第11章兩因素及多因素方差分析

1、第11章 兩因素方差分析two-factor analysis of variance 本章主要內(nèi)容第一節(jié)兩因素交叉分組試驗(yàn)資料的方差分析一兩因素有重復(fù)觀察值試驗(yàn)的方差分析二兩因素單獨(dú)觀察值試驗(yàn)的方差分析三舉例第二節(jié)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換設(shè)試驗(yàn)考察a、b兩個(gè)因素，a因素分a個(gè)水平，b因素分b個(gè)水平，所謂交叉分組是指a因素每個(gè)水平與b因素的每個(gè)水平都要碰到，兩者交叉搭配形成ab個(gè)水平組合即處理。 特點(diǎn)特點(diǎn)：試驗(yàn)因素a、b在試驗(yàn)中處于平等地位平等地位，試驗(yàn)單位分成ab個(gè)組，每組隨機(jī)接受一種處理，因而試驗(yàn)數(shù)據(jù)也按兩因素兩方向分組。一、兩因素有重復(fù)觀察值試驗(yàn)的方差分析一、兩因素有重復(fù)觀察值試驗(yàn)的方差分析1. 1.

2、主效應(yīng)與交互作用主效應(yīng)與交互作用 簡單效應(yīng) 在某因素同一水平上， 另一因素不同水平對試驗(yàn)指標(biāo)的影響稱為簡單效應(yīng)。簡單效應(yīng)實(shí)際上是特簡單效應(yīng)實(shí)際上是特殊水平組合間的差數(shù)。殊水平組合間的差數(shù)。表表11-111-1日糧中加與不加賴、蛋氨酸雛雞增重日糧中加與不加賴、蛋氨酸雛雞增重(g)(g)b1b2b2-b1平均平均a147048010475a247251240492a2-a123217平均平均47149625主效應(yīng)主效應(yīng) 由于因素水平的改變而引起的平均數(shù)的改變量稱為主效應(yīng)。主效應(yīng)。 如表，當(dāng)a因素由a1水平變到a2水平時(shí)，a因素的主效應(yīng)主效應(yīng)為a2水平的平均數(shù)減去a1水平的平均數(shù)。即 a因素的主效應(yīng)

3、=492-475=17同理 b因素的主效應(yīng)=496-471=25主效應(yīng)也就是簡單效應(yīng)的平均主效應(yīng)也就是簡單效應(yīng)的平均，如(32+2)2=17 , (40+10)2=25b1b2b2-b1平均平均a147048010475a247251240492a2-a123217平均平均47149625交互作用交互作用( (互作，互作，interaction) ) 在多因素試驗(yàn)中， 一個(gè)因素的作用要受到另一個(gè)因素的影響，表現(xiàn)為某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，或者說，某一因素的簡單效應(yīng)隨著另一因素水平的變化而變化時(shí)，則稱該兩因素存在交互作用。顯而易見，a的效應(yīng)隨著b因素水平的不同而不同，反之亦

4、然。我們說a、b兩因素間存在交互作用，記為ab。b1b2b2-b1平均平均a147048010475a247251240492a2-a123217平均平均47149625互作效應(yīng)可由 (a1b1+a2b2-a1b2-a2b1)/2來估計(jì)。 表111 中的互作效應(yīng)為： (470+512-480-472)/2=15我們把具有正效應(yīng)的互作稱為正交互作用（協(xié)同作用）正交互作用（協(xié)同作用）；把具有負(fù)效應(yīng)的互作稱為負(fù)交互作用（拮抗作用）負(fù)交互作用（拮抗作用）；互作效應(yīng)為零則稱無交互作用無交互作用。沒有交互作用的因素是相互獨(dú)立的因素，此時(shí)，不論在某一因素哪個(gè)水平上，另一因素的簡單效應(yīng)是相等的。2. 2. 兩

5、因素資料方差分析的數(shù)據(jù)模式兩因素資料方差分析的數(shù)據(jù)模式 p137 表表9-1 bjjaiiaibjnkijkaibjnkijkjainkijkjainkijkjibjnkijkibjnkijkinkijkijnkijkijabnxabnxabnxxxxanxanxxxxbnxbnxxxxnxxxx111111111111111111/ ././.,./ ./.,././.,./.,.表中 按因素的類型兩因素或多因素方差分析可分為固定模型、隨機(jī)模型和混合模型三類，這三類的數(shù)學(xué)模型、統(tǒng)計(jì)假設(shè)、統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算、結(jié)果的解釋等方面有很大差異，我們分別加以介紹3. 3. 固定效應(yīng)模型固定效應(yīng)模型 統(tǒng)計(jì)模型統(tǒng)

6、計(jì)模型其中，為總平均數(shù); i為ai的效應(yīng)； j為bj的效應(yīng); ( )ij為ai與bj的互作效應(yīng)； ijl為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，服從n(0,2)。且有： nkbjaixijkijjiijk,.,2, 1,.,2, 1;,.,2, 1)(1111110,0()()()0;abababijijijijijijij和統(tǒng)計(jì)假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)備擇假設(shè)為上述各參數(shù)至少有一類不為零總平方和與總自由度的分解總平方和與總自由度的分解sst=ssa+ssb+ssab+sse dft=dfa+dfb+dfab+dfe 其中ssab ,dfab為a因素與b因素交互作用平方和與自由度。010203:0(1,2, ):0(1,2

7、, ):0(1,2, ,1,2, )iiihiahjbhia jb零假設(shè)為211122221111111()()()()()abnijkijkabababnijijijijkijijijijktababeabtabexxbnxxanxxnxxxxxxssssssssssssssssssss 各項(xiàng)平方和、自由度及均方的計(jì)算公式如下： 均方為 msa=ssa/dfa msb=ssb/dfb msab =ssab / dfab mse=sse/dfe 矯正數(shù)總a因素b因素交互作用誤差平方和c=x2/abnsst=x2ijk -cssa=1/(bn) x2i . .-cssb=1/(an) x2 .j

8、 .-cssab=sst-ssa-ssb -ssesse= x2ijk - 1/n x2ij . 自由度dft=abn-1df a=a-1 df a=b-1dfab=(a-1)(b-1)dfe=ab(n-1)期望均方期望均方21122122122) 1()()() 1)(1() 1)(1()(1)1()(1)1()(nabssemsebanbassemsebanbssemseabnassemseeeaibjiababbjibbaiiaaabeeabeeaeeabababdfdffmsdfdfssssms、msmsff由度也相應(yīng)變?yōu)樾枰⒁獾氖遣楸頃r(shí)自為分母計(jì)算統(tǒng)計(jì)量然后利用即度的估計(jì)量，以提高

9、精確合并起來作為在，此時(shí)可將時(shí)，說明交互作用不存或2,11統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量feababebbeaamsmsfmsmsfmsmsf;變異來源a因素b因素交互作用誤 差總變異平方和ssassbssabssesst自由度dfadfbdfabdfedft均 方msamsbmsabmsef 值fa=msa/msefb=msb/msefab=msab/mse4. 4. 隨機(jī)效應(yīng)模型隨機(jī)效應(yīng)模型 統(tǒng)計(jì)模型統(tǒng)計(jì)模型其中要求： i 服從n(0,) ； j 服從n(0,); ( )ij 服從n(0, ); ij 為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，服從n(0,2)。nkbjaixijkijjiijk,.,2, 1,.,2, 1;,

10、.,2, 1)(222統(tǒng)計(jì)假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)備擇假設(shè)為上述各參數(shù)至少有一類不為零總平方和與總自由度的分解總平方和與總自由度的分解（同固定效應(yīng)模型）（同固定效應(yīng)模型）期望均方期望均方統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量f222010203:0;:0;:0hhh零假設(shè)為222222222)()()()(eabbamsenmseannmsebnnmseeabababbbabaamsmsfmsmsfmsmsf;變異來源a因素b因素交互作用誤 差總變異平方和ssassbssabssesst自由度dfadfbdfabdfedft均 方msamsbmsabmsef 值fa=msa/msabfb=msb/msabfab=msab/mse5

11、. 5. 混合效應(yīng)模型混合效應(yīng)模型（設(shè)（設(shè)a a為固定因素，為固定因素，b b為隨機(jī)因素）為隨機(jī)因素） 統(tǒng)計(jì)模型統(tǒng)計(jì)模型其中要求： j服從n(0,); ( )ij服從n(0,); ij為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，服從n(0,2)。nkbjaixijkijjiijk,.,2, 1,.,2, 1;,.,2, 1)(22 統(tǒng)計(jì)假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè) 備擇假設(shè)為上述各參數(shù)至少有一類不為零 總平方和與總自由度的分解總平方和與總自由度的分解 （同固定效應(yīng)模型）（同固定效應(yīng)模型）22010203:0;:0;:0ihhh零假設(shè)為期望均方期望均方統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量f222221222)()()(1)(eabbaiiamsenmsea

12、nmseabnnmseeababebbabaamsmsfmsmsfmsmsf;變異來源a因素b因素交互作用誤 差總變異平方和ssassbssabssesst自由度dfadfbdfabdfedft均 方msamsbmsabmsef 值fa=msa/msabfb=msb/msefab=msab/mse二兩因素單獨(dú)觀察值試驗(yàn)的方差分析二兩因素單獨(dú)觀察值試驗(yàn)的方差分析a、b兩個(gè)試驗(yàn)因素的全部ab個(gè)水平組合中，每個(gè)水平組合只有一個(gè)觀察值，全部試驗(yàn)共有ab 個(gè)觀察值。其數(shù)據(jù)模式如表112所示。a因素因素b 因因 素素合計(jì)合計(jì)xi.平均平均b1b2bjbba1x11x12x1jx1bx1 .a2x21x22

13、x2jx2bx2 .aixi1xi2xijxibxi .aaxa1xa2xajxabx a .合計(jì)合計(jì)x .jx.1x.2x.jx.bx.交叉分組兩因素單獨(dú)觀察值試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式.ix.1x.2x.ix.axjx.1. x2. xjx.bx. aibjijaiijjaiijjbjijibjijixxxaxxxxbxxx111111;1,;1,其中1、兩因素單獨(dú)觀察值試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型兩因素單獨(dú)觀察值試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型 其中，為總平均數(shù)； i、 j 分別為ai、bj 的效應(yīng);且 i=0， j=0；ij為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從n(0,2)。 bjaixijiiij, 2 , 1, 2 , 12、平方和與自

14、由度的分解、平方和與自由度的分解兩因素單獨(dú)觀察值的試驗(yàn),全部ab個(gè)觀察值的總變異可以分解為a因素水平間變異、b因素水平間變異及試驗(yàn)誤差三部分；自由度也相應(yīng)剖分。平方和與自由度的分解式如下： sst=ssa+ssb+sse dft=dfa+dfb+dfe 各項(xiàng)平方和與自由度的計(jì)算公式為：矯正數(shù)矯正數(shù) c=x2./ab總總平方和a因素因素平方和cxbxxbsscxxxssaiiaiiaaibjijaibjijt 1212112112.1.).(.)(b因素因素平方和誤差誤差平方和 sse=sst ssa - ssb總總自由度 dft=ab-1a因素因素自由度 dfa=a-1b因素因素自由度 dfb

15、=b-1誤差誤差自由度 dfe=dft - dfa-dfb=(a-1)(b-1) 相應(yīng)均方均方為 msa=ssa/dfa, msb=ssb/dfb, mse=sse/dfecxaxxassbjjbjjb121.1.).(【例【例11.111.1】為了考察蒸餾水的ph 值和硫酸銅溶液濃度對化驗(yàn)血清中白蛋白與球蛋白的影響，將蒸餾水ph值(a因素)分成：a1=5.40,a2 =5.60, a3=5.70,a4=5.80四個(gè)水平；將硫酸銅濃度(b因素)分成b1=0.04,b2=0.08,b3 =0.10三個(gè)水平,進(jìn)行交叉分組試驗(yàn)。即用同一血清在不同ph值和不同硫酸銅濃度配比下各測定一次，測定結(jié)果(白蛋

16、白與球蛋白之比)如表11 3所示，試作方差分析。三兩因素交叉資料的方差分析舉例三兩因素交叉資料的方差分析舉例蒸餾水蒸餾水ph (a)a1a2a3a4合計(jì)合計(jì)x .j平均平均硫酸銅濃度(b）b13.52.62.01.49.52.4b22.32.01.50.86.61.7b32.01.91.20.35.41.4合計(jì)合計(jì)xi.7.86.54.72.521.5平均平均2.62.21.60.8.ixjx.這是個(gè)兩因素單獨(dú)觀察值試驗(yàn)結(jié)果。a因素有四個(gè)水平，即a=4；b因素有三個(gè)水平， 即b=3；共有ab=43=12個(gè)觀察值。1.計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度62311213131411113

17、4126. 022. 229. 577. 722. 252.38)4 . 56 . 65 . 9(41.129. 552.38)5 . 27 . 45 . 68 . 7(31.177. 752.38)3 . 0.3 . 25 . 3(52.38)34/(5 .21/.222222221222211222eatebatbatejbaiiaaibjijtdfdfdfdfbdfadfabdfsssssssscxasscxbsscxssabxc表表114 血清白、球蛋白測定結(jié)果方差分析表血清白、球蛋白測定結(jié)果方差分析表 根據(jù)df1=dfa=3, df2=dfe=6 查臨界f f值，f0.01(3,6)

18、=9.78；根據(jù)df1=dfb=2, df2=dfe=6 查臨界f值,f0.01(2,6)=10.92。 因?yàn)閍因素(蒸餾水ph)的f f值40.93f0.0 1(3,6) ，故p0.01，差異極顯著；b因素(硫酸銅濃度)的f值25.81f0.0 1(2,6) ，p0.01，差異極顯著。2.列出方差分析表，進(jìn)行列出方差分析表，進(jìn)行f 檢驗(yàn)檢驗(yàn)變異來源a因素b因素誤 差總變異平方和5.292.220.267.77自由度32611均 方1.761.110.043f 值40.93*25.81 *(1)不同ph值下平均數(shù)間比較 在兩因素單獨(dú)觀察值試驗(yàn)情況下，因?yàn)閍因素(ph值)每一水平的重復(fù)數(shù)恰為b因

19、素的水平數(shù)。故a因素的標(biāo)準(zhǔn)誤 (2) 不同硫酸銅濃度下平均數(shù)間的比較 在兩因素單獨(dú)觀察值試驗(yàn)情況下，b因素(硫酸銅濃度)每一水平的重復(fù)數(shù)恰為a因素的水平數(shù)，故b因素的標(biāo)準(zhǔn)誤3.多重比較多重比較 (duncan法法)12.03043.0.bmssexi10.04043.0.amssexi 若兩因素間有交互作用，則每個(gè)水平組合中只設(shè)一個(gè)試驗(yàn)單位(觀察單位)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)是不正確的或不完善的。因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?在這種情況下，sse、dfe 實(shí)際上是a、b兩因素交互作用平方和與自由度，所算得的mse 是交互作用均方，主要反映由是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的變異。交互作用引起的變異。 若仍按【例11.

20、1】所采用的方法進(jìn)行方差分析，由于誤差均方值大( 包含交互作用在內(nèi))，有可能掩蓋試驗(yàn)因素的顯著性，從而增大犯增大犯型錯(cuò)誤的概率。型錯(cuò)誤的概率。 因?yàn)槊總€(gè)水平組合只有一個(gè)觀察值，所以無法估計(jì)真正的無法估計(jì)真正的試驗(yàn)誤差，試驗(yàn)誤差， 因而不可能對因素的交互作用進(jìn)行研究。 因此，進(jìn)行兩因素或多因素試驗(yàn)時(shí)，一般應(yīng)設(shè)置重復(fù)，以便正確估計(jì)試驗(yàn)誤差，深入研究因素間的交互作用交互作用?！纠纠?1.211.2】 為了研究飼料中鈣磷含量對幼豬生長發(fā)育的影響，將鈣(a)、磷(b) 在飼料中的含量各分四個(gè)水平進(jìn)行交叉分組試驗(yàn)。選用品種、性別、日齡相同，初始體重基本一致的幼豬48頭，隨機(jī)分成16組，每組3頭，用能量、

21、 蛋白質(zhì)含量相同的飼料在不同鈣磷用量搭配下各喂一組豬，經(jīng)兩月試驗(yàn)，幼豬增重結(jié)果(kg)列于表11-5。試分析鈣磷對幼豬生長發(fā)育的影響。表115 不同鈣磷用量的試驗(yàn)豬增重結(jié)果(kg)本例a因素鈣的含量分4個(gè)水平，即a=4;b因素磷的含量分4個(gè)水平，即b=4；共有ab=44=16個(gè)水平組合；每個(gè)組合重復(fù)數(shù)n=3；共有163=48個(gè)觀察值。 現(xiàn)對本例資料進(jìn)行方差分析如下：1.計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度51.44)5 .3194 .3321 .3509 .324(341.191.834)5 .57.5 .839 .72(31.132.98249.36680)0 .19.5 .260

22、.22(49.36680) 334/(9 .1326/.222222222222222ccxbnssccxnsscxssabnxciaijabijltdft=abn-1=4 43-1=47 dfa=a-1=4-1=3 dfb=b-1=4-1=3dfab=(a-1)(b-1)=(4-1)(4-1)=9dfe=ab(n-1)=4 4 (3-1)=32表表116 不同鈣磷用量方差分析表不同鈣磷用量方差分析表 查臨界f值：f0.05(3,32)=2.90, f0.01(3,32)=4.46, f0.01(9,32)=3.02。因?yàn)閒af0.05(3,32)，fbf0.01(3,32) ；fabf0.0

23、1(9,32)，表明鈣、磷及其互作對幼豬的生長發(fā)育均有顯著或極顯著影響。 進(jìn)一步進(jìn)行鈣各水平平均數(shù)間、磷各水平平均數(shù)間、鈣與磷水平組合間的多重比較和進(jìn)行簡單效應(yīng)的檢驗(yàn)。多重比較和進(jìn)行簡單效應(yīng)的檢驗(yàn)。變異來源變異來源a因素因素b因素因素互作（互作（ab）誤誤 差差總變異總變異平方和平方和44.51383.74406.66147.41982.32自由度自由度3393247均均 方方14.84127.9145.184.61f 值值3.22 *27.75 *9.80 *2.列出方差分析表，進(jìn)行列出方差分析表，進(jìn)行f 檢驗(yàn)檢驗(yàn)(1)鈣含量(a)各水平平均數(shù)間的比較。不同鈣含量平均數(shù)多重比較表見表11-7

24、。 因?yàn)閍因素各水平的重復(fù)數(shù)為bn，故a因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤(記為 )的計(jì)算公式為： 由dfe=32，秩次距k=2,3,4查附表9，得臨界r0.05和r0.01值，并與 相乘求得r值。列于下表。3.多重比較多重比較 (duncan法法) ixs620.0)34(61.4.iixexsbnmss此例 ixs表表11117 7 r值與值與r值表值表表表11-8 11-8 不同鈣含量平均數(shù)比較表不同鈣含量平均數(shù)比較表dfe秩次距kq0.05q0.01lsr0.05lsr0.013222.883.881.792.4133.474.432.152.7543.834.782.372.96鈣含量鈣含量平均數(shù)

25、-26.6 -27.1 -27.7a2（0.8）29.22.6*2.11.5a3（0.6）27.71.10.6a1（1.0）27.10.5.ix.ix.ix(2)磷含量(b)各水平平均數(shù)間的比較同理求得b因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤：表表11-9 11-9 不同鈣含量平均數(shù)比較表不同鈣含量平均數(shù)比較表620.0)34(61.4.ixs磷含量（磷含量（%） 平均數(shù) -23.2 -27.3 -29.8b2（0.6）30.37.1 *3.0 *0.5b3（0.4）29.86.6 *2.5 *b1（0.8）27.34.1 *b4（0.2）23.2. .jx. .jx. .jx. .jx以上所進(jìn)行的兩項(xiàng)多重比較，

26、實(shí)際上是a、b兩兩因素主效應(yīng)的檢驗(yàn)因素主效應(yīng)的檢驗(yàn)。結(jié)果表明，鈣的含量以占飼料量的0.8(a2)增重效果最好；磷的含量以占飼料量的0.6(b2)增重效果最好。若若a、b因素交互作用不因素交互作用不顯著顯著，則可從主效應(yīng)檢驗(yàn)中分別選出a、b因素的最優(yōu)水平相組合，得到最優(yōu)水平組合； 若若a、b兩因素交互作用顯著兩因素交互作用顯著，則應(yīng)進(jìn)行水平組合間的多重比較，以選出最優(yōu)水平組合。( (一一) )平方根轉(zhuǎn)換平方根轉(zhuǎn)換 square root transformation 此法適用于適用于各組方差與其平均數(shù)之間有某種比例關(guān)系的資料，尤其適用于總體呈普阿松分布的資料。 轉(zhuǎn)換的方法轉(zhuǎn)換的方法是求出原數(shù)據(jù)的平方根 。若原觀察值中有為0的數(shù)或多數(shù)觀察值小于10，則把