chapter第一類曲線積分實(shí)用PPT課件

1、 .引例與概念引例與概念一一 .性質(zhì)性質(zhì)二二 .算算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)三三 .用用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)四四第1頁(yè)/共20頁(yè) .引例與概念引例與概念一一引例1. ., ),( 求其質(zhì)量求其質(zhì)量構(gòu)件構(gòu)件的非均勻平面曲線形的非均勻平面曲線形設(shè)有線密度為設(shè)有線密度為L(zhǎng)yx Solution. oxyABL分割, ,121insMMM 1 nMiM1 iM2M1M,),(iiis ),(ii ;),(iiiism 求和, ;),(1 niiiism 取極限,.),(lim10 niiiism 近似值精確值第2頁(yè)/共20頁(yè)引例2. ., ),( 求其質(zhì)量求其質(zhì)量構(gòu)

2、件構(gòu)件的非均勻空間曲線形的非均勻空間曲線形設(shè)有線密度為設(shè)有線密度為 zyx Solution. ABL分割, ,121insMMM 1 nMiM1 iM2M1M,),(iiiis ;),(iiiiism 求和, ;),(1 niiiiism 取極限,.),(lim10 niiiiism 近似值精確值oxyz),(iii 第3頁(yè)/共20頁(yè)第一類曲線積分的統(tǒng)一定義（形式上的定義） ,)(,),(是有界函數(shù)是有界函數(shù)是可以度量的是可以度量的空間空間平面平面表示曲線表示曲線設(shè)設(shè)PfS );(,)1(1也表量度也表量度個(gè)小部分個(gè)小部分任意分劃成任意分劃成將將insssnS ), 1( ,)( ,)2(n

3、isPfsPiiii 作乘積作乘積;)( 1 niiisPf作和作和,max )3(1的直徑的直徑記記inis ,上怎樣的取法上怎樣的取法在在怎樣的分劃怎樣的分劃如果無(wú)論對(duì)如果無(wú)論對(duì)iisPS niiisPf10)(lim .)(,上的第一類曲線積分上的第一類曲線積分在在則稱其為則稱其為都存在都存在SPf第4頁(yè)/共20頁(yè)記為.)(lim)(10 niiiSsPfdsPf 則則若若),()(, )1(yxfPfLS .),(lim),(10 niiiiLsfdsyxf 平面曲線上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分則則若若),()(, )2(zyxfPfS .),(lim),(10 niiiiisfdszyxf 空

4、間曲線上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分第5頁(yè)/共20頁(yè)注意: .),( ,),( )1(存在存在積分積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線對(duì)弧長(zhǎng)的曲線上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf.),( )2( Ldsyxm 曲線型構(gòu)件的質(zhì)量曲線型構(gòu)件的質(zhì)量.),( dszyxm .),( ,)3( LdsyxfL則記為則記為為封閉曲線為封閉曲線若若.),(, dszyxf則記為則記為為封閉曲線為封閉曲線若若. 0 )4( is對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與路徑的走向無(wú)關(guān)! 第6頁(yè)/共20頁(yè) .性質(zhì)性質(zhì)二二.),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為常數(shù)為常數(shù)k

5、dsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL .),(),( )4( BAABdsyxfdsyxf. )5( Ldss第7頁(yè)/共20頁(yè) .算算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)三三定理1. ,),()1(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)Lyxf ),(),(),()2( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為, 0)()( ,)(),()3(22 tttt 且且上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在 )( )()()(),(),( 22 dtttttfdsyxfL則則注意: ; )1( 一定小于上限一定小于上限積分下限積分下限.

6、0, 0 iits1. 直接計(jì)算法 第8頁(yè)/共20頁(yè). ,)()(),(),(,)2(22的積分的積分再作再作換成換成將將計(jì)算時(shí)計(jì)算時(shí) dtttttdsyx概括為“一代二換三定限”).()(:)3(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL ).()(:)4(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL 第9頁(yè)/共20頁(yè)).( ),(: )5( rrL).( ,sin)(cos)(: ryrxL .)()()sin,cos(),(22 drrrrfdsyxfL ).( ,)()()(: )6( ttztytx .)()()()(),(),(),(222

7、dtttttttfdszyxf 第10頁(yè)/共20頁(yè). )1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,)(. 1為頂點(diǎn)的三角形的邊為頂點(diǎn)的三角形的邊是以是以其中其中計(jì)算計(jì)算BAOLdsyxexL Solution. xyoAB, 0: yOA; 10 x,1:xyAB ; 10 x, 0: xBO; 10 y BOABOALdsyx)( 10 xdx 102dx 10ydy. 21 第11頁(yè)/共20頁(yè). ,. 222222的扇形的整個(gè)邊界的扇形的整個(gè)邊界軸在第一象限內(nèi)所圍成軸在第一象限內(nèi)所圍成及及直線直線為圓周為圓周其中其中計(jì)算計(jì)算oxxyayxLdseexLyx Solution. xyoA

8、Ba, 0: yOA;0ax ,sincos: taytaxAB;40 t,:xyBO ;20ax BOABOALyxdse22 axdxe0 40 adtea 2022axdxe. 2)42( aea 第12頁(yè)/共20頁(yè)).2 , 3 , 1(, )2 , 0 , 1( ),2 , 0 , 0(),0 , 0 , 0(,. 32DCBAyzdsxex為折線為折線其中其中計(jì)算計(jì)算 Solution. ,00: yxAB; 20 z,20: zyBC; 10 x,21: zxCD; 30 y CDBCAByzdsx2 CDyzdsx200 302ydy. 9302 y第13頁(yè)/共20頁(yè)2. 利用

9、對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算 , )1(軸時(shí)軸時(shí)對(duì)稱于對(duì)稱于當(dāng)當(dāng)xL ),(),( 0),(),( ),(2),(yxfyxfyxfyxfdsyxfdsyxfLL上上, )2(軸時(shí)軸時(shí)對(duì)稱于對(duì)稱于當(dāng)當(dāng)yL ),(),( 0),(),( ),(2),(yxfyxfyxfyxfdsyxfdsyxfLL右右第14頁(yè)/共20頁(yè).)2, 1()2 , 1(,4:,. 42一段一段到到從從其中其中求求 xyLydsIexLMethod1.).22( ,4 2 yyx選取選取. 0 xy42 dyyyI222)2(1 Method2. 由于L關(guān)于x軸對(duì)稱, 被積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù). 0 LydsI第15頁(yè)/共20頁(yè).0

10、,. 522222 zyxazyxdsxIex為圓周為圓周其中其中求求Solution. 由對(duì)稱性, 知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長(zhǎng)球面大圓周長(zhǎng)ads 第16頁(yè)/共20頁(yè) .用用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)四四 ,),()1(的線密度時(shí)的線密度時(shí)表示表示當(dāng)當(dāng)Lyx ;),( Ldsyxm ;,1),()2( LdsLyxf弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),(),()3(處的高時(shí)處的高時(shí)柱面在點(diǎn)柱面在點(diǎn)上的上的表示立于表示立于當(dāng)當(dāng)yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面積柱面面積sL),(yxfz )4(曲線弧的重心坐

11、標(biāo)曲線弧的重心坐標(biāo)., LLLLdsdsyydsdsxx 曲線弧的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量曲線弧的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)5(.)( , ,2222 LoLyLxdsyxIdsxIdsyI 對(duì)空間曲線構(gòu)件也有結(jié)論!第17頁(yè)/共20頁(yè)).,( ,),(),20( ,sin,cos . 6222zyxIzyxzyxtktztaytaxexz求求設(shè)有曲線形構(gòu)件方程為設(shè)有曲線形構(gòu)件方程為 Solution. dszyxyxIz),()( )1(22 dszyxyx)(22222 20222222)(dtkatkaa).43(32222222kakaa dszyxm),( )2( dszyx)(222 2022222)(dtkatka).43(3222222kaka 第18頁(yè)/共20頁(yè) dszyxx)(222 2022222)(cosdtkatkata 202222costdttkaak;4222 kaak