MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)PPT課件

1、第五章 應(yīng)用微積分5.1 預(yù)備知識(shí)：微積分的基本概念5.2 數(shù)值微積分MATLAB指令5.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：數(shù)值微積分5.4 建模實(shí)驗(yàn)：奶油蛋糕第1頁/共28頁1.極限和連續(xù)數(shù)列極限: 0, N0 ，使當(dāng)nN時(shí) 有xn -a0,函數(shù)在x0點(diǎn)附近是上升的；當(dāng)f(x0)0,函數(shù)在x0點(diǎn)附近是下降的；當(dāng)f(x0)=0, x0為駐點(diǎn),第3頁/共28頁當(dāng)n=0 得微分中值定理 f(x) - f(x0) = f() (x- x0) 其中是x0與x之間某個(gè)值Taylor公式:當(dāng)f(x)在含有x0某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，200000( )(1)1000()( )()()()()2()( )()()!(

2、1)!nnnnfxf xf xfxxxxxfxfxxxxnn第4頁/共28頁Taylor展開的幾何解釋f(x)二 次一 次三 次第5頁/共28頁3.多元函數(shù)微分學(xué) 設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)附近有定義，當(dāng)(x,y)以任何方式趨向于(x0,y0)時(shí)，f(x,y)趨向于一個(gè)確定的常數(shù)A，則二重極限Ayxfyyxx),(lim00若 A=f(x0,y0), 稱f(x,y)在(x0,y0) 點(diǎn)連續(xù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)fxyf xx yf xyxfxyf xyyf xyyxxyy(,)lim(,)(,)(,)lim(,)(,)00000000000000第6頁/共28頁多元函數(shù)T

3、aylor公式二元函數(shù)在二元函數(shù)在(x0,y0)附近局部線性化附近局部線性化(平面近似曲面平面近似曲面): f(x,y) f(x0,y0) + f x(x0,y0) (x-x0) + f y(x0,y0) (y-y0) 00000000200000002000( , )(,)(,)()(,)()1 (,)()2(,)()()2 (,)() xyxxxyyyf x yf xyfxyxxfxyyyfxyxxfxyxxyyfxyyy第7頁/共28頁函數(shù)極值 一元可微f(x)在內(nèi)點(diǎn)x0取得局部極大或極小的必要條件是f (x0) =0. 局部極大(或極小)充分條件是f (x0) =0, f (x0) 0

4、). 二元可微f(x,y)在內(nèi)點(diǎn)(x0,y0) 取得局部極大或極小的必要條件是梯度f (x0,y0)=0, 充分條件是 f (x0,y0) =0且下列Hesse矩陣負(fù)定(局部極大)或正定(局部極小) 梯度f =( ), Hesse矩陣fxfy,222222 yFyxFyxFxF第8頁/共28頁4 . 積分 函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的積分定義為f x dxfxabxiinii( )lim()max()01其中 a=x0 x1xn=b, xi=xi-xi-1, i(xi-1,xi), i=1,2,n若在a,b上, F(x)=f(x), 則牛頓萊布尼茲公式二重積分定義為jiijjiGyxyxfdx

5、dyyxfji),(lim),(0)max(22baaFbFdxxf)()()(第9頁/共28頁曲線&曲面 平面曲線(x(t), y(t), atb的長度為 空間曲線(x(t), y(t), z(t), at z=quadl(x)exp(-x.2),-1,1) z= integral (x)exp(-x.2),-1,1) 注意：積分中fun里用數(shù)組運(yùn)算! fun = (x) exp(-x.2).*log(x).2; q = integral(fun,0,Inf) % integral能求反常積分 第15頁/共28頁5. 重積分z=dblquad(Fun,a,b,c,d) 求得二元函數(shù) Fun(

6、x,y) 在矩形區(qū)域的重積分.z=triplequad(Fun,a,b,c,d,e,f)求得三元函數(shù)Fun(x,y,z) 在長方體區(qū)域上的三重積分 。z=quad2d(Fun,a,b,cx,dx) 求得二元函數(shù)Fun(x,y)的重積分。a, b為變量x的下、上限；cx, dx為變量y的下、上限函數(shù)(自變量為x)z= integral2 (Fun,a,b,cx,dx) 類似quad2dz= integral3 (Fun,a,b,cx,dx,exy,fxy) 求得三元函數(shù)Fun(x,y,z)的三重積分 第16頁/共28頁11001(1)xdxdyxyxy例5.2 計(jì)算重積分 222201,1(ln

7、(3)cos )zxyzxyzzx dxdydz fun = (x,y) 1./( sqrt(x + y) .* (1 + x + y).2 ) ;q = integral2(fun,0,1,0,(x)1-x) fun = (z,x,y) log(3+x+y+z) + z.2.*cos(x);xmin = (z)-sqrt(1 - z.2);xmax = (z) sqrt(1 - z.2);ymin = (z,x)-sqrt(1 - x.2 - z.2);ymax = (z,x)sqrt(1 - x.2 - z.2);q = integral3(fun,0,1,xmin,xmax,ymin,y

8、max) 第17頁/共28頁1.1.數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分若f(x)在x=a可導(dǎo), 設(shè)h0且足夠小稱為向前差商向后差商中心差商()( )( )f ahf afah( )()( )f af ahfah()()( )2f ahf ahfah5.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：數(shù)值微積分第18頁/共28頁自動(dòng)步長的中心差商程序：function d=deriv(fname,a,h0,e)h=h0;d=(fname(a+h)-fname (a-h)/2/h;d0=d+2*e; %為了保證abs(d-d0)e成立while abs(d-d0)e d0=d;h0=h;h=h0/2 d=(fname(a+h)-fname (a-h

9、)/2/h;endf af a hf a hh( )()()2 deriv(x)sin(x),pi/6,0.1,1e-4)第19頁/共28頁 2. 奶油蛋糕例 5 某數(shù)學(xué)家的學(xué)生要送一個(gè)特大的蛋糕來慶賀他90歲生日。為了紀(jì)念他提出的口腔醫(yī)學(xué)的懸鏈線模型，學(xué)生們要求蛋糕店老板將蛋糕邊緣半徑作成下列懸鏈線函數(shù) r = 2-(exp(2h)+exp(-2h)/5, 0h fun=(h)(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5).2; pi*integral(fun,0,1)即旋轉(zhuǎn)體體積公式第23頁/共28頁解：t=0時(shí)z=R. 考慮在時(shí)間dt內(nèi)水面變化dz，漏水的體積為 uAdt= - x2

10、dz其中u為出水速度，A為小孔面積，x為高度z水面的半徑5m0例6 一半徑為R=5m的球形水罐充滿了水，底部有一半徑為的小孔漏水，問多少時(shí)間以后，水面下降至離底部0.5m?分析：求時(shí)間t與水面高度z的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 z表示從球心 測(cè)量的水面高度A=b2, x2=R2-z2注意：水從孔漏出的速度u不是常數(shù)！zx第24頁/共28頁22220.5220.52 ()2 ()RRRRRzRzdzdzbg zRbg zRt=0時(shí)z=R. 在頂部水降到時(shí)，從而 t =0+2222 ()Rzdtdzbg zR 5m0u由下列能量方程決定 mg(z+R)=mu2/2 m是質(zhì)量，g為重力加速度。2 ()ug zR第25頁/共28頁%M腳本clear;R=5;b=0.1;g=9.81;z1=0.5-R;z2=R;n=100;h=(z