2021高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點(diǎn)突破專題五解析幾何第1講直線與圓含解析

1、第第 1 1 講講 直線與圓直線與圓 高考定位 考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問(wèn)題、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長(zhǎng)問(wèn)題)，此類問(wèn)題難度屬于中低檔，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). 真 題 感 悟 1.(2020 全國(guó)卷)在平面內(nèi)， a， b 是兩個(gè)定點(diǎn)， c 是動(dòng)點(diǎn).若ac bc1， 則點(diǎn) c 的軌跡為( ) a.圓 b.橢圓 c.拋物線 d.直線 解析 以 ab 所在直線為 x 軸，線段 ab 的垂直平分線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn) a，b分別為(a，0)，(a，0)(a0)，點(diǎn) c 為(x，y)，則ac(xa，y)，bc(xa，y)，所以ac bc(xa)(xa)

2、y yx2y2a21，整理得 x2y2a21.因此點(diǎn) c 的軌跡為圓.故選 a. 答案 a 2.(2020 全國(guó)卷)若過(guò)點(diǎn)(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線 2xy30 的距離為( ) a.55 b.2 55 c.3 55 d.4 55 解析 因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸都相切， 且點(diǎn)(2， 1)在圓上.所以可設(shè)圓的方程為(xa)2(ya)2a2(a0).則(2a)2(1a)2a2，解之得 a1 或 a5.所以圓心的坐標(biāo)為(1，1)或(5，5)，所以圓心到直線 2xy30 的距離 d|2113|22（1）22 55或 d|2553|52 55. 答案 b 3.(2020 全國(guó)卷)已知m：x2y2

3、2x2y20，直線 l：2xy20，點(diǎn) p 為 l 上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn) p 作m 的切線 pa，pb，切點(diǎn)為 a，b，當(dāng)|pm| |ab|最小時(shí)，直線 ab 的方程為( ) a.2xy10 b.2xy10 c.2xy10 d.2xy10 解析 由m：x2y22x2y20， 得m：(x1)2(y1)24，所以圓心 m(1，1). 如圖，連接 am，bm，易知四邊形 pamb 的面積為12|pm| |ab|，欲使|pm| |ab|最小，只需四邊形 pamb 的面積最小，即只需pam 的面積最小. 因?yàn)閨am|2，所以只需|pa|最小. 又|pa|pm|2|am|2|pm|24， 所以只需直線 2xy2

4、0 上的動(dòng)點(diǎn) p 到 m 的距離最小，其最小值為|212|5 5，此時(shí)pml，易求出直線 pm 的方程為 x2y10. 由2xy20，x2y10，得x1，y0，所以 p(1，0). 易知 p、a、m、b 四點(diǎn)共圓，所以以 pm 為直徑的圓的方程為 x2y122522，即 x2y2y10， 由得，直線 ab 的方程為 2xy10，故選 d. 答案 d 4.(2019 全國(guó)卷)已知點(diǎn) a，b 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) o 對(duì)稱，|ab|4，m 過(guò)點(diǎn) a，b 且與直線 x20 相切. (1)若 a 在直線 xy0 上，求m 的半徑； (2)是否存在定點(diǎn) p，使得當(dāng) a 運(yùn)動(dòng)時(shí)，|ma|mp|為定值？并說(shuō)明理由.

5、 解 (1)因?yàn)閙 過(guò)點(diǎn) a，b，所以圓心 m 在 ab 的垂直平分線上.由已知 a 在直線 xy0 上，且 a，b 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) o 對(duì)稱，所以 m 在直線 yx 上，故可設(shè) m(a，a). 因?yàn)閙 與直線 x20 相切，所以m 的半徑為 r|a2|.連接 ma，由已知得|ao|2. 又 moao，故可得 2a24(a2)2，解得 a0 或 a4. 故m 的半徑 r2 或 r6. (2)存在定點(diǎn) p(1，0)，使得|ma|mp|為定值. 理由如下： 設(shè) m(x，y)，由已知得m 的半徑為 r|x2|，|ao|2. 由于 moao，故可得 x2y24(x2)2, 化簡(jiǎn)得 m 的軌跡方程為 y2

6、4x. 因?yàn)榍€ c：y24x 是以點(diǎn) p(1，0)為焦點(diǎn)，以直線 x1 為準(zhǔn)線的拋物線，所以|mp|x1. 因?yàn)閨ma|mp|r|mp|x2(x1)1， 所以存在滿足條件的定點(diǎn) p. 考 點(diǎn) 整 合 1.兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線 l1，l2的斜率 k1，k2存在，則 l1l2k1k2，l1l2k1k2 1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在. 2.兩個(gè)距離公式 (1)兩平行直線 l1：axbyc10 與 l2：axbyc20 間的距離 d|c1c2|a2b2. (2)點(diǎn)(x0，y0)到直線 l：axbyc0 的距離 d|ax0by0c|a2b2. 3.圓

7、的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為 r. (2)圓的一般方程：x2y2dxeyf0(d2e24f0)，圓心為d2，e2，半徑為 rd2e24f2. 4.直線與圓的位置關(guān)系的判定 (1)幾何法：把圓心到直線的距離 d 和半徑 r 的大小加以比較：dr相離. (2)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來(lái)組成方程組，利用判別式 來(lái)討論位置關(guān)系：0相交；0相切；0)，則 y|xx012x012k ， x0kx0b ，由可得 b12x0，將 b12x0，k12x012代入得 x01 或 x015(舍去)，所以 kb12，故直線 l 的方程 y12x12

8、. (2)由 x2y24x0，得(x2)2y24，則圓心為 c(2，0)，半徑 r2，過(guò)點(diǎn) p 所作的圓的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切點(diǎn)分別為 a，b，連接 ac，bc，所以四邊形 pacb 為正方形，即 pc 2r2 2，圓心到直線的距離 d|2k0k|1k22 2，即2 2k2 2，所以實(shí)數(shù) k 的取值可以是 1，2.故選 ab. 答案 (1)d (2)ab 探究提高 1.直線與圓相切時(shí)利用“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直， 圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式. 2.過(guò)圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)的問(wèn)題，可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算. 【

9、訓(xùn)練 3】 (1)(2020 浙江卷)已知直線 ykxb(k0)與圓 x2y21 和圓(x4)2y21 均相切，則 k_，b_. (2)已知o：x2y21，點(diǎn) a(0，2)，b(a，2)，從點(diǎn) a 觀察點(diǎn) b，要使視線不被o 擋住，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( ) a.(，2)(2，) b.，4 334 33， c.，2 332 33， d.4 33，4 33 解析 (1)直線 kxyb0(k0)分別與圓心坐標(biāo)為(0，0)，半徑為 1，及圓心坐標(biāo)為(4，0)，半徑為 1 的兩圓相切， 可得|b|k211，|4kb|k211， 由，解得k33，b2 33. (2)易知點(diǎn) b 在直線 y2 上，過(guò)點(diǎn)

10、 a(0，2)作圓的切線. 設(shè)切線的斜率為 k，則切線方程為 ykx2， 即 kxy20. 由 d|002|1k21，得 k 3. 切線方程為 y 3x2，和直線 y2 的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為4 33，2 ，4 33，2 . 故要使視線不被o 擋住，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是，4 334 33， . 答案 (1)33 2 33 (2)b 角度 2 圓的弦長(zhǎng)的相關(guān)計(jì)算 【例 4】 在直角坐標(biāo)系 xoy 中，曲線 yx2mx2 與 x 軸交于 a，b 兩點(diǎn)，點(diǎn) c 的坐標(biāo)為(0，1).當(dāng) m 變化時(shí)，解答下列問(wèn)題： (1)能否出現(xiàn) acbc 的情況？說(shuō)明理由； (2)證明過(guò) a，b，c 三點(diǎn)的圓在 y 軸

11、上截得的弦長(zhǎng)為定值. (1)解 不能出現(xiàn) acbc 的情況，理由如下： 設(shè) a(x1，0)，b(x2，0)，則 x1，x2滿足方程 x2mx20， 所以 x1x22.又 c 的坐標(biāo)為(0，1)， 故 ac 的斜率與 bc 的斜率之積為1x11x212， 所以不能出現(xiàn) acbc 的情況. (2)證明 bc 的中點(diǎn)坐標(biāo)為x22，12，可得 bc 的中垂線方程為 y12x2xx22. 由(1)可得 x1x2m， 所以 ab 的中垂線方程為 xm2. 聯(lián)立xm2， y12x2xx22， 又 x22mx220， 由解得 xm2，y12. 所以過(guò) a，b，c 三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為m2，12，半徑 rm29

12、2. 故圓在 y 軸上截得的弦長(zhǎng)為 2r2m223， 即過(guò) a，b，c 三點(diǎn)的圓在 y 軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 探究提高 1.研究直線與圓的位置關(guān)系最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，利用數(shù)形結(jié)合思想解題. 2.與圓的弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題常用幾何法，即利用圓的半徑 r，圓心到直線的距離 d，及半弦長(zhǎng)l2，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用勾股定理來(lái)處理. 【訓(xùn)練 4】 (1)(2020 天津卷)已知直線 x 3y80 和圓 x2y2r2(r0)相交于 a，b 兩點(diǎn).若|ab|6，則 r 的值為_(kāi). (2)(2020 菏澤聯(lián)考)已知圓 o： x2y24， 直線 l 與圓 o 交于 p， q 兩點(diǎn)， a

13、(2， 2)， 若|ap|2|aq|240，則弦 pq 的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi). 解析 (1)依題意得，圓心(0，0)到直線 x 3y80 的距離 d|8|12（ 3）24，因此r2d2|ab|2225，又 r0，所以 r5. (2)設(shè)點(diǎn) m 為 pq 的中點(diǎn)，則|pm|mq|， 在apq 中，由余弦定理易得 |ap|2|aq|2|am|2|pm|2|mq|2|am|22(|am|2|mq|2) 又|mq|2|oq|2|om|24|om|2，|ap|2|aq|240. 402|am|282|om|2，則|am|2|om|216， 設(shè) m(x，y)，則(x2)2(y2)2(x2y2)16. 化簡(jiǎn)得

14、xy20. 當(dāng) oml 時(shí)，om 取到最小值，即|om|min22 2. 此時(shí)，|pq|2|oq|2|om|22 2. 故弦 pq 的長(zhǎng)度的最大值為 2 2. 答案 (1)5 (2)2 2 a 級(jí) 鞏固提升 一、選擇題 1.(2020 長(zhǎng)沙模擬)命題 p：m2，命題 q：直線(m1)xym120 與直線 mx2y3m0垂直，則 p 是 q 成立的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 解析 若兩直線垂直， 則(m1)m(1)20， 解之得 m2 或 m1.p 是 q 成立的充分不必要條件. 答案 a 2.過(guò)點(diǎn) a(1，2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距

15、之和為零，則該直線方程為( ) a.yx1 b.yx3 c.2xy0 或 xy3 d.2xy0 或 yx1 解析 當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得斜率為20102， 故直線方程為 y2x， 當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為xaya1， 代入點(diǎn)(1，2)可得1a2a1，解得 a1， 方程為 xy10， 故所求直線方程為 2xy0 或 yx1. 答案 d 3.過(guò)點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為( ) a.2xy50 b.2xy70 c.x2y50 d.x2y70 解析 依題意知，點(diǎn)(3，1)在圓(x1)2y2r2上，且為切點(diǎn).圓心(1，0)與切點(diǎn)(3，1)連線的斜率為12，所以

16、切線的斜率 k2.故過(guò)點(diǎn)(3，1)的切線方程為 y12(x3)，即 2xy70. 答案 b 4.(2020 全國(guó)卷)點(diǎn)(0，1)到直線 yk(x1)距離的最大值為( ) a.1 b. 2 c. 3 d.2 解析 設(shè)點(diǎn) a(0，1)，直線 l：yk(x1)，由 l 恒過(guò)定點(diǎn) b(1，0)，當(dāng) abl 時(shí)，點(diǎn) a(0，1)到直線 yk(x1)的距離最大，最大值為 2.故選 b. 答案 b 5.(2020 合肥調(diào)研)已知點(diǎn) p 為圓 c：(x1)2(y2)24 上一點(diǎn)，a(0，6)，b(4，0)，則|papb|的最大值為( ) a. 262 b. 264 c.2 264 d.2 262 解析 取 a

17、b 中點(diǎn) d(2，3)， 則papb2pd，|papb|2pd|2|pd|， 又由題意知，圓 c 的圓心 c(1，2)，半徑為 2， |pd|的最大值為圓心 c(1，2)到 d(2，3)的距離 d 再加半徑 r， 又 d 125 26，dr 262， 2|pd|的最大值為 2 264， 即|papb|的最大值為 2 264. 答案 c 6.(多選題)集合 a(x，y)|x2y24，b(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中 r0，若 ab中有且僅有一個(gè)元素，則 r 的值是( ) a.3 b.5 c.7 d.9 解析 圓 x2y24 的圓心是 o(0，0)，半徑為 r2，圓(x3)2(y4)2

18、r2的圓心是 c(3，4)，半徑為 r，|oc|5，當(dāng) 2r5，r3 時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|r2|5，r7 時(shí)，兩圓內(nèi)切，它們都只有一個(gè)公共點(diǎn)，即集合 ab 只有一個(gè)元素.故選 ac. 答案 ac 7.(多選題)已知點(diǎn) a 是直線 l：xy 20 上一定點(diǎn)，點(diǎn) p，q 是圓 x2y21 上的動(dòng)點(diǎn)，若paq 的最大值為 90 ，則點(diǎn) a 的坐標(biāo)可以是( ) a.(0， 2) b.(1， 21) c.( 2，0) d.( 21，1) 解析 如圖所示，坐標(biāo)原點(diǎn) o 到直線 l：xy 20 的距離 d212121，則直線 l 與圓x2y21 相切，由圖可知，當(dāng) ap，aq 均為圓 x2y21 的切線時(shí)，p

19、aq 取得最大值，連接op，oq，由于paq 的最大值為 90 ，且apoaqo90 ，|op|oq|1，則四邊形apoq 為正方形，所以|oa|2|op|2.設(shè) a(t， 2t)，由兩點(diǎn)間的距離公式得|oa|t2（ 2t）2 2， 整理得 2t22 2t0， 解得 t0 或 t 2， 因此， 點(diǎn) a 的坐標(biāo)為(0， 2)或( 2，0).故選 ac. 答案 ac 8.(多選題)已知圓 c1：x2y2r2與圓 c2：(xa)2(yb)2r2(r0)交于不同的兩點(diǎn) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則下列結(jié)論正確的是( ) a.a(x1x2)b(y1y2)0 b.2ax12by1a2b2 c.x

20、1x2a d.y1y22b 解析 圓 c2的方程為 x2y22ax2bya2b2r20，兩圓的方程相減，可得直線 ab 的方程為 2ax2bya2b20，即得 2ax2bya2b2，分別把 a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入， 可得 2ax12by1a2b2， 2ax22by2a2b2， 兩式相減可得 2a(x1x2)2b(y1y2)0，即 a(x1x2)b(y1y2)0，所以選項(xiàng) a、b 均正確；由圓的性質(zhì)可得，線段 ab 與線段 c1c2互相平分，所以 x1x2a，y1y2b，所以選項(xiàng) c 正確，選項(xiàng) d 不正確. 答案 abc 二、填空題 9.(2019 北京卷)設(shè)拋物線

21、y24x 的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線為 l.則以 f 為圓心，且與 l 相切的圓的方程為_(kāi). 解析 拋物線 y24x 的焦點(diǎn) f 的坐標(biāo)為(1，0)，準(zhǔn)線 l 為直線 x1， 所求的圓以 f 為圓心，且與準(zhǔn)線 l 相切，故圓的半徑 r2. 所以圓的方程為(x1)2y24. 答案 (x1)2y24 10.已知圓 c 的圓心在 x 軸的正半軸上，點(diǎn) m(0， 5)在圓 c 上，且圓心到直線 2xy0 的距離為4 55，則圓 c 的方程為_(kāi). 解析 圓 c 的圓心在 x 軸的正半軸上，設(shè) c(a，0)，且 a0. 則圓心 c 到直線 2xy0 的距離 d|2a0|54 55，解得 a2.圓 c 的半徑 r|

22、cm|（20）2（0 5）23，因此圓 c 的方程為(x2)2y29. 答案 (x2)2y29 11.已知圓 c 的方程是 x2y28x2y80，直線 l：ya(x3)被圓 c 截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線 l 方程為_(kāi). 解析 圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2(y1)29， 圓 c 的圓心 c(4，1)，半徑 r3. 又直線 l：ya(x3)過(guò)定點(diǎn) p(3，0)， 則當(dāng)直線 l 與直線 cp 垂直時(shí)，被圓 c 截得的弦長(zhǎng)最短.因此 a kcpa10431，a1. 故所求直線 l 的方程為 y(x3)，即 xy30. 答案 xy30 12.(2020 衡水中學(xué)檢測(cè))已知直線 axbyc0(其中 a2b2c2，c0)與圓 x2y26 交于點(diǎn) m，n，o 是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|mn|_，om mn_. 解析 由于 a2b2c2，且 c0，圓心(0，0)到直線 axbyc0 的距離 d|c|a2b21.所以|mn|2|om|2d22612 5.設(shè)向量om，mn的夾角為 ，則 cos()12|mn|om|306，所以 cos 306，所以om mn|om|mn|cos 62 5306