第五章 留數(shù)定理

1、第五章 留數(shù)定理定理1 1 留數(shù)定理留數(shù)定理2 2 留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用（一）留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用（一）3 3 留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用（留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用（二）二）學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求1. 掌握殘數(shù)的概念和殘數(shù)定理。2. 熟練掌握殘數(shù)的計算方法；能熟練利用殘數(shù)定理求沿封閉曲線積分；掌握利用殘數(shù)定理計算定積分（主要是三種類型）的方法。 考核知識點考核知識點1. 殘數(shù)的定義。2. 可去奇點殘數(shù)的計算。3. 本性奇點殘數(shù)的計算。4. 極點殘數(shù)的計算。5. 殘數(shù)定理6. 利用殘數(shù)計算定積分如果函數(shù)如果函數(shù)f (z)在在z0的鄰域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析, 根據(jù)柯西積分定理根據(jù)柯西積分定理. 0d

2、)(CzzfCzzfd)( 如果如果z0為為f (z)的一個孤立奇點的一個孤立奇點, 則沿在則沿在z0的某個去的某個去心鄰域心鄰域0|z-z0|R內(nèi)，包含內(nèi)，包含z0的任意一條正向簡單閉的任意一條正向簡單閉曲線曲線C的積分的積分一般就不等于零。一般就不等于零。思考思考：積分等于多少：積分等于多少?1 1 留數(shù)定理留數(shù)定理結(jié)論：結(jié)論：從上面的討論可知從上面的討論可知, 積分的計算可轉(zhuǎn)化為求被積積分的計算可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的羅朗展開式中函數(shù)的羅朗展開式中z- z0的負(fù)一次冪項的系數(shù)的負(fù)一次冪項的系數(shù)c- -1。-Czzficd)(211或12d)(-c izzfC思路一思路一 將將f (z)在此鄰

3、域內(nèi)展開為羅朗級數(shù)在此鄰域內(nèi)展開為羅朗級數(shù) f (z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.后后,兩端沿兩端沿C逐項積分逐項積分, 右端各項積分除留下右端各項積分除留下 c-1 (z-z0)-1的的一項等于一項等于2 ic-1外，外， 其余各項積分都等于零，所以其余各項積分都等于零，所以.2d)(1-iczzfC若令若令n=-1, 得得-Cnnzzzzficd)()(2110思路二思路二 由由羅朗級數(shù)系數(shù)羅朗級數(shù)系數(shù)公式公式為函數(shù)為函數(shù)f (z)在在z0的留數(shù)的留數(shù)(Residue)，記作記作 Resf (z),z0 。一、

4、一、 留數(shù)的定義留數(shù)的定義 定義定義 若若f (z)在去心鄰域在去心鄰域 內(nèi)解內(nèi)解析，析，z0是是f (z)的的孤立奇點，孤立奇點，C是是 內(nèi)包圍內(nèi)包圍z0的的任意一條正向簡單閉曲線，定義任意一條正向簡單閉曲線，定義積分積分Rzz-00Rzz-00Czzfid)(21100),(Resd)(21),(Res-czzfzzfizzfC即即留數(shù)定理留數(shù)定理： 如果函數(shù)f (z)在一條正向簡單閉曲線C上連續(xù)，在C的內(nèi)部除有限個孤立奇點z1,z2,.,zn外處處解析。 則nkkCzzfizzf1),(Res2d)(二、留數(shù)定理二、留數(shù)定理證 把在C內(nèi)的孤立奇點zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向

5、簡單閉曲線Ck圍繞起來, 則根據(jù)多連通域的柯西積分定理有nCCCCzzfzzfzzfzzfd)(d)(d)(d)(21根據(jù)留數(shù)的定義，有),2, 1(),(Resd)(21nkzzfzzfikCknkkCzzfizzf1.),(Res2d)(即討論問題：討論問題：柯西積分定理、柯西積分公式與留數(shù)定理的關(guān)系如何？意義：意義：把計算沿路徑積分的整體問題化為計算各孤立奇點留數(shù)的局部問題。nkkCzzfizzf1),(Res2d)(2、求羅求羅朗級數(shù)中朗級數(shù)中c-1(z-z0)-1項的系數(shù)項的系數(shù)c-1。 三、留數(shù)的計算三、留數(shù)的計算1、留數(shù)只對、留數(shù)只對孤立奇點而言才有意義。孤立奇點而言才有意義。2

6、）如果）如果z0是是f (z)本性奇點本性奇點, 將將f (z)在其在其z0的去心鄰域中的去心鄰域中展開為羅朗級數(shù)，求展開為羅朗級數(shù)，求c- -1 ;如果知道奇點的類型如果知道奇點的類型, 對求留數(shù)可能更有利對求留數(shù)可能更有利。 1）如）如z0是是f (z)的可去奇點的可去奇點, 則則Resf (z), z0=0;3）如果）如果z0是是f (z)的極點的極點, 則可以利用以下的規(guī)則：則可以利用以下的規(guī)則：（極點留數(shù)的計算規(guī)則）（極點留數(shù)的計算規(guī)則）)()(lim),(Res000zfzzzzfzz-)()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz-規(guī)則規(guī)則2 如果

7、z0為f (z)的m級極點， 則規(guī)則規(guī)則1 如果z0為f (z)的一級極點, 則 規(guī)則規(guī)則3 設(shè) , P(z)及Q(z)在z0都解析, 如果P(z0)0, Q(z0)=0, Q(z0)0, 則z0為f(z)的一級極點, 且( )( )( )P zf zQ z000()Res ( ),()P zf z zQ z注意規(guī)則注意規(guī)則3 3的應(yīng)用條件的應(yīng)用條件例例2: 計算計算122111112!2!zzezzzz011!(1)!nn nzz=0是本性奇點是本性奇點201 cos1lim2zzz-00 ,Res1zze01)!1( !10 ,Resnzznne例例1: 0 ,cos1Res2zz- z=

8、i與z=-i為 的一階極點,故21( )1f zz11( )lim() ( ),2ziz iz iRes f zzi f zzii-1( ),2ziRes f zi- -222112,0.111z iz izdzdzdzzzz- -從而例例4. 計算31cos.zzdzz解解 以z=0為其三階極點, 故3cos( )zf zz232000111( )lim( )limcos.2!2!2zzzdRes f zz f zzdz- -31cos12.2zzdziiz- -由殘數(shù)定理得例例5. 計算31sin.(1)zzzzdze-3sin( )(1)zzzf ze- 解解 在單位圓周|z|=1內(nèi),

9、以z=0為其孤立奇點,我們應(yīng)用羅朗展式求 為此注意30sin(1)zzzzRese-3223333213!sin3!,(1)12!2!zzzz zzzzezzzz- -13sin1.(1)zzzaez -30sin1,(1)zzzzRese -31sin2( 1)2.(1)zzzzdziie- -后面那個因式在z=0解析, 且顯然可以展為常數(shù)項為1的冪級數(shù) 因此在z=0的無心領(lǐng)域內(nèi)有由此即得故11,a z由由規(guī)則規(guī)則1, 得得211121112eeeRes ( ),1lim(1)lim112eeeRes ( ), 1lim(1)lim.112eeed2 ()2 ch1122zzzzzzzzzC

10、zzf zzzzzzf zzzzzziiz-因此我們也可以用我們也可以用規(guī)則規(guī)則III來求留數(shù)來求留數(shù)：.2e2e 1),(Res;2e2e 1),(Res111|-zzzzzzzfzzzf這比用規(guī)則這比用規(guī)則1要簡單些，但要注意應(yīng)用的條件。要簡單些，但要注意應(yīng)用的條件。0)41414141(2d1,414)()(III,423-izzzzzzzQzPC故由規(guī)則. 0) 1(limeddlim) 1(e) 1(ddlim)!12(1 1),(Res211221-zzezzzzzzzfzzzzzz.2)01 (21),(Res0),(Res2d) 1(e3iizfzfizzzCz-所以方法一方法

11、一、首先應(yīng)定出極點、首先應(yīng)定出極點z=0的級數(shù)。由于的級數(shù)。由于0000(0)(sin )|0,(0)(1 cos )|0,(0)sin |0,(0)cos |10.zzzzPzzPzPzPz- 因此因此z=0是是z- -sin z的三級零點，也就是的三級零點，也就是f (z)的三級極點。的三級極點。6( )sin( )( )P zzzf zQ zz-例例9 9：計算計算 在在z=0處的留數(shù)處的留數(shù). 應(yīng)用公式得應(yīng)用公式得由此可見由此可見, 二階導(dǎo)數(shù)的計算過程將十分繁雜。二階導(dǎo)數(shù)的計算過程將十分繁雜。2362602230sin1sinRe,0lim(3 1)!1sinlim.2!zzzzdzz

12、szzdzzdzzdzz-! 51-方方法法二二、但把 m 取得比實際的級數(shù)高反而使計算方便。盡管 z=0 是函數(shù)6sinzzz-的三級極點, 如果認(rèn)為是六級極點，計算在 z=0 處的留數(shù), 而更加簡便。 5665600sin1sinRes,0lim(6 1)!11lim( cos ).5!5!zzzzdzzzzdzzz- - 如果函數(shù)如果函數(shù)f(z)的極點的極點z0的級數(shù)不是的級數(shù)不是m, 它的實際級數(shù)要比它的實際級數(shù)要比m低低, 這時表達(dá)式這時表達(dá)式10101100( )()()()mmmmf zczzczzczzc-的系數(shù)的系數(shù)c- -m，c- -m+1，中可能有一個或幾個等于零中可能有

13、一個或幾個等于零, 顯然顯然規(guī)則規(guī)則2 2的的公式仍然有效。公式仍然有效。一般說來一般說來, 在應(yīng)用在應(yīng)用規(guī)則規(guī)則2 2時時, 為了計算方便不要將為了計算方便不要將m取得比實際的級數(shù)高。取得比實際的級數(shù)高。注意：注意：在應(yīng)用在應(yīng)用規(guī)則規(guī)則2 2時，時，為了計算方便，可以將為了計算方便，可以將m取取得比實際的級數(shù)高。得比實際的級數(shù)高。方法三方法三 用洛朗展開式求c-1就比較方便，因為35663sin1113!5!11.3!5!zzzzzzzzzz-所以16sin1Res,05!zzcz- -考慮考慮：多值函數(shù)的：多值函數(shù)的留數(shù)計算。留數(shù)計算。 1. 定義：定義： 設(shè)函數(shù)f (z)在圓環(huán)域R|z|

14、內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條簡單閉曲線，則積分-Czzfid)(21-Czzfizfd)(21),(Res稱其為f (z)在點的留數(shù)，記作這里積分路徑的方向是順時針方向，這個方向很自然地可以看作是圍繞無窮遠(yuǎn)點的正向。四、四、無窮遠(yuǎn)點的無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)及計算方法留數(shù)及計算方法將 f (z)在 R|z|+內(nèi)的羅朗展式為 -nnnnzczcczczczf101)( -CnnnCczzcizzfizf1d21d)(21),(Res則即 f (z)在點的留數(shù)等于函數(shù)f (z)在點的羅朗級數(shù)中z-1項的系數(shù)c-1的變號。注意：注意：有限可去奇點的留數(shù)為0，z=既便是f (z)的可去奇點，f (z)在

15、z=的留數(shù)也未必是0，為什么？另： 由于f (z)在R|z|+內(nèi)解析，所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù)-, 2, 1, 0(d)(21)(1101nficzcczczfCnnnnnnnnC為R|z|+內(nèi)繞原點任何一條簡單正向閉曲線?？紤]n-1的情況-Czzficd)(211因此 Resf(z),-c-1 方法1 如果f(z)在 的洛朗展開式為 zR-nnnzCzf)( 則有Resf (z),=-C-12、無窮遠(yuǎn)點無窮遠(yuǎn)點留數(shù)留數(shù)的的計算方計算方法法方法2 z=是f (z)的可去奇點，并且 則f (z)在z=的留數(shù) 0)(limzfz)(lim1zzfcz-方法3-0 ,1)1(Res),(R

16、es2zzfzf 此結(jié)論請同學(xué)們課后自行證明。例 設(shè)f(z)=z5/(1+z6), 求z=的留數(shù)5601111( )1111-nnnzf zzzzzz11111-nnnzz解：（方法一）由于f (z)在1|z|+內(nèi)解析，所以z=是可去奇點， z=的留數(shù)為Resf (z),=-C-1=-1（0）（方法二） z=是可去奇點，并且0)(limzfz則 Resf (z), )0( 11lim)(lim661-zzzzfczz定理定理：如果函數(shù)f (z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點，那末f (z)在所有各奇點(包括點)的留數(shù)總和必 等于零. 0d)(21d)(21),(Res),(Res1-CCnk

17、kzzfizzfizzfzf證 除點外, 設(shè)f (z)的有限個奇點為zk(k=1,2,.,n)。又設(shè)C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,.,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線，則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義，有4.2 應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分 (重點的重點)一、需解決的問題許多場合中需要計算實變函數(shù)的定積分，而這些定積分利用高等數(shù)學(xué)中的知識較難求得或無法求得。二、解決問題的基本思路220cos, (0).mxIdxaxa把需求解的定積分與復(fù)變函數(shù)的圍道積分聯(lián)系起來，再利用復(fù)變函數(shù)的知識以便得到定積分的解。201, (01).1cosIdxx31( )baIf x dx三、具體解法試

18、求： 將實變函數(shù)的積分路徑與復(fù)平面上的一段路徑C等同起來。Re ( )zf xarg zf xabxxyzazbCxyCabxzazb32 若對應(yīng)的復(fù)變路徑C不構(gòu)成閉合圍道，則補(bǔ)上一段路徑C使得C+C構(gòu)成一閉合圍道。abxxyCzazbCxyCabxCzazb( )( )baCIf x dxf z dz( )( )( )CC CCIf z dzf z dzf z dz-33 利用留數(shù)定理求出在C+C上的積分，再利用其它方法求出在C上的積分，相減后得到問題的答案。34( )( )( )CC CCIf z dzf z dzf z dz-注意：一般來講在C上的積分利用約當(dāng)引理，可證為零。1.1.形如

19、形如 的積分的積分 為cos與sin 的有理函數(shù)，且在0，2上連續(xù)。)sin,(cosR20(cos ,sin )Rd 從而，積分化為沿正向單位圓周的積分：-1122)(21,21zzdzzfizdzizzzzR令z=ei ，那么izzeeiii21)(21sin2-zzeeii21)(21cos2-dz=ieid, d=dz/izknkzzfi),(Res21其中zk(k=1,2,n)為包含在單位圓周 內(nèi)的f (z)的孤立奇點。1z0201-1ii-注意注意：1）f (z)為z的有理函數(shù)； 2）R(cos, sin )在0，2,則f (z)在單位圓周 上無奇點； 1z 3）積分限可以為- ，

20、。 4）若R(cos, sin )為偶函數(shù)，則dRdR-)sin,(cos21)sin,(cos0例1 計算 的值.0,011cos 2dxIx解：令2 ,2;:0,:02x ddxx 21201111/121cos2212zzddz izdzIzzizz-22111iIi-例例2 計算積分計算積分)0(dcossin202 baba 解解, iez 令令則則,21sin2ziz - - ,21cos2zz ,dd iiez izzzzbazzbazd2114)1(dcossin21222202 - - - - - - 12222d)2(2)1(zzbazbzizz222222bbaba- -

21、 - ).(2222baab- - - - - - - - - - - - - - - 122222222d)1(zbbaazbbaazbizzz - - - - bbaazfzfi)(),(Res0),(Res222例例3 計算計算).0(sind02 axax解解 - - 00222cos1dsindxaxxax - - 022cos12d21xax,2tx 令令 - - 202cos1d21tatizzzzazd22) 1(112112 - - .1) 12( 2d212 - - zzazzi1) 12(1221- - - - aaz極點為極點為 : 02sindxax所所以以.1) 1

22、2 (22- - a(在單位圓內(nèi)在單位圓內(nèi))1) 12(1222- - aaz(在單位圓外在單位圓外) ).11212(),(Res222- - - - aazfii例4 計算 的值.) 10(dcos212cos202-pppI解 由于0p0，當(dāng)R充分大時，有 即可。 -)()(idzzfRc-RCdzzi1)(因為-RRRRccccdsRdzzzzfdzzzzfidzzf)()()()()(-)(0, 0)(limzzfRzzfz有充分大時，當(dāng)對由于分析：分析：可先討論可先討論,d)( - -RRxxR最后令最后令 R即可即可 .( )dRRR xx-( )dCf zz2. 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化

23、積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條輔助曲線取一條輔助曲線, 使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線, 并使并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點外處處解析在其內(nèi)部除有限孤立奇點外處處解析. (此法常稱為此法常稱為“圍道積分法圍道積分法”)1. 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)當(dāng)z在實軸上的區(qū)間內(nèi)變動時在實軸上的區(qū)間內(nèi)變動時 , R(z)=R(x) 可取可取 f(z)=R(z) . 如圖所示：如圖所示：1）取輔助路徑）取輔助路徑CR ，CR與與-R,R一起一起構(gòu)成閉合路徑構(gòu)成閉合路徑C，其中，其中CR是以原點為中心是以原點為中心, R為半徑的為半徑的上半平面的半圓周上半平面的半圓周. 2）取

24、）取R適當(dāng)大適當(dāng)大, 使使R(z)所有的在上所有的在上半平面內(nèi)的極點半平面內(nèi)的極點zk都包在這積分路線內(nèi)都包在這積分路線內(nèi). R(z)在在C及其及其內(nèi)部內(nèi)部(除去有限孤立奇點除去有限孤立奇點zk ）處處解析）處處解析.z1z2z3yCR-RROx),(Res2)()()(1knkRRCCzzRidzzRdxxRdzzRR-( )d2Res ( ),.kR xxiR z z-因此0( ),1( )d( )dRes ( ),.2kR xR xxR xxiR zz-如果為偶函數(shù)例 1-dxxxx1242計算在上半平面其中的四個一階極點為214, 32, 12422222224,2321,2321:1

25、)(0) 1)(1() 1(1zzizizzzzzfzzzzzzzz-3343134312),(Res),(Res221-iiiiizzfzzfi例例2 計算積分計算積分), 0, 0()()(d22222bababxaxx - -)()(1)(22222bzazzR 解解 在上半平面有二級極在上半平面有二級極點點,aiz .biz 一級極點一級極點aizbzaiz )()(1222,)(21222babi- - ),(ResaizRbizbizaz )()(1222,)(43222322abiaab- - - ),(ResbizR),(Res),(Res2aizRbizRi .)(2 )2(

26、23bababa - - - - - 222222322)(21)(432abbiabiaabi - - )()(d22222bxaxx所以所以例 3 2101(1)ndxx 計算,1) 1(1)(12iznzzfn階極點在上半平面只有一個21112(1)nIdxx-解：1212111( 1) (1)(2)2Res ( ), !(2 )(1)(2)2(21)!22(2 )!nnnnnz indnnnif z iiin dzzininnnnnn- - 3.3.形如形如 的積分的積分)0()(-dxexRiax(1) Q(z)比P(z)至少高一次 ；(2) R(z)在實軸上沒有奇點;(3) 0;)

27、 1( -nm其中zk為R(z)在復(fù)平面上半平面的奇點。1( )dx2Res( ) niaxiazkkR x eiR z e,z-則 ,)(011011bzbzbaxazazRmmmmnnnn-設(shè)z1z2z3yCR-RROx 引理引理2(Jordan2(Jordan引理引理) ) 設(shè)f (z)在CR上連續(xù)，CR： 如果在CR上 ，則zRzarg0 ,0)(limzfz0)(limRCiazzdzezfdeRRMidReezfdzezfaRiiiaRciazR-0sin0)sin(cos)()()(-20sin)(2deRRMaR-20/22sin)(2deRRMaR01)( -RaReaRM證

28、明：證明：設(shè)f (z)在CR上連續(xù)， ， 且滿足 )()(RMzf0)(limRMR也可寫為( )cosd( )sind2Res ( ),.aizkR xax xiR xax xiR z ez-不等式, 當(dāng) 時 的圖示022sinyOy=sin2y21 - -,)(Res2d)(kaizaixzezRixexRaxiaxeiaxsincos 例 計算 的值.220sin(0)xxIdx axa22( )zR zza解 這里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在實軸上無孤立奇點,因而所求的積分是存在的. 在上半平面內(nèi)有一級極點ai,22e d2 Res ( )e ,ixizxxiR zaixa-

29、e2lim2.2izaaziazeiiiezia-22220sin11dIm().22ixaxxxxe dxexaxa-因此例例 計算積分計算積分 .0, 0,d)(sin0222 amxaxmxx解解 - - xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin222022 - -xeaxximxd)(Im21222在上半平面只有二級極點在上半平面只有二級極點,)()(222imxeazzzf ,aiz 又又xeaxximxd)(222 - - 則則aizimzeaizzzaizf 2)(dd),(Res,4maeam- - ),(Res2Im21aizfi .4maeam- - aieazziimz,)(Res2222x