2010考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講義—線性代數(shù)：第五章　特征值與特征向量

1、-線性代數(shù)-第五章特征值與特征向量本章主要包括特征值與特征向量的計(jì)算及證明，特別是相似矩陣及矩陣對(duì)角化.前面學(xué)習(xí)的矩陣的秩的概念，就是矩陣的一個(gè)特征，我們已經(jīng)用“秩”刻畫了矩陣的很多性質(zhì)，諸如矩陣的可逆性，行向量組的線性相關(guān)性等.而矩陣的特征值和特征向量則是矩陣的又一特征. 一、考研知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖二、相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)精講向量組的正交規(guī)范化定義5.1 內(nèi)積：設(shè)n維列向量和，則稱為向量和的內(nèi)積。定義5.2 向量的長(zhǎng)度：向量的長(zhǎng)度為，記為：.若=1，則稱向量為單位向量.為單位向量正交：若，則與是正交的。定義5.3 向量的夾角：向量和的夾角=向量和正交（垂直）定義5.4 規(guī)范（標(biāo)準(zhǔn)）正交的向量組：若向量組滿

2、足（1）向量組的每一個(gè)向量是單位向量，（2）向量組是正交的向量組.規(guī)范正交向量組：向量組里每個(gè)向量長(zhǎng)度都是1，內(nèi)積都為0。定義5.5 正交矩陣：若n階方陣A滿足（即：），則稱A為正交矩陣.正交矩陣：正交矩陣都是可逆矩陣，都是正方形矩陣，并且性質(zhì)5.1 內(nèi)積的性質(zhì)：（1）對(duì)稱性：（2）線性性：，性質(zhì)5.2 向量長(zhǎng)度的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）齊次性：（3）三角不等式：（4）施瓦茨不等式：性質(zhì)5.3 正交向量的性質(zhì)：正交的向量組（兩兩正交的非零向量）一定線性無(wú)關(guān).性質(zhì)5.4 n階方陣A為正交矩陣，性質(zhì)5.5 規(guī)范（標(biāo)準(zhǔn)）正交的過(guò)程（1）施密特正交化過(guò)程： 令：.（2） 規(guī)范（單位）化過(guò)

3、程：最后得到規(guī)范（標(biāo)準(zhǔn)）正交向量組.施密特正交化過(guò)程：設(shè)線性無(wú)關(guān)（1）（2）（3）（4）單位化：令，則兩兩正交，并且都是單位向量。特征值和特征向量定義5.6 設(shè)A為n階矩陣，若存在數(shù)和非零的n維列向量，使，則稱為A的特征值，為A的對(duì)應(yīng)于特征值特征向量.特別要強(qiáng)調(diào)的是，特征向量必須是非零向量.若，定義5.7 為n階方陣A的特征多項(xiàng)式，其值計(jì)算出來(lái)是形如的關(guān)于的n次多項(xiàng)式.為n階方陣A的特征方程.事實(shí)上，及均稱為方陣A的特征多項(xiàng)式，而方程及均稱為A的特征方程。性質(zhì)5.6 n階方陣A的特征值和特征向量一定存在.n階方陣A的特征方程一定有根（特別地，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，它一定有n個(gè)根）.假設(shè)是特征方程的一個(gè)

4、根，那么，齊次方程組的系數(shù)矩陣的行列式，因此，根據(jù)克拉默法則，齊次方程組一定有非零解x，即：成立.此時(shí)，特征方程的根就是n階方陣A的特征值（因此，特征值也叫特征根），非零列向量x就是n階方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.因此，n階方陣A的特征值和特征向量一定存在.矩陣的特征值和特征向量的求法1.求具體方陣的特征值的方法：用解方程的方法解之.先算出特征多項(xiàng)式，再令，求出其根，即得A的特征值.因?yàn)?關(guān)于的n次多項(xiàng)式，所以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，A有n個(gè)特征值，A的特征值中可能有復(fù)特征值. 若已知，則就是A的一個(gè)特征值.2.求抽象方陣的特征值的方法：求抽象方陣的特征值，常利用特征值的定義求之.求時(shí)為利用已知條件

5、，常在等式兩端左乘或右乘適當(dāng)?shù)木仃?，且多次用到定義，最終化為，由于，得到，求出特征值.3.求具體方陣的特征向量的方法：設(shè)是n階矩陣，則求A的特征值和特征向量可按下述步驟進(jìn)行：（1）計(jì)算A的特征多項(xiàng)式（或)；（2）求出特征方程的全部根，這些就是A的全部特征值；（3）對(duì)每個(gè)求出的特征值，求出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則是A的對(duì)應(yīng)于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量，且A的對(duì)應(yīng)于特征值的任一特征向量都是的非零線性組合。A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為.4.求抽象方陣的特征向量的方法：求抽象方陣的特征向量，常利用特征值和特征向量的定義求之.矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)1.一些特殊形式矩陣的特征值和特征向量：（

6、1）上三角形矩陣、下三角形矩陣和對(duì)角形矩陣的特征值都是主對(duì)角線上的全部元素.（2）n階數(shù)量矩陣的特征值全為，且任意非零n維列向量均為屬于特征值的特征向量.數(shù)量矩陣：任意一個(gè)均為的特征向量。2.設(shè)n階方陣A的特征值為，A的屬于特征值的特征向量為，則（1）對(duì)任意常數(shù)k，矩陣的特征值為.（2）對(duì)任意自然數(shù)k，的特征值為.（3）設(shè)多項(xiàng)式，則矩陣多項(xiàng)式為，是矩陣多項(xiàng)式的一個(gè)特征值.（4）當(dāng)A可逆時(shí)，則是的特征值.（5）若A可逆，則的特征值為.（6）的特征值為.（7）的特征值為.3.設(shè)是n階方陣A的n個(gè)特征值（有可能有相同的），則 （1）（2）（特征值都不為零）（3）矩陣A的對(duì)應(yīng)于不同的特征值的特征向量是

7、線性無(wú)關(guān)的，特別地，當(dāng)矩陣A有n個(gè)不同的特征值時(shí)（沒(méi)有重根時(shí)），A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.4.設(shè)n階方陣A的特征值為，A的屬于特征值的特征向量為，則（1）對(duì)任意常數(shù)k，是矩陣kA的屬于特征值k的特征向量. （2）對(duì)任意自然數(shù)k，是矩陣的屬于特征值的特征向量.（3）設(shè)多項(xiàng)式，,是矩陣多項(xiàng)式的屬于特征值的特征向量.（4）是矩陣的屬于特征值的特征向量.（5）是矩陣的屬于特征值的特征向量.（6）是矩陣的屬于特征值的特征向量.5.設(shè)n階方陣A的特征值為，A的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為，則A的屬于特征值的全部特征向量為：，其中是不全為零的任意常數(shù).三、典型例題剖析矩陣的特征值和特征向量【例題1綜合

8、題】已知n階矩陣A的特征值，且A可逆。（1）證明：的特征值為?！敬鹨删幪?hào)911205101】（2）求的特征值。【答疑編號(hào)911205102】解：（1）0令，則的特征值是（2），A可逆的特征值是又的特征值是， 的特征值就是A*的特征值+2。【例題2計(jì)算題】設(shè)矩陣可逆，向量是矩陣的一個(gè)特征向量，是對(duì)應(yīng)的特征值，其中是矩陣A的伴隨矩陣。試求和的值。【答疑編號(hào)911205103】解：可逆，即令，則即，即；或【例題3計(jì)算題】設(shè)矩陣，求的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣?！敬鹨删幪?hào)911205104】分析：先求解： 令的特征值是，,（不全為0）是屬于特征值9的的所有的特征向量。令，得

9、基礎(chǔ)解系是屬于的特征向量?！纠}4選擇題】設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，p是n階可逆矩陣。已知n維向量是A的屬于特征值的特征向量，則矩陣屬于特征值的特征向量是（）（A）（B）（C）（D）【答疑編號(hào)911205105】分析：，存在相似矩陣【考點(diǎn)一】1.相似矩陣定義：設(shè)A和B為n階方陣，若存在可逆矩陣p，使，則稱A與B相似。2.相似矩陣性質(zhì)：若n階方陣A與B相似，則有：；秩A=秩B；與相似；A與B有相同的特征值；與相似?！纠}5計(jì)算題】已知，且A與B相似，求的值?！敬鹨删幪?hào)911205201】解：A與B相似A與B有相同的特征值A(chǔ)，B特征值是 1是A的特征值，又得【例題6填空題】若四階矩陣A與B相似，矩陣A

10、的特征值為，則行列式_?！敬鹨删幪?hào)911205202】A與B相似B的特征值為的特征值為特征值互不相同與對(duì)角矩陣相似存在可逆矩陣P，使將n階方陣A化為相似對(duì)角矩陣【考點(diǎn)二】1.n階方陣A與對(duì)角矩陣相似有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的每個(gè)特征值中線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重根數(shù)。對(duì)于特征方程的每個(gè)重根，秩。什么叫重根特征方程：若，則叫做特征方程的重根。2.若n階方陣A有n個(gè)不同的特征值，則A與對(duì)角矩陣相似。3.設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則有：（1）實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化。（2）A的特征值全是實(shí)數(shù)，特征向量都是實(shí)向量。（3）屬于不同特征值的特征向量必正交（也線性無(wú)關(guān)）。（4）k重特征值必有k個(gè)線

11、性無(wú)關(guān)的特征向量，即秩。（5）存在正交矩陣p，使。【例題7選擇題】設(shè)A，B是n階矩陣，且A相似于B，則必有（）（A）（B）A和B有相同的特征值和特征向量。（C）A與B都相似于一個(gè)對(duì)角陣。（D）對(duì)任意常數(shù)k，均相似于?！敬鹨删幪?hào)911205203】分析：A與B相似存在可逆矩陣P，使,得，而兩個(gè)矩陣相似無(wú)法得到兩個(gè)矩陣相等，因此選項(xiàng)（A）錯(cuò)誤。選項(xiàng)（B）錯(cuò)誤。A與A相似，但A不一定與對(duì)角矩陣相似，所以（C）錯(cuò)誤。選項(xiàng)（D）正確：存在可逆矩陣P，使與相似【例題8計(jì)算題】設(shè)有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，求x和y應(yīng)滿足的條件?！敬鹨删幪?hào)911205204】解：3階方陣A有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量A與對(duì)角矩陣相似是A的二重特征值是A的一重特征值秩矩陣任意兩行對(duì)應(yīng)的元素成比例秩【例題9計(jì)算題】已知是矩陣的一個(gè)特征向量（1）試確定參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值。【答疑編號(hào)9112052