)法：（1），其中是次多項(xiàng)式有特解：，其中，是待定的次多項(xiàng)式，為作為特征根的重?cái)?shù)（2），其中是不高于次多項(xiàng)式。有特解：，其中，是待定的次多項(xiàng)式，為作為特征根的重?cái)?shù)Laplace變換法：令，并利用性質(zhì)：，將（4.32）化為關(guān)于的代數(shù)方程，解出，再做Laplace逆變換得到。10高階方程的降階（1）令，原方程化為階方程（2）令，則，一般地可以用表示出。原方程化為階的方程（3）齊線性方程的降階若已知該方程的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解：令，則原方程化為關(guān)于的

6、階齊線性方程，并且的系數(shù)為零。再令，得到關(guān)于的階齊線性方程和個(gè)線性無(wú)關(guān)的解：。重復(fù)上述步驟：可以得到階齊線性方程。特別地，二階齊線性微分方程：若已知一個(gè)非零解，則可以化為一階齊線性方程，可解通解：（劉維爾公式）11線性微分方程組解的存在唯一性定理階線性方程可以化為由個(gè)一階線性方程組成的方程組定理：設(shè)是方陣，是維列向量，它們都在上連續(xù)，則對(duì)于和任意維列向量，方程組存在唯一解定義在上且滿足初始條件。12線性微分方程組的解的結(jié)構(gòu)（1）齊線性微分方程組：疊加原理：是（5.15）的解是（5.15）的解（5.15）的解在上線性無(wú)關(guān)在上，。（在a,b恒為0，或恒不為0）齊線性方程組通解結(jié)構(gòu)定理： 是（5.1

7、5）的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則（5.15）的通解（所有解）可表示為：或表示為，其中基解矩陣，為任意列向量。注：（5.15）的基解矩陣存在，且具有性質(zhì)：（i）是基解矩陣，是非奇異矩陣，則也是基解矩陣（ii），都是基解矩陣，則存在非奇異矩陣使得（2）非齊線性方程：（iii），解的性質(zhì)：（i）(5.14)的解與(5.15)的解之和為(5.14)的解。（ii）(5.14)的兩解之差為(5.15)的解。非齊線性方程通解結(jié)構(gòu)定理： 是（5.15）的基解矩陣，而是(5.14)的解，則(5.14)的通解（所有解）可表示為：。已知（5.15）的基解矩陣，用常數(shù)變易法求得，(5.14)的滿足初始條件的解：(5.14)的滿

8、足初始條件的解：13常系數(shù)線性微分方程組的解法矩陣指數(shù)：是（5.33）的實(shí)基解矩陣，且?；饩仃嚨那蠓ǎ海?） 若有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，它們分別屬于，則（5.33）有基解矩陣; .特別地，互不相同時(shí)，結(jié)論當(dāng)然成立。利用可以求實(shí)的基解矩陣。（2） 若沒(méi)有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量時(shí)，即有重根的情形。設(shè)有個(gè)不同的特征值，重?cái)?shù)分別為，其中，。對(duì)于每一個(gè)，解線性方程組，得到解空間于是，即，都有，其中，。此時(shí)，（5.33）滿足初始條件：的解為：對(duì)于，按上述公式分別計(jì)算，., 可以求出復(fù)習(xí)題一、問(wèn)答題1一階線性微分方程的通解形式為 。2Clairaut方程：的通解為 ，奇解的參數(shù)方程為： 。3Bernoull

9、i方程：化為一階線性方程的形式，需要做的變換 。4方程：是恰當(dāng)方程的充要條件為 。5有僅與有關(guān)的積分因子的充要條件為 ，此時(shí)，積分因子為 。6有僅與有關(guān)的積分因子的充要條件為 。此時(shí)，積分因子為 。7微分方程（）的p-判別曲線為 。8階齊線性微分方程存在且最多存在 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。9階非齊線性微分方程存在且最多存在 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。10階齊線性微分方程的個(gè)解構(gòu)成的Wronsky行列式在方程系數(shù)連續(xù)的區(qū)間上只能恒為零或恒不為零，對(duì)嗎？11設(shè)是階齊線性微分方程的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則方程的通解可表示為 。12設(shè)是階線性微分方程的一個(gè)解，而是相應(yīng)的齊線性方程的基本解組，則方程的通解可表示為 。13階齊線

10、性微分方程的基本解組是否唯一？14齊線性微分方程組的基解矩陣必定存在，但不唯一。對(duì)嗎？15設(shè)齊線性微分方程組的基解矩陣，則方程的通解可表示為 。16設(shè)是線性微分方程組的解矩陣，在區(qū)間上連續(xù)，則非奇異的充分必要條件是存在某個(gè)，使得。17設(shè)是的基解矩陣，則的滿足初始條件的解為 。18敘述一階微分方程的解的存在唯一性定理及其證明思路二、計(jì)算題1 解方程（變量分離）（1），（2）（3） 解：（1）及，（2）（3）2 解方程（齊次、可化為變量分離）（1），（2）（3），（4）解：（1），（2），（3），（4）3 解方程（一階線性方程）（1），（2），（3），（4）解：（1），（2），（3）及，（4）4

11、解方程（Bernoulli方程）（1），（2），（3）解：（1）及，（2）及，（3）5 解方程（全微分方程）（1），（2），（3），（4）解：（1），（2），（3），（4）6 解方程（可化為全微分方程、積分因子）（1），（2），（3），（4）解：（1），（2），（3），（4）7解方程（隱式方程）（1），（2），解：（1），（2），8解方程（求可能的奇解滿足p-曲線）（1），（2），（3），（4）解：（1），（2），（3）及，（4）9解方程（非線性高階方程）（1），（2），解：（1），（2）及10解方程（高階常系數(shù)齊線性方程）（1），（2），（3）解：（1），（2），（3）11解方程（高階常系數(shù)非齊線性方程）（1），（2）的特解形式，（3）的特解形式，（4）解：（1），（2），（3），（4）12解方程（常系數(shù)線性方程組）（1）求方程組：的基解矩陣，實(shí)基解矩陣，及通解，其中。（2）求方程組：的基解矩陣，及滿足初始條件的解和通解，其中。（3）求方程組：滿足初始條件的解，其中，。解：（1），通解：（2），通解：（3），通解：三、 應(yīng)用