巧解雙曲線的離心率

1、.巧解雙曲線的離心率離心率是雙曲線的重要性質(zhì)，也是高考的熱點(diǎn)。經(jīng)?？疾椋呵箅x心率的值，求離心率的取值范圍，或由離心率求參數(shù)的值等。下面就介紹一下常見(jiàn)題型和巧解方法。1、求離心率的值（1）利用離心率公式，先求出，再求出值。（2）利用雙曲線離心率公式的變形： ，先整體求出，再求出值。例1 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為_(kāi).分析：雙曲線的漸近線方程為，由已知可得解答：由已知可得，再由，可得.（3）構(gòu)造關(guān)于的齊次式，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次方程，最后求出值，即“齊次化”。例如：例2 設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為_(kāi).分

2、析：利用兩條直線垂直建立等式，然后求解。解答：因?yàn)閮蓷l直線垂直， 所以（負(fù)舍）2、求離心率的取值范圍求離心率的取值范圍關(guān)鍵是建立不等關(guān)系。（1）直接根據(jù)題意建立的不等關(guān)系求解的取值范圍。例3 若雙曲線（），則雙曲線離心率的取值范圍是_.分析：注意到的條件解答：（2）利用平面幾何性質(zhì)建立不等關(guān)系求解的取值范圍。例4 雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若為其上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi).分析：由雙曲線上非頂點(diǎn)的點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成三角形，利用三角形性質(zhì)構(gòu)建不等式。解答：因?yàn)?，而，又因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌?，兩邊之差小于第三邊，所以。?）利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立不等關(guān)系求解的取值范圍。例5

3、已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線離心率e的取值范圍是_.分析：此題和上題類似，但也可以換一種辦法找不等關(guān)系。解答：由可得，又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，即，所以.（4）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想建立不等關(guān)系求解的取值范圍。例6 雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是_分析：由直線和雙曲線的位置關(guān)系得到不等關(guān)系解答：由圖象可知漸近線斜率，再由 。（5）運(yùn)用函數(shù)思想求解的取值范圍。例7 設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是_.分析：把離心率表示成關(guān)于的函數(shù)，然后求函數(shù)的值域解答：把或表示成關(guān)于的函數(shù)，然后用求函數(shù)值域的

4、方法求解，。小結(jié)：通過(guò)以上例題，同學(xué)們應(yīng)該體會(huì)到求離心率的值或取值范圍有很多種辦法，求值不一定非要先求出的值，能夠得到中某兩者的關(guān)系即可；求取值范圍關(guān)鍵就是找到不等關(guān)系建立不等式，不等關(guān)系可以來(lái)自已知條件、可以來(lái)自圖形特點(diǎn)、也可以來(lái)自雙曲線本身的性質(zhì)?？傊?，要認(rèn)真審題、分析條件，巧解離心率。練習(xí)：（1）設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為()A. B. C2 D3解：設(shè)雙曲線C的方程為1，焦點(diǎn)F(c,0)，將xc代入1可得y2，所以|AB|222a，b22a2，答案：B（2）已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率

5、為，則C的漸近線方程為()Ayx Byx Cyx Dyx解：由題意可知，雙曲線的漸近線方程為yx，又離心率為e，所以，所以雙曲線的漸近線方程為yx.答案：C（3）雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，漸近線分別為l1，l2，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)且在l1上，若l2PF1，l2PF2，則雙曲線的離心率是()A. B2 C. D.圖1解：如圖1，由l2PF1，l2PF2，可得PF1PF2，則|OP|F1F2|c，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則 mc，解得ma，即得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)，則由KPF2，可得2ac，即e2.答案：B（4）若雙曲線1的離心率為，則m的值為_(kāi)解：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，

6、所以e，所以m2.答案：2圖2（5）如圖2，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M，N是雙曲線的兩頂點(diǎn)若M，O，N將橢圓長(zhǎng)軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是_A3 B2 C. D.解:設(shè)雙曲線的方程為1，橢圓的方程為1，由于雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)且M，O，N將橢圓長(zhǎng)軸四等分，所以a22a1，又e1，e2，所以2.答案：2（6）設(shè)點(diǎn)P在雙曲線1(a0，b0)的右支上，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若|PF1|4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是_解：由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以4|PF2|PF2|2a，|PF2|a，|PF1|a，所以

7、整理得ac，所以，即e，又e1，所以1e.答案：（7）已知點(diǎn)F是雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為_(kāi)解：由題意知，ABE為等腰三角形若ABE是銳角三角形，則只需要AEB為銳角根據(jù)對(duì)稱性，只要AEF即可直線AB的方程為xc，代入雙曲線方程得y2，取點(diǎn)A，則|AF|，|EF|ac，只要|AF|EF|就能使AEF，即ac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，即1e1， 故1e0，b0)的左，右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段

8、PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M.若|MF2|F1F2|，求C的離心率.圖3解：依題意，知直線F1B的方程為yxb，聯(lián)立方程得點(diǎn)Q，聯(lián)立方程得點(diǎn)P，所以PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為.所以PQ的垂直平分線方程為y.令y0，得xc，所以c3c.所以a22b22c22a2，即3a22c2. 所以e.答案：（9）雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)A作圓的切線，斜率為，求雙曲線的離心率解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，直線AO的斜率滿足()1，x0y0，依題意，圓的方程為x2y2c2，將代入圓的方程，得3yyc2，即y0c，x0c，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程，得1，即b2c2a2c2a2b2，又a2b2c2，將b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0，e1，e. 雙曲線的離心率為.答案：（10）如圖4，雙曲線1(a0，b0)的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2.若以