窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器w

1、基于窗函數(shù)法的FIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計基于窗函數(shù)法的FIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計摘 要數(shù)字濾波器是一種用來過濾時間離散信號的數(shù)字系統(tǒng)，通過對抽樣數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理來達到頻域濾波的目的。根據(jù)其單位沖激響應函數(shù)的時域特性可分為兩類：無限沖激響應（IIR）濾波器和有限沖激響應（FIR）濾波器。與IIR濾波器相比，F(xiàn)IR的實現(xiàn)是非遞歸的，總是穩(wěn)定的；更重要的是，F(xiàn)IR濾波器在滿足幅頻響應要求的同時，可以獲得嚴格的線性相位特性。因此，它在高保真的信號處理，如數(shù)字音頻、圖像處理、數(shù)據(jù)傳輸、生物醫(yī)學等領(lǐng)域得到廣泛應用。濾波器的設(shè)計是信號處理的核心問題之一。根據(jù)FIR濾波器的原理，提出了FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計法，

2、給出了在MATLAB環(huán)境下，用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的過程和設(shè)計實例。通過利用不同的窗函數(shù)方法設(shè)計FIR濾波器，對所設(shè)計的濾波器進行分析比較，得出各種方法設(shè)計的濾波器的優(yōu)缺點及其不同的使用場合，從而可以在設(shè)計濾波器時能夠正確的選擇FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)的選取及設(shè)計方法。關(guān)鍵詞：FIR濾波器，MATLAB，窗函數(shù)I目 錄摘 要I1 概述11.1 FIR濾波器簡介11.2 窗函數(shù)設(shè)計法12 設(shè)計原理32.1 基本原理32.2 典型的窗函數(shù)43 幾種數(shù)字低通濾波器的窗函數(shù)設(shè)計73.1 采用矩形窗設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器73.2 采用漢明窗設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器73.3 采用布萊克曼窗設(shè)計FIR

3、數(shù)字低通濾波器9參考文獻10附 錄121 概述1.1 FIR濾波器簡介 FIR數(shù)字濾波器設(shè)計最簡單的方法是窗函數(shù)法，通常也稱為傅立葉級數(shù)法。它是在時域進行的，因而必須由理想濾波器的頻率響應推導出其單位沖激響應，在設(shè)計一個FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應去逼近。根據(jù)沖激響應的時域特性，數(shù)字濾波器可分為無限長沖激響應（IIR）和有限長沖激響應濾波器（FIR），F(xiàn)IR的突出優(yōu)點是：系統(tǒng)總是穩(wěn)定的、易于實現(xiàn)線性相位、允許設(shè)計多通帶（或多阻帶）濾波器，但與IIR相比，在滿足同樣阻帶衰減的情況下需要的階數(shù)較高，濾波器的階數(shù)越高，占用的運算時間越多，因此在滿足指標要求的情況下應盡量減少濾波器的階數(shù)。1.2 窗

4、函數(shù)設(shè)計法窗函數(shù)設(shè)計法是一種通過截短和計權(quán)的方法使無限長非因果序列成為有限長脈沖應響應序列的設(shè)計方法，通常在設(shè)計濾波器之前，應該先根據(jù)具體的工程應用確定濾波器的技術(shù)指標，在大多數(shù)實際應用中，數(shù)字濾波器常常被用來實現(xiàn)選頻操作，所以指標的形式一般為在頻域中以分貝值給出的相對幅度響應和相位響應。 用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的步驟如下： （1）根據(jù)過渡帶寬及阻帶衰減要求，選擇窗函數(shù)的類型并估計窗口長度N（或階數(shù)M=N-1），窗函數(shù)類型可根據(jù)最小阻帶衰減As獨立選擇，因為窗口長度N對最小阻帶衰減As沒有影響，在確定窗函數(shù)類型以后，可根據(jù)過渡帶寬小于給定指標確定所擬用的窗函數(shù)的窗口長度N，設(shè)待求濾波器的過

5、渡帶寬為，它與窗口長度N近似成反比，窗函數(shù)類型確定后，其計算公式也確定了，不過這些公式是近似的，得出的窗口長度還要在計算中逐步修正，原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇較小的N，在N和窗函數(shù)類型確定后，即可調(diào)用MATLAB中的窗函數(shù)求出窗函數(shù)W（n）。 （2）根據(jù)待求濾波器的理想頻率響應求出理想單位脈沖響應hd（n），如果給出待求濾波器頻率應為Hd（ejw），則理想的單位脈沖響應可以用下面的傅里葉反變換式求出： （1）在一般情況下，hd（n）是不能用封閉公式表示的，需要采用數(shù)值方法表示；從w=0到w=2采樣N點，采用離散傅里葉反變換（IDFT）即可求出。 （3）計算濾波器的單位脈沖響

6、應h（n），它是理想單位脈沖響應和窗函數(shù)的乘積。 (4)算技術(shù)指標是否滿足要求，為了計算數(shù)字濾波器在頻域中的特性，可調(diào)用freqz子程序，如果不滿足要求，可根據(jù)具體情況，調(diào)整窗函數(shù)類型或長度，直到滿足要求為止。使用窗函數(shù)法設(shè)計時要滿足以下兩個條件：窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶；盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度，也就是使能量盡量集中于主瓣，減小峰肩和紋波，進行增加阻帶的衰減。窗函數(shù)的選擇原則是：1具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣的幅度；2旁瓣的幅度下降的速率要快，以利于增加阻帶的衰減；3主瓣的寬度要窄，這樣可以得到比較窄的過渡帶。通常上述的幾點難以同時滿足。實際中設(shè)計FIR數(shù)字濾波器

7、往往要求是線性相位的，因此要求滿足線性相位的條件，即要求w(n)滿足： （2）所以，窗函數(shù)不僅有截短的作用，而且能夠起到平滑的作用，在很多領(lǐng)域得到了應用。2 設(shè)計原理2.1 基本原理設(shè)計低通FIR數(shù)字濾波器，尋求一系統(tǒng)函數(shù)，使其頻率響應逼近濾波器要求的理想頻率響應，其對應的單位脈沖響應 （3）其中 如果所希望的濾波器的理想的頻率響應函數(shù)為，則其對應的單位脈沖響應為 （4）窗函數(shù)設(shè)計法的基本原理是用有限長單位脈沖響應序列逼近。由于往往是無限長序列，而且是非因果的，所以用窗函數(shù)將截斷，并進行加權(quán)處理，得到： （5）就作為實際設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列，其頻率響應函數(shù)為 （6）式中，N

8、為所選窗函數(shù)的長度。2.2 典型的窗函數(shù)（1）矩形窗(Rectangle Window) （7） 其頻率響應和幅度響應分別為：， （8）（2）三角形窗(Bartlett Window) （9） 其頻率響應為： （3）漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗 （10）其頻率響應和幅度響應分別為：（4）漢明(Hamming)窗，又稱改進的升余弦窗 （11）其幅度響應為： （5）布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗 （12）其幅度響應 ： （6）凱塞(Kaiser)窗 （13） 其中：是一個可選參數(shù)，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說來，越大，過渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。

9、I0()是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。 若阻帶最小衰減表示為，的確定可采用下述經(jīng)驗公式： 若濾波器通帶和阻帶波紋相等即p=s時，濾波器節(jié)數(shù)可通過下式確定： 式中：我們知道，用窗函數(shù)法設(shè)計的濾波器性能取決于窗函數(shù)的類型及窗口長度N的取值。設(shè)計過程中，要根據(jù)對阻帶最小衰減和過渡帶寬度的要求選擇合適的窗函數(shù)類型和窗口長度N 。各種類型的窗函數(shù)可達到的阻帶最小衰減和過渡帶寬度見下表1。表2-1 各種窗函數(shù)的基本參數(shù)窗函數(shù)旁瓣峰值幅度/dB過渡帶寬阻帶最小衰減/dB矩形窗-134/N-12漢明窗-418/N-53布萊克曼窗-5712/N-74這樣選定窗函數(shù)類型和長度N之后，求出單位脈沖響應，并按照式（6）

10、求出。是否滿足要求，要進行演算。一般在尾部加零使長度滿足2的整數(shù)次冪，以便用FFT計算。如果要觀察細節(jié)，補零點數(shù)增多即可。如果不滿足要求，則要重新選擇窗函數(shù)類型和長度N ，再次驗算，直至滿足要求。如果要求線性相位特性，則還必須滿足 (14)根據(jù)上式中的正、負號和長度N的奇偶性又將線性相位FIR濾波器分成四類。要根據(jù)所設(shè)計的濾波特性正確選擇其中一類，例如，要設(shè)計線性相位低通特性，可以選擇這一類，而不能選擇這一類。我們在設(shè)計濾波器時，希望窗譜主瓣盡可能窄，以獲得較陡的過渡帶，同時盡可能減小最大旁瓣的相對幅度，我們發(fā)現(xiàn)這是不可能的，因為這本身就是一個矛盾體，所以在設(shè)計濾波器時只是根據(jù)實際情況來選擇合

11、適的窗函數(shù)。3 幾種數(shù)字低通濾波器的窗函數(shù)設(shè)計3.1 采用矩形窗設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器圖3-1 采用矩形窗設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器的仿真圖3.2 采用漢明窗設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器圖3-2 采用漢明窗設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器的仿真圖3.3 采用布萊克曼窗設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器圖3-3 采用布萊克曼窗設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器的仿真圖圖3-4采用布萊克曼窗沖激響應仿真圖圖3-5采用布萊克曼窗對含噪語音信號及濾波后的語音信號仿真圖參考文獻1 從玉良.數(shù)字信號處理原理及其MATLAB實現(xiàn)M.北京：電子工業(yè)出版社.2009.72 胡廣書.數(shù)字信號處理理論、算法與實現(xiàn)M.北京：清華大學出版社.2003

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13、 OCLCEB/OL2000-01-08 http: /www. oclc. org/about/ history/default. htm. 附 錄矩形窗設(shè)計程序passrad=0.4*pi;w2=boxcar(16);n=1:1:16;hd=sin(passrad*(n-8)./(pi*(n-8);hd(8)=passrad/pi;h2=hd.*rot90(w2);title(designed by Hanning window);mag2,rad=freqz(h2);subplot(2,1,1);plot(rad,20*log10(abs(mag2);grid on;h2,w2=freq

14、z(h2,1,100,2);subplot(2,1,2);plot(w2,unwrap(angle(h2);grid on;漢明窗設(shè)計程序passrad=0.4*pi;w2=hamming(32);n=1:1:32;hd=sin(passrad*(n-16)./(pi*(n-16);hd(16)=passrad/pi;h2=hd.*rot90(w2);title(designed by Hanning window);mag2,rad=freqz(h2);subplot(2,1,1);plot(rad,20*log10(abs(mag2);grid on;h2,w2=freqz(h2,1,10

15、0,2);subplot(2,1,2);plot(w2,unwrap(angle(h2);grid on;布萊克曼窗函數(shù)設(shè)計程序passrad=0.4*pi;w2=blackman(64);n=1:1:64;hd=sin(passrad*(n-32)./(pi*(n-32);hd(32)=passrad/pi;h2=hd.*rot90(w2);title(designed by Hanning window);mag2,rad=freqz(h2);subplot(2,1,1);plot(rad,20*log10(abs(mag2);grid on; h2,w2=freqz(h2,1,100,2

16、);subplot(2,1,2);plot(w2,unwrap(angle(h2);grid on;用布萊克曼語音信號進行濾波，并得濾波前后信號的時域波形及頻譜程序clear;clc;x,fs=wavread(D:SHE.wav);sound(x,fs);if x/2=0 x=x 0;endfnoise =10000;T=length(x)/fs;t=T/length(x):T/length(x):T;for j=1:length(x)noise(j)=sin(2*pi*fnoise*t(j);endx=x+noise;fp=1000;fst=1200;delta_w=2*pi*(fst-fp)/fs;wc=pi*(fst+fp)/fs;N=31;if N/2=0N=N+1;endtau=(N-1)/2;for n=1:Nh(n)=sin(wc*(n-tau)/(pi*(n-tau);endh(N-1)/2)=(fst+fp