n階行列式性質(zhì)與展開定理PPT課件

1、第一節(jié)第一節(jié)n 階行列式階行列式第1頁/共64頁2021-10-232 行列式行列式 （Determinant）是線性代數(shù)中的一個(gè)最是線性代數(shù)中的一個(gè)最基基本、最常用的本、最常用的工具工具，最早出現(xiàn)于求解線性方程組，最早出現(xiàn)于求解線性方程組. .它被它被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)以及工程技術(shù)等領(lǐng)域廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)以及工程技術(shù)等領(lǐng)域 . .了解：關(guān)于行列式了解：關(guān)于行列式第2頁/共64頁2021-10-233設(shè)設(shè) 二元線性方程組二元線性方程組用消元法知：用消元法知：當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，11 2212 210a aa a11 1122121 12222a xa xba xa xb（1）方程組

2、方程組(1)有解有解,12212211 2121121122122111221221baa ba bbaxxa aa aa aa a且且 把由四個(gè)數(shù)排成兩行兩列把由四個(gè)數(shù)排成兩行兩列, ,并定義為數(shù)并定義為數(shù) 的式子的式子 , , 叫做叫做二階行列式二階行列式 . .11 2212 21a aa a11122122aaDaa 數(shù)數(shù) 稱為行列式的元素，元素稱為行列式的元素，元素第一個(gè)下標(biāo)稱為行標(biāo)，表明該元素位于第第一個(gè)下標(biāo)稱為行標(biāo)，表明該元素位于第 i 行；行；第二個(gè)第二個(gè)下標(biāo)稱為列標(biāo)，表明該元素位于第下標(biāo)稱為列標(biāo)，表明該元素位于第 j j 列列 . .(1,2;1,2)ija ijija111

3、2112212212122aaDa aa aaa+- - 運(yùn)算符運(yùn)算符主對(duì)角線主對(duì)角線一、二階與三階行列式一、二階與三階行列式1、基本概念、基本概念行列式是一個(gè)行列式是一個(gè)數(shù)數(shù)第3頁/共64頁2021-10-23412212211 2121121122122111221221baa ba bbaxxa aa aa aa a由二階行列式的定義，得：由二階行列式的定義，得：1112112212212122aaDa aa aaa 稱為稱為方程組（方程組（1）的的系數(shù)行列式系數(shù)行列式122122baa b1121222baDba11111 21212212aba bbaDabExample 2 求解二

4、元線性方程組求解二元線性方程組1212322121xxxx由于由于323( 4)70,21D 1212( 2)141121D 23324212121D 121214212,377DDxxDD 因此，Solution:11 112 2121 122 22a xa xba xa xb（1）11211122221212121112111221222122baabbaabDDxxaaaaDDaaaa用行列式形式表示方程組的解用行列式形式表示方程組的解第4頁/共64頁2021-10-235類似地，定義三階行列式類似地，定義三階行列式111213212223313233aaaaaaaaa112233122

5、331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a+-計(jì)算（定義）規(guī)則稱為對(duì)角線規(guī)則（或沙流氏規(guī)則）計(jì)算（定義）規(guī)則稱為對(duì)角線規(guī)則（或沙流氏規(guī)則）. .Example 3 計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式141253111141253111= -5+12 -2 -5 +8 +3 =11Solution:1、基本概念、基本概念第5頁/共64頁2021-10-236二、二、 n 階行列式階行列式 用遞歸的方法來定義用遞歸的方法來定義 n 階行列式階行列式 . 由由 n2 個(gè)元素個(gè)元素 aij ( i , j = 1,2,n ) 排成排成

6、n 行行 n 列，列，111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaa（2）稱為稱為 n 階行列式階行列式 .數(shù)數(shù)111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a112233233212233121331321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa行數(shù)與列數(shù)相等行數(shù)與列數(shù)相等特點(diǎn)？特點(diǎn)？1、基本概念、基本概念在在 (2) 式中，式中

7、，a11,a22,ann 所在的對(duì)角線稱為行列式的主對(duì)角線所在的對(duì)角線稱為行列式的主對(duì)角線 .第6頁/共64頁2021-10-237222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111112121313a Ma Ma M111213212223313233aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa111112121313a Aa Aa AM11M12M13Definition 1 在在 n 階行列式階行列式 D 中，將中，將 aij 所在的所在的第第 i 行第行第 j 列劃去后，余下的元素按原相對(duì)位置構(gòu)成的一列劃去后，余

8、下的元素按原相對(duì)位置構(gòu)成的一個(gè)個(gè) n -1 階行列式，稱為階行列式，稱為 aij 的的余子式余子式，記作，記作 Mij .稱稱 Aij = (-1)i+jMij，稱為元素，稱為元素 aij 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 .二、二、 n 階行列式階行列式第7頁/共64頁2021-10-238Definition 2 當(dāng)當(dāng) n = 1 時(shí)，定義一階行列時(shí)，定義一階行列式式 , 若定義了若定義了 n-1 ( n 2) 階行列式，則定義階行列式，則定義 n 階行列式為階行列式為 1111aa111(3)nkkka A11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaa

9、aaaDn = a11A11 + a12A12 + +a1nA1n 也稱也稱 (3) 為為 n 階行列式關(guān)于第一行的展開式階行列式關(guān)于第一行的展開式 . 數(shù)數(shù) aij 稱為行列式稱為行列式 Dn 的第的第 i 行第行第 j 列元素列元素 .Note : 當(dāng)當(dāng) n 4 時(shí)時(shí)，對(duì)角線法則不再對(duì)角線法則不再適用適用 Dn 的計(jì)算的計(jì)算 .如如 4 階行列式：階行列式：按對(duì)角線法共有按對(duì)角線法共有 8 項(xiàng)代數(shù)和；項(xiàng)代數(shù)和；4! = 24 項(xiàng)項(xiàng) . 但但按定按定義，共有義，共有n 階行列式？階行列式？二、二、 n 階行列式階行列式第8頁/共64頁2021-10-239Example 4 證明證明 n 階

10、下三階下三角行列式角行列式 (當(dāng)當(dāng) i j 時(shí)，時(shí)，aij = 0）利用利用 Pro . 1 和和 Ex . 4 得得= a11a22 ann .Property 2 互換行列式的兩行互換行列式的兩行( (列列) )，行列式值變號(hào)，行列式值變號(hào).1412531111111125311141 三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第18頁/共64頁2021-10-2319Property 2 的證明的證明Proof : 對(duì)行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法. 階數(shù)為階數(shù)為 2，結(jié)結(jié)論顯然成立論顯然成立 .假設(shè)假設(shè) 階數(shù)為階數(shù)為 n 1 時(shí)，結(jié)論成立時(shí)，結(jié)論成立 .當(dāng)階數(shù)為當(dāng)階數(shù)為 n

11、時(shí)時(shí)，設(shè)11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaDaaaaaa1112112*1212niiinjjjnnnnnbbbbbbDbbbbbb交換第交換第 i 行與第行與第 j 行為行為其中其中 bi1 = aj1，bj1 = ai1，bk1 = ak1 (k = 1,2,n; k i，j)三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第19頁/共64頁2021-10-2320= (-1)i+1 (-1)(j-1)-i Mj1對(duì)對(duì) D* 按第一列展開，得：按第一列展開，得：*1111111111iijjnnDb Bb Bb Bb B11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaa

12、Daaaaaa1112112*1212niiinjjjnnnnnbbbbbbDbbbbbb其中其中 Bk1 為為 D* 的元素的元素 bk1 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 .對(duì)對(duì) k = 1,2,n; k i，j，由歸納假設(shè)，由歸納假設(shè)，Bk1 = - -Ak1 ;Bi1 = (-1)i+1M*i1由歸納假設(shè)由歸納假設(shè)= - - (-1)j+1Mj1 = - - Aj1同理可得：同理可得：Bj1 = - -Ai1D* = b11B11 + + bi1Bi1 + + bj1Bj1 + + bn1Bn1 = a11(-A11)+aj1(-Aj1)+ai1(-Ai1)+an1(-An1) = - - (

13、a11A11 + +ai1Ai1 + + aj1Aj1 + + an1An1) = - - D三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第20頁/共64頁2021-10-2321 Corollary 1 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此此行列式為零行列式為零 .只需把這相同的兩行（列）互換，得只需把這相同的兩行（列）互換，得DD 0D Corollary 2 11220kikikninDkia Aa Aa Aki11220kjkjnknjDkja Aa Aa Akj 行列式某行（列）的元素乘另一行（列）行列式某行（列）的元素乘另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于

14、零對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零 . 即即2324218635661111D 313233343566AAAA31323334?AAAA232421860111111110 k i0 k j三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第21頁/共64頁2021-10-2322行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即., 02211ikAaAaAainknikik 推論證明：證明：由前面的定理，行列式等于某一行的元素分別與它們由前面的定理，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。

15、代數(shù)余子式的乘積之和。在在nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211 中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等于行的元素等于另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素第22頁/共64頁2021-10-2323則，則， inknikikAaAaAa2211nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaa21212111211第第i行行右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，值為右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，值為 0 。證畢證畢行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即元素的代數(shù)余子

16、式乘積之和等于零，即推論., 02211ikAaAaAainknikik 第23頁/共64頁2021-10-2324綜上，得公式綜上，得公式 inknikikAaAaAa2211 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)ikikD0 , njnljljlAaAaAa2211 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)jljlD0 ,注：注： 直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算，直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算， 因?yàn)榘岩粋€(gè)因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成階行列式換成n個(gè)（個(gè)（n1 1）階行列）階行列 式的計(jì)算并不減少計(jì)算量；式的計(jì)算并不減少計(jì)算量； 只是在行列式中某一行或某一列含有較多的只是在行列式中某一行或某一列含有較多的

17、 零零時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。 但展開定理在理論上是重要的。但展開定理在理論上是重要的。第24頁/共64頁2021-10-2325Property 3 用數(shù)用數(shù) k 乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù)乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù) k 乘以乘以行行列式的某一行（列）的所有元素列式的某一行（列）的所有元素.111211212=niiinnnnnaaakakakaaaa即即111211212niiinnnnnaaak aaaaaa第第 i 行（列）乘以行（列）乘以 k ，記作，記作 ()iirkckCorollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公行列式中某一行（列）的所有元素的公

18、因子，可以提到行列式符號(hào)外面因子，可以提到行列式符號(hào)外面 . .三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第25頁/共64頁2021-10-2326Corollary 2 如果行列式中一行（列）為零，則該如果行列式中一行（列）為零，則該行行列式為零列式為零 .( ( 取取 k = 0 )Corollary 3 行列式中如果有兩行（列）元素成比例行列式中如果有兩行（列）元素成比例, ,則則 此行列式為零此行列式為零 .( 由由 Pro. 3 Co. 1 及及 Pro. 2 Co.1 )Property 411121111211112111221212121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaa

19、aaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa由由Th.1，按該行（列）展開可得，按該行（列）展開可得 .該行每個(gè)元素為該行每個(gè)元素為兩個(gè)元素之和兩個(gè)元素之和三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第26頁/共64頁2021-10-2327Theorem 1 行列式等于它的某一行（或列）的元素行列式等于它的某一行（或列）的元素與與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即11221.(4)nniiiiininikikkDa Aa Aa Aa A11221.(5)nnjjjjnjnjkjkjkDa Aa Aa Aa A或或行列式的性質(zhì)小結(jié)行列式的性質(zhì)小結(jié)第27頁/共64頁2

20、021-10-2328111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaaProperty 1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 由由 Pro.1 可知，在行列式中，行與列具有相等的可知，在行列式中，行與列具有相等的地位地位 . 因而，行列式對(duì)其行具有的性質(zhì)，對(duì)列也成立因而，行列式對(duì)其行具有的性質(zhì)，對(duì)列也成立 .行列式的性質(zhì)小結(jié)行列式的性質(zhì)小結(jié)第28頁/共64頁2021-10-2329 Corollary 1 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此此行列式為零行列式為零 . C

21、orollary 2 11220kikikninDkia Aa Aa Aki11220kjkjnknjDkja Aa Aa Akj 行列式某行（列）的元素乘另一行（列）行列式某行（列）的元素乘另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零 . 即即Property 2互換行列式的兩行互換行列式的兩行( (列列) )，行列式值變號(hào)，行列式值變號(hào).行列式的性質(zhì)小結(jié)行列式的性質(zhì)小結(jié)第29頁/共64頁2021-10-2330綜上，得公式綜上，得公式 inknikikAaAaAa2211 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)ikikD0 , njnljljlAaAaAa2211 ），（當(dāng)，

22、（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)jljlD0 ,注：直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算，注：直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算， 因?yàn)榘岩粋€(gè)因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成階行列式換成n個(gè)（個(gè)（n1 1）階行列）階行列 式的計(jì)算并不減少計(jì)算量；式的計(jì)算并不減少計(jì)算量； 只是在行列式中某一行或某一列含有較多的只是在行列式中某一行或某一列含有較多的 零零時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。 但展開定理在理論上是重要的。但展開定理在理論上是重要的。第30頁/共64頁2021-10-2331Property 3 用數(shù)用數(shù) k 乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù)乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù) k 乘以乘以行行列式的某一行（列

23、）的所有元素列式的某一行（列）的所有元素.111211212=niiinnnnnaaakakakaaaa即即111211212niiinnnnnaaak aaaaaa第第 i 行（列）乘以行（列）乘以 k ，記作，記作 ()iirkckCorollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公行列式中某一行（列）的所有元素的公因子，可以提到行列式符號(hào)外面因子，可以提到行列式符號(hào)外面 . .行列式的性質(zhì)小結(jié)行列式的性質(zhì)小結(jié)第31頁/共64頁2021-10-2332Corollary 2 如果行列式中一行（列）為零，則該如果行列式中一行（列）為零，則該行行列式為零列式為零 .( ( 取取 k =

24、0 )Corollary 3 行列式中如果有兩行（列）元素成比例行列式中如果有兩行（列）元素成比例, ,則則 此行列式為零此行列式為零 .( 由由 Pro. 3 Co. 1 及及 Pro. 2 Co.1 )Property 411121111211112111221212121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa由由Th.1，按該行（列）展開可得，按該行（列）展開可得 .行列式的性質(zhì)小結(jié)行列式的性質(zhì)小結(jié)第32頁/共64頁2021-10-2333Property 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以把行列式的某一行（列）的各元

25、素乘以數(shù)數(shù) k ，然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式，然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變不變 .即即111211112111221212121212nnijijinjniiinjjjnjjjnnnnnnnnnaaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaa以數(shù)以數(shù) k 乘第乘第 j 行加到第行加到第 i 行，記作行，記作 ijrkr（由（由 Pro .4、Pro .3 Co.3即得）即得）注意表示！注意表示！三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第33頁/共64頁2021-10-2334Example 8 計(jì)算計(jì)算25123714107274612DSolution:

26、化行列式為上化行列式為上（下）三角行列（下）三角行列式是一重要方法式是一重要方法13ccD1522173427107164221rr312rr41rr152202560363012033r 32rr15220121302560120322rr42rr15220121300140041434rr152201213001400015= - -45改為改為 6，如何？，如何？4階及以上行列式階及以上行列式不能用對(duì)角線法不能用對(duì)角線法 三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第34頁/共64頁2021-10-2335Example 8 計(jì)算計(jì)算25123714107274612DSolution:化行列式為上

27、化行列式為上（下）三角行列（下）三角行列式是一重要方法式是一重要方法13ccD1522173427107164221rr312rr41rr152202560363012033r 32rr15220121302560120322rr42rr15220121300140041434rr152201213001400015= - -45改為改為 6，如何？，如何？4階及以上行列式階及以上行列式不能用對(duì)角線法不能用對(duì)角線法 三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第35頁/共64頁2021-10-2336Example 9 計(jì)算計(jì)算4abbbbabbDbbabbbbaSolution:方法一方法一D41234

28、cccc3333abbbbababbabbababbba1(3 )cab11(3 )11bbbabbabbabbba21rr31rr41rr1000(3 )000000bbba baba ba b= (a+3b)(a-b)3方法二方法二D41irr2,3,4i 000000abbbb a a bb aa bb aa b412iicc3000000000abbbba ba ba b= (a+3b)(a-b)3方法一、方法二方法一、方法二對(duì)對(duì) n 階也很適階也很適用用三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第36頁/共64頁2021-10-2337方法三方法三將將 a = b+(a-b) 則則4()000

29、0()0000()0000()babbbbbbabbbDbbbabbbbbbab利用利用 Pro. 5 進(jìn)行拆項(xiàng)，幾項(xiàng)進(jìn)行拆項(xiàng)，幾項(xiàng) ? 應(yīng)有應(yīng)有 16 項(xiàng)項(xiàng) .但包含兩個(gè)或兩個(gè)以上第一個(gè)子列，則為零但包含兩個(gè)或兩個(gè)以上第一個(gè)子列，則為零 .30000000000000000000000000000000000000(3 )()00000000000babbabbbabbabbbabbabbbabbabbababbababbabab ababbabbab三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)4abbbbabbDbbabbbba第37頁/共64頁2021-10-2338Example 10 試證試證

30、32222()22abcaabbcababccccab Proof ：分析特點(diǎn)分析特點(diǎn): 列之和相等列之和相等(實(shí)質(zhì)是計(jì)算)確定方法確定方法左邊左邊123rrr2222a b c a b c a b cbb c abccc a b 1()rabc111()2222a b c b b c abccc a b 21cc31cc100()2()020()a b c ba b cca b c 3()abc= = 右邊右邊三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第38頁/共64頁2021-10-2339Example 11 n 階行列式階行列式 ， 滿足滿足 aij = - aji i，j = 1 ndet()

31、ijDa證明：當(dāng)證明：當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，D = 0 .Proof ：由條件可知由條件可知 ：aii = -aii i = 1n 得得 aii = 01213112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa D = (-1)-1)n nD Pro.11213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaaaa12131122321323312300( 1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaaPro. 3( 1)nD 因?yàn)橐驗(yàn)?n 為奇為奇數(shù)，數(shù)，D = - -D,所以所以 D = 0 .三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第39頁/共64

32、頁2021-10-2340Example 12 計(jì)算計(jì)算123111000022000001(1)nnnDnnSolution:方法一方法一將各列加到第一列，得將各列加到第一列，得(1)223101000022000001(1)n nnnnDnn10002200(1)2001(1)n nnn1(1)!( 1)2nn 方法二方法二 Dncj+cj+1j=n-1,1(1)(1)221210100000(1)n nn nnnn1(1)!( 1)2nn 三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第40頁/共64頁2021-10-2341Example 13 計(jì)算計(jì)算1212111111(0)111nnnaaDa

33、 aaaSolution: 方法一方法一每行減去第一行，得每行減去第一行，得112111100nnaaaDaa11jajacc2,3,.,jn111221110000jnajnaaaa111(1)jnnjajja方法二方法二121111011101110111nnaDaa1irr2 1in121111100100100naaa11jjcca2 1jn11121111000000000jnajnaaa111(1)jnnjajja三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第41頁/共64頁2021-10-2342Example 14 計(jì)算計(jì)算012211000100000001000nnnaaxaxDaxa

34、xSolution: 方法一方法一 從第二行起，前行乘以從第二行起，前行乘以 x 加到后加到后一一行，得行，得00120122301212011100001000000.0001.0000nnnnnnnaa xaa xa xaDa xa xaa xa xa1120111( 1)(.)1nnnna xa xa (1)(1)12011( 1)( 1)(.)nnnnna xa xa 12011.nnna xa xa三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第42頁/共64頁2021-10-2343012211000100000001000nnnaaxaxDaxax按最后一行展開，得：按最后一行展開，得：Dn

35、= xDn-1+ an-1Dn-1 = xDn-2+ an-2方法二方法二 ( 遞推法遞推法 ). D2 = xa0 + a1Dn = xDn-1 + an-1= x2Dn-2 + an-2x + an-1所以所以= x3Dn-3 + an-3x2 + an-2x + an-1 = = = xn-2D2 + a2xn-1 + + an-3x2 + an-2x + an-1Dn-2 = xDn-3+ an-3= a0 xn-1 + a1xn-2 + + an-2x + an-1三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第43頁/共64頁2021-10-2344Example 15 設(shè)設(shè)1111111111

36、110000mmmmmnnnmnnnaaaaDccbbccbb11111mmmmaaDaa11121nnnnbbDbb證明：證明： D = D1D2 .對(duì)對(duì) m 用數(shù)學(xué)歸納法即可證用數(shù)學(xué)歸納法即可證明明1111111111110000mmmmnmnnnnnmaaaaDbbccbbcc= ？三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第44頁/共64頁2021-10-2345Example 16 證明證明 范德蒙德（范德蒙德（Vandermonde）行列式）行列式122221211112111nnnnnnnxxxDxxxxxx1()ijj i nxx 3323121()()()Dxxxxxx三三、行列式的性

37、質(zhì)、行列式的性質(zhì)3123222123111=Dxxxxxx如：第45頁/共64頁2021-10-2346Example 16 證明證明 范德蒙德（范德蒙德（Vandermonde）行列式）行列式122221211112111nnnnnnnxxxDxxxxxx1()ijj i nxx Proof : 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)當(dāng) n = 22211211Dxxxx結(jié)論成立；結(jié)論成立；假設(shè)對(duì)于假設(shè)對(duì)于 n-1 階階 V- 行列式，結(jié)論成立；行列式，結(jié)論成立； 對(duì)于對(duì)于 n 階階 V-行列式，從第行列式，從第 n 行開始，后行減去前行開始，后行減去前行的行的 x1倍倍 .三三、行列式的性質(zhì)、行列式的

38、性質(zhì)第46頁/共64頁2021-10-2347Dn2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnxxxxxxx xxx xxxxxxxxxxxxxx11iirxr,1,.,3,2in n232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx上式右端行列式是上式右端行列式是 n-1 階階 V- 行列式，由歸納假設(shè)，得行列式，由歸納假設(shè)，得213112()()()()nnijj i nDxxxxxxxx 1()ijj i nxx 三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第47頁/共64頁2021-10-2348Example 17

39、 計(jì)算計(jì)算41111231449116827164DSolution: D4 為為 4 階階 V- 行列式行列式4222233331111231( 4)231( 4)231( 4)D其中其中12342,3,1,4xxxx 故故4434241323121()()()()()()420Dxxxxxxxxxxxx 三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第48頁/共64頁2021-10-2349第三節(jié)第三節(jié)克萊姆（克萊姆（Cramer）法則）法則第49頁/共64頁2021-10-2350 首次討論線性方程組的求解問題，利用行列式得首次討論線性方程組的求解問題，利用行列式得出出一類特殊方程的求解公式一類特殊方

40、程的求解公式 .克萊姆法則：克萊姆法則：如果線性方程組如果線性方程組11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb(1)其系數(shù)行列式其系數(shù)行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa則方程組則方程組(1)有唯一解有唯一解12(2)jjDxjD， ， ,n簡記為簡記為11nijjija xbin 其中其中 Dj 是用常數(shù)項(xiàng)是用常數(shù)項(xiàng)(自由項(xiàng)自由項(xiàng)) b1，b2，bn 替替換換 D 中第中第 j 列所成的行列式列所成的行列式 .111(1)11(1)1212(1)22(1)21(1)(1)jjnjj

41、njnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa一一、克萊姆法則、克萊姆法則第50頁/共64頁2021-10-2351Proof : 是解是解；jjDxD 唯一性唯一性 .11221njjjnnjkkjkDb Ab Ab Ab A111nnjijijjjjDaa DDD111nnijkkjjkab AD 111nnijkjkjka A bD111nnijkjkkja A bD111()nnijkjkkja AbD 1iiD bbD所以，（所以，（2）是（）是（1）的解）的解 .設(shè)設(shè) 是方程組（是方程組（1）的一個(gè)解）的一個(gè)解 .

42、1jjxcjn 代入方程代入方程 得得11(3)nkiikia cbkn 用用 D 中第中第 j 列元素的代數(shù)余子式列元素的代數(shù)余子式 依次乘方程組（依次乘方程組（3）的）的 n 個(gè)方程，再相加個(gè)方程，再相加 ，得，得 12,.,jjnjAAA111nnnkiikjkkjkika c Ab A左邊左邊= 右邊右邊= Dj11()nnkikjiika Ac 由由 Th. 1.2 可知可知 Dcj = Dj0D 1jjDcjnD一一、克萊姆法則、克萊姆法則第51頁/共64頁2021-10-2352Example 18 解方程組解方程組1234134123123422244321224xxxxxxx

43、xxxxxxx Solution:1112201432101212D142420100441032101212rrrr0102 44132141231 20 該位置展開一該位置展開一定帶正號(hào)定帶正號(hào)D1 = -2 ，D2 = 4 ，D3 = 0 ，D4 = -1 所以，所以， x1 = 1，x2 = -2，x3 = 0，x4 = 1/2 .二二、克萊姆法則應(yīng)用實(shí)例、克萊姆法則應(yīng)用實(shí)例第52頁/共64頁2021-10-2353 克萊姆法則的意義在于它給出了解與系數(shù)的關(guān)系克萊姆法則的意義在于它給出了解與系數(shù)的關(guān)系,在方程理論上很有價(jià)值在方程理論上很有價(jià)值 . 但用它來求解是很不方便的但用它來求解是

44、很不方便的 .因?yàn)?，它求解一個(gè)因?yàn)椋蠼庖粋€(gè) n 個(gè)未知量、個(gè)未知量、n 個(gè)方程的線性方程個(gè)方程的線性方程組，需計(jì)算組，需計(jì)算 n+1 個(gè)個(gè) n 階行列式，計(jì)算量很大階行列式，計(jì)算量很大 .Definition 1.8 在方程組（在方程組（1）中，如果自由項(xiàng)）中，如果自由項(xiàng) b1，b2，bn 不全為零，則稱（不全為零，則稱（1）為）為非齊次非齊次線性方程組線性方程組;否則，稱為否則，稱為齊次齊次線性方程組線性方程組 . Corollary 1 零一定是它的解，零一定是它的解，更關(guān)心的是非零解更關(guān)心的是非零解如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組101nijjja xin的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式

45、 , , 0D 則方程組只有零解則方程組只有零解 . Corollary 2 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組101nijjja xin有非零解的必要條件是有非零解的必要條件是 D = 0 .第三章將證明第三章將證明這也是充分的這也是充分的三三、克萊姆法則應(yīng)用、克萊姆法則應(yīng)用11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb(1)第53頁/共64頁2021-10-2354Example 19 設(shè)方程組設(shè)方程組 123123123000 xxxaxbxcxbcxcaxabx問問 a、b、c 滿足什么條件，方程組有非零解滿足什么條件，方程組有非零解 .Solution:111Dabcbc caab100ab ac abc ca bcab bc()()()a b b c c a由由 D = 0a、b、c 至少有兩個(gè)相等至少有兩個(gè)相等 . 不難驗(yàn)證，當(dāng)不難驗(yàn)證，當(dāng) a、b、c 中至少有兩個(gè)相等，方中至少有兩個(gè)相等，方程程組有非零解組有非零解 .第54頁/共64頁2021-10-2355小小 結(jié)結(jié)行列式計(jì)算、證明的常用方法行列式計(jì)算、證明的常用方法定義定義性質(zhì)性質(zhì)降（升）階降（升）階遞推遞推V- 行列式行列式數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法第55頁/共64頁2021-10-2356第第 二二 章章 行