bezier曲線PPT課件

1、回回 顧顧- -曲線的表示形式曲線的表示形式曲線的表示形式非參數(shù)表示顯式表示隱式表示)(xfy 0),(yxf第1頁/共34頁回回 顧顧- -曲線的表示形式曲線的表示形式,)(),(),()(battytxyxtpabatt 1 , 0)(ttpp區(qū)間a,b規(guī)范化為0,1,)()(battyytxx參數(shù)表示第2頁/共34頁回顧連續(xù)性條件回顧連續(xù)性條件 參數(shù)連續(xù)性 稱曲線P = P(t)在 處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在 處n階左右導(dǎo)數(shù)存在，并且滿足 記號0tt 0tnkdttPddttPdttkkttkk, 1 , 0,)()(00nC 傳統(tǒng)的、嚴(yán)格的連續(xù)性第3頁/共34頁回顧連續(xù)性條件回顧連續(xù)性條

2、件幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性只需限定兩個曲線段在交點(diǎn)處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例，而不必完全相等記號直觀的、易于交互控制的連續(xù)性nG第4頁/共34頁內(nèi)容提要內(nèi)容提要 Bezier Bezier 曲線的提出曲線的提出 Bezier Bezier 曲線的應(yīng)用曲線的應(yīng)用 Bezier Bezier 曲線的定義曲線的定義 BernsteinBernstein基函數(shù)的性質(zhì)基函數(shù)的性質(zhì) BezierBezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì) BezierBezier曲線生成曲線生成 總結(jié)總結(jié)BezierBezier曲線優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)曲線優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)第5頁/共34頁BezierBezier曲線提出曲線提出提出：Bezier在1962年提出

3、優(yōu)點(diǎn)： 輸入的控制點(diǎn)與生成曲線之間的關(guān)系明確； 能方便地改變曲線的形狀和階次。第6頁/共34頁 計算機(jī)輔助設(shè)計與制造（CAD/CAM） 飛機(jī)、汽車、船舶外形的設(shè)計 CATIA波音 寶馬 奔馳 克萊斯勒 水泵葉輪和齒輪等機(jī)械零件的設(shè)計 BezierBezier曲線應(yīng)用曲線應(yīng)用第7頁/共34頁BezierBezier曲線應(yīng)用曲線應(yīng)用橋梁建筑物以及日用品的設(shè)計第8頁/共34頁 曲線字形輪廓描述 地圖圖形管理系統(tǒng) 真實(shí)感圖形的繪制BezierBezier曲線應(yīng)用曲線應(yīng)用還有那些應(yīng)用?第9頁/共34頁BezierBezier曲線的定義曲線的定義 1 , 0)()(0,ttBPtCnknkknktttkn

4、knttCtBknkknkknnk, 1 ,01 ,0)1()!( !)1()(,控制點(diǎn)階數(shù)Bernstein基函數(shù)參數(shù)第10頁/共34頁Bezier曲線是參數(shù)多項式曲線，它由一組控制多邊形的頂點(diǎn)唯一的確定。控制多邊形各頂點(diǎn)，只有第一個和最后一個在曲線上其它頂點(diǎn)，用于控制曲線的階次和形狀。改變頂點(diǎn)的位置就會改變曲線的形狀(便于修改)增加頂點(diǎn)，則增加了曲線段的階次(靈活)Bezier曲線的定義第11頁/共34頁控制點(diǎn)對曲線形狀的修改Bezier曲線是面向幾何的，充分發(fā)揮人的主觀能動性和創(chuàng)造性，通過直觀交互使人對設(shè)計對象的控制達(dá)到直接的幾何化程度。Bezier曲線的定義第12頁/共34頁控制點(diǎn)對曲

5、線階次的修改Bezier曲線的定義第13頁/共34頁一次Bezier曲線101 , 111 , 00101 ,)1 ()()()()(tPPttBPtBPtBPtPkkk二次Bezier曲線 0,1t 0010221211 )()()()()(21022, 222, 112, 00202,PPPtttBPtBPtBPtBPtPikkBezierBezier曲線的定義曲線的定義第14頁/共34頁三次Bezier曲線P(t）= B0,3(t)P0 + B1,3(t)P1+ B2,3(t)P2B3,3(t)P3其中 B0,3(t)(1-t)3 B1,3(t)3t(1-t)2 B2,3(t)3t2(1

6、-t) B3,3(t)t3 32102300010033036313311 t tPPPPttPBezier曲線的定義第15頁/共34頁BernsteinBernstein基函數(shù)的性質(zhì)（一）基函數(shù)的性質(zhì)（一） 1 , 0,0)(,ttBnk 非負(fù)性nktttknknttCtBknkknkknnk, 1 ,01 ,0)1()!( !)1()(,其它001)0(,kBnk其它01)1(,nkBnk0！=1，00=1。 端點(diǎn)的性質(zhì)第16頁/共34頁BernsteinBernstein基函數(shù)的性質(zhì)（二）基函數(shù)的性質(zhì)（二） 1 , 0)1 ()!( !)1 ()(,tttknknttCtBknkknkk

7、nnk)(,)1 ()1 (knnknknnnknttCtB 對稱性)1 ()(,tBtBnknnkkknttknnknn)1 ()!()!(!kknttkknn)1 (!)!(!推導(dǎo)：t01-t0第17頁/共34頁BernsteinBernstein基函數(shù)的性質(zhì)（三）基函數(shù)的性質(zhì)（三）)()()1 ()(1, 11,ttBtBttBnknknk 1 , 0,1)(0,ttBnknknknkknkknnkttCtB00,)1 ()(權(quán)性 遞推性knkknnkttCtB)1 ()(,)()()1 (1, 11,ttBtBtnknkknkknknttCC)1 ()(11111)1 ()1 (knk

8、knttCtknkkntttC)1 (111ntt)1 (1t0第18頁/共34頁BernsteinBernstein基函數(shù)的性質(zhì)（四）基函數(shù)的性質(zhì)（四）)1)()!( !)1 ()!( !)(11,kknknknkttknknknttkknkntB)1()1(1)1 ()!1() 1()!1()!1(knkttknknn)()(1,1, 1tBtBnnknk 導(dǎo)函數(shù)knkttknknn)1()1 ()!) 1(!)!1( 1 , 0)1 ()!( !)1 ()(,tttknknttCtBknkknkknnk)()()(1,1, 1,tBtBntBnknknk第19頁/共34頁BezierBe

9、zier曲線的性質(zhì)（一）曲線的性質(zhì)（一）nnnnnPPBPBC) 1 () 1 () 1 (,0, 0端點(diǎn)性質(zhì) 曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)同控制多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合當(dāng) t1 時，對Bernstein多項式只有kn 的項為1，其它項均為0, 將t0代入Bezier曲線表達(dá)式：01, 10, 0)0()0()0(PPBPBCnn第20頁/共34頁BezierBezier曲線的性質(zhì)（二）曲線的性質(zhì)（二） 1 , 0)()(0,ttBPtCnknkk)()()(1,1, 1,tBtBntBnknknknknknkktBtBPntC01,1,1)()()( Bezier曲線中對t求一階導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)數(shù))()()(

10、)()()(1,1, 11, 111, 011, 001, 10tBPtBPtBPtBPtBPtBPnnnnnnnnnnn)()()()()()(1, 111, 1121, 001tBPPtBPPtBPPnnnnnnnnknkkktBPPn11,11)()(第21頁/共34頁BezierBezier曲線的性質(zhì)（二）曲線的性質(zhì)（二）nknkkktBPPntC11, 11)()()(在起始點(diǎn)t0, B0,n-1(0)1，其余項均為0，故有: C(0)n(P1P0)在終止點(diǎn)t1, Bn-1,n-1(1)1，其余項均為0，故有: C(1)= n(PnPn-1)即Bezier曲線在端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)只同相

11、近的兩個控制點(diǎn)有關(guān)，其方向相同于兩點(diǎn)的連線方向。)()()()()()(1, 111, 1121, 001tBPPtBPPtBPPnnnnnnn第22頁/共34頁Bezier曲線中對參數(shù)t求二階導(dǎo)數(shù)可得：Bezier曲線的性質(zhì)（三）nknkkkktBPPPnntC01,12)()2()1()( 在起始點(diǎn)t0處的二階導(dǎo)數(shù)為： C”(0)n(n1)(P22P1P0)在終止點(diǎn)t1處的二階導(dǎo)數(shù)為： C”(1)n(n1)(Pn2Pn-1Pn-2)即Bezier曲線在端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)只同相近的三個控制點(diǎn)有關(guān)。二階導(dǎo)數(shù)第23頁/共34頁BezierBezier曲線的性質(zhì)（四）曲線的性質(zhì)（四）凸包性 Bezi

12、er曲線各點(diǎn)均落在控制多邊形各頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包之中，這里凸包是指包含所有頂點(diǎn)的最小凸多邊形。 當(dāng)特征多邊形為凸時，Bezier曲線也是凸的；當(dāng)特征多邊形有凹有凸時，其曲線的凸凹形狀與之對應(yīng)。Bezier曲線的凸包性質(zhì)保證了多項式曲線隨控制點(diǎn)平穩(wěn)前進(jìn)而不會振蕩。變差縮減性 如果Bezier曲線的控制多邊形是一平面圖形，則該平面內(nèi)的任意直線和Bezier曲線的交點(diǎn)個數(shù)不多于該直線與控制多邊形的交點(diǎn)個數(shù)。 第24頁/共34頁BezierBezier曲線生成曲線生成如何繪制一段Bezier曲線？1 確定曲線的階次2 計算Bernstein基函數(shù)的表達(dá)式nktttknknttCtBknkknkknnk,

13、1 , 0 1 , 0)1 ()!( !)1 ()(, B0,3(t)(1-t)3 ； B1,3(t)3t(1-t)2 ； B2,3(t)3t2(1-t) ； B3,3(t)t33 把Bezier曲線中的Pk寫成分量坐標(biāo)的形式 4 確定一合適的步長；控制t從0到1變化，求出一系列(x,y)坐標(biāo)點(diǎn)；將其用小線段順序連接起來。第25頁/共34頁BezierBezier曲線生成曲線生成 算法描述：對于二維平面的情況，只有x,y坐標(biāo)分量，可以給出四點(diǎn)三次Bezier曲線如下的算法描述：輸入：階次，3； 控制頂點(diǎn)：4個，(x0,y0),（x3,y3) begin x=x0 y=y0 moveto (x,

14、y) for t0 to 1 step t xB0,3(t)x0B1,3(t)x1B2,3(t)x2B3,3(t)x3 yB0,3(t)y0B1,3(t)y1B2,3(t)y2B3,3(t)y3 lineto (x,y) endfor end為什么呢？第26頁/共34頁三次Bezier曲線例子： 設(shè)在平面上給定的7個控制點(diǎn)坐標(biāo)分別為:A（100,300）,B（120,200）,C（220,200）,D（270,100）,E（370,100）, F（420,200）,G（420,300）。畫出其曲線。BezierBezier曲線生成曲線生成第27頁/共34頁BezierBezier曲線生成曲線生

15、成德卡斯特里奧算法11202010211111110100PPPPPPPPPPPP11102021111010)1 ()1 ()1 (tPPtPtPPtPtPPtPtt12210220)1 (2)1 (PtPttPtP 當(dāng)t從0變到1時，它表示了由三頂點(diǎn)P0、P1、P2三點(diǎn)定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：這二次Bezier曲線P02可以定義為分別由前兩個頂點(diǎn)(P0,P1)和后兩個頂點(diǎn)(P1,P2)決定的一次Bezier曲線的線性組合。第28頁/共34頁n 依次類推，由四個控制點(diǎn)定義的三次Bezier曲線P03可被定義為分別由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)確定的二條二次Be

16、zier曲線的線性組合；n 由(n+1)個控制點(diǎn)Pi(i=0,1,.,n)定義的n次Bezier曲線P0n可被定義為分別由前、后n個控制點(diǎn)定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P0n-1與P1n-1的線性組合：由此得到Bezier曲線的遞推計算公式BezierBezier曲線生成曲線生成 1 , 0)1 (11100ttPPtPnnnk,n, ,i,n;,kPt)P(kPPkikiiki102110111第29頁/共34頁Bezier曲線的光滑連接例子：設(shè)有兩段三次Bezier曲線，其中一段曲線由控制點(diǎn)P0、P1、P2、P3生成，另一條曲線由控制點(diǎn)Q0、Q1、Q2、Q3生成，P3(Q0)是兩段曲線的公共控制點(diǎn)。如果兩段曲線要達(dá)到光滑連接，需要一階參數(shù)連續(xù)，甚至二階參數(shù)連續(xù)。對于一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，第一段曲線終點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為： P(1)3(P3P2) 第二段曲線起點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為： Q(0)3(Q1Q0) P3P2Q1Q0 BezierBezier曲線生成曲線生成第30頁/共34頁兩段Bezier曲線光滑連接的示意圖二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)第一段曲線終點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為： P”(1)6(P32P2P1)第二段曲線起點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)