選修45數(shù)學(xué)歸納法PPT

1、請問：請問：以上三個(gè)結(jié)論正確嗎？為什么以上三個(gè)結(jié)論正確嗎？為什么? 得出以上結(jié)論所用的方法有什么共同點(diǎn)和什么不同點(diǎn)得出以上結(jié)論所用的方法有什么共同點(diǎn)和什么不同點(diǎn) 問題問題 1：今天，據(jù)觀察第一個(gè)到學(xué)校的是男同學(xué)，第二個(gè)到今天，據(jù)觀察第一個(gè)到學(xué)校的是男同學(xué)，第二個(gè)到學(xué)校的也是男同學(xué)，第三個(gè)到學(xué)校的還是男同學(xué)，于是得出：學(xué)校的也是男同學(xué)，第三個(gè)到學(xué)校的還是男同學(xué)，于是得出：這所學(xué)校里的學(xué)生都是男同學(xué)。這所學(xué)校里的學(xué)生都是男同學(xué)。 問題問題 3：教師根據(jù)成績單，逐一核實(shí)后下結(jié)論：教師根據(jù)成績單，逐一核實(shí)后下結(jié)論：“全班及格全班及格” 問題問題 2：三角形的內(nèi)角和為三角形的內(nèi)角和為180，四邊形的內(nèi)角

2、和為，四邊形的內(nèi)角和為2180,五五邊形的內(nèi)邊形的內(nèi) 角和為角和為3180，于是有：凸，于是有：凸n邊形的內(nèi)角和為邊形的內(nèi)角和為(n-2) 180。 共同點(diǎn)：均用了歸納法得出結(jié)論；不同點(diǎn)：問題共同點(diǎn)：均用了歸納法得出結(jié)論；不同點(diǎn)：問題1 1、2 2是用的不完全是用的不完全 歸納法，問題歸納法，問題3 3是用的完全歸納法。是用的完全歸納法。一一、提出問題提出問題 1、錯(cuò)、錯(cuò)2、對、對3、對、對問題情境二：數(shù)學(xué)家費(fèi)馬運(yùn)用不完全問題情境二：數(shù)學(xué)家費(fèi)馬運(yùn)用不完全歸納法得出費(fèi)馬猜想的事例歸納法得出費(fèi)馬猜想的事例0123422222213215211 7212 5 7216 5 5 3 7.費(fèi) 馬 觀 察

3、 到 ：猜想：都是質(zhì)數(shù)法國的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（法國的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（pierre de fermat） (1601年年1665年年) 。 十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以世人冠以“業(yè)余王子業(yè)余王子”之美稱，之美稱，221()nnfnn二、概念二、概念1、歸納法定義：歸納法定義： 對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫歸納出一

4、般結(jié)論的推理方法，叫歸納法歸納法。2、歸納法分類：、歸納法分類： 歸納法歸納法 完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法想一想：由兩種歸納法得出的結(jié)論一定正確嗎？由兩種歸納法得出的結(jié)論一定正確嗎？說說 明：明：（1）不完全歸納法有利于發(fā)現(xiàn)問題，但結(jié)論）不完全歸納法有利于發(fā)現(xiàn)問題，但結(jié)論 不一定正確。不一定正確。（2）完全歸納法結(jié)論可靠，但一一核對困難。）完全歸納法結(jié)論可靠，但一一核對困難。提出問題提出問題如何尋找一種嚴(yán)格推理的歸納法？如何尋找一種嚴(yán)格推理的歸納法？二、挖掘內(nèi)涵、形成概念：二、挖掘內(nèi)涵、形成概念：證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題, ,可用下列方法來可用

5、下列方法來證明它們的正確性證明它們的正確性: :(1)(1)驗(yàn)證驗(yàn)證當(dāng)當(dāng)n n取取第一個(gè)值第一個(gè)值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)時(shí)命題成立時(shí)命題成立, ,(2)(2)假設(shè)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k(kn=k(k n n* * ，k k n n0 0 ) )時(shí)命題成立時(shí)命題成立, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對從完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立。這種證明方法叫做都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法。驗(yàn)證驗(yàn)證n=nn=n0 0時(shí)命時(shí)命題成立題成立若若當(dāng)當(dāng)n=k(

6、n=k(k k n n0 0 ) )時(shí)命題成立時(shí)命題成立, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立命題對從命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立。都成立?！練w納奠基歸納奠基】【歸納遞推歸納遞推】問題情境三問題情境三 多多米米諾諾骨骨牌牌課課件件演演示示 3、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)歸納法思考題：思考題：（1）數(shù)學(xué)歸納法能證明什么樣類型的命題？）數(shù)學(xué)歸納法能證明什么樣類型的命題？（2）數(shù)學(xué)歸納法有幾個(gè)步驟？每個(gè)步驟說明什么問）數(shù)學(xué)歸納法有幾個(gè)步驟？每個(gè)步驟說明什么問 題？題？（3）為什么這些步驟缺一不可？）為什么這些步驟缺一不可？（4）數(shù)學(xué)歸納法是完全歸納

7、法還是不完全歸納法？）數(shù)學(xué)歸納法是完全歸納法還是不完全歸納法？ （二）、數(shù)學(xué)歸納法的步驟（二）、數(shù)學(xué)歸納法的步驟根據(jù)根據(jù)(1)(2)知對任意的知對任意的 時(shí)命題成立。時(shí)命題成立。0n nn n且注：注：（1）證明當(dāng)證明當(dāng) 取第一個(gè)值取第一個(gè)值 或或 時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確n00(12)n n （2）假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) 時(shí)結(jié)論正時(shí)結(jié)論正0(,)nk knkn且確，并證明當(dāng)確，并證明當(dāng) 時(shí)結(jié)論也正確。時(shí)結(jié)論也正確。1n k 兩個(gè)步驟缺一不可：僅靠第一步不能說明結(jié)兩個(gè)步驟缺一不可：僅靠第一步不能說明結(jié)論的普遍性；僅有第二步?jīng)]有第一步，就失論的普遍性；僅有第二步?jīng)]有第一步，就失去了去了遞推的依據(jù)遞推的依據(jù)。只

8、有把第一、二步的結(jié)論結(jié)合在一起才能得只有把第一、二步的結(jié)論結(jié)合在一起才能得出普遍性結(jié)論。因此完成一二兩步后，還要出普遍性結(jié)論。因此完成一二兩步后，還要做一個(gè)做一個(gè)總的結(jié)論總的結(jié)論。（3 3）數(shù)學(xué)歸納法用來證明與）數(shù)學(xué)歸納法用來證明與正整數(shù)正整數(shù)有關(guān)的命題。有關(guān)的命題。（1）（2）數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用題型一題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題題型二題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題題型三題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題題型四題型四 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題題題型五題型五 用數(shù)學(xué)歸納法解決探究性

9、問題用數(shù)學(xué)歸納法解決探究性問題2)1(6)12)(1( kkkk證明：證明：1、當(dāng)、當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左左=12=1，右，右=n=1時(shí)，等式成立時(shí)，等式成立2、假設(shè)、假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即時(shí)，等式成立，即那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)左左=12+22+k2+(k+1)2= =右右n=k+1時(shí)，原等式成立時(shí)，原等式成立由由1、2知當(dāng)知當(dāng)n n*時(shí)，原等式都成立時(shí)，原等式都成立16)12)(11(1 6)32)(2)(1(6)1(6)12)(1(2 kkkkkkk6)12)(1(3212222 kkkk6)12)(1(3212222nnnn例例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明第二步的證明要用上

10、歸納假設(shè)!題型一題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題第二步的證明要用上歸納假設(shè)!)(1) 1(1321211nnnnnn，等式均成立。）可知，對一切正整數(shù)）（由（時(shí)等式成立。即右邊左邊時(shí)，當(dāng)時(shí)等式成立，即）假設(shè)當(dāng)（右邊，等式成立；，左邊，右邊時(shí)，左邊）當(dāng)（2111) 1(121211)2111()3121()211 (11) 1(14313212112212111knkkkkkkkknkkkkknn用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：證明： 請你來批作業(yè)請你來批作業(yè)第二步的證明沒有用上歸納假設(shè)!右邊左邊21)2)(1() 1()2)(1(1)2()2)(1(112kkkkkkkkkkk

11、kk例例3、已知正數(shù)數(shù)列、已知正數(shù)數(shù)列an中中,前前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為sn,且且 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明:.12nnnaas. 1nnan證證:(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí), =1,結(jié)論成立結(jié)論成立.111, 11)1(211211111aaaasa(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)時(shí),結(jié)論成立結(jié)論成立,即即. 1kkak則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),.)111(21)1(21kkkkkaaskkk).0(1012)1(21111211111kkkkkkkkkakkaakakaassa故當(dāng)故當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),結(jié)論也成立結(jié)論也成立.根據(jù)根據(jù)(1)、(2)知知,對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n,結(jié)論都成立結(jié)論都成立.第

12、二步的證明要用上歸納假設(shè)!(1)在第二步中在第二步中,證明證明n=k+1命題成立時(shí)命題成立時(shí),必須用到必須用到 n=k命題成立這一歸納假設(shè)命題成立這一歸納假設(shè),否則就打破數(shù)學(xué)否則就打破數(shù)學(xué) 歸納法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系歸納法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系,造成推理無造成推理無 效效. 證明中的幾個(gè)注意問題：證明中的幾個(gè)注意問題：(2)在第一步中的初始值在第一步中的初始值不一定從不一定從1取起取起，證明時(shí)，證明時(shí) 應(yīng)根據(jù)具體情況而定應(yīng)根據(jù)具體情況而定.(3)在證明在證明n=k+1命題成立用到命題成立用到n=k命題成立時(shí)命題成立時(shí),要要 分析命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),分析分析“n=k+1時(shí)時(shí)”命題

13、是命題是什什 么，并找出與么，并找出與“n=k”時(shí)命題形式的差別時(shí)命題形式的差別.弄清弄清 應(yīng)增加的項(xiàng)應(yīng)增加的項(xiàng).1）明確首先取值）明確首先取值n0并驗(yàn)證命題真假（必不可少）；并驗(yàn)證命題真假（必不可少）；2）“假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題正確時(shí)命題正確”并寫出命題形式；并寫出命題形式；3）分析）分析“n=k+1時(shí)時(shí)”命題是什么，并找出與命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)命題形時(shí)命題形式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)；式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)；4）明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘）明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等；法公式、因式分解、添拆項(xiàng)

14、、配方等；5）兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不能成立：）兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不能成立：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：卡盟排行榜 卡盟 microsoft office powerpoint，是微軟公司的演示文稿軟件。用戶可以在投影儀或者計(jì)算機(jī)上進(jìn)行演示，也可以將演示文稿打印出來，制作成膠片，以便應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域中。利用microsoft office powerpoint不僅可以創(chuàng)建演示文稿，還可以在互聯(lián)網(wǎng)上召開面對面會議、遠(yuǎn)程會

15、議或在網(wǎng)上給觀眾展示演示文稿。 叫演題型二題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題題例例5、用數(shù)學(xué)歸納法證明、用數(shù)學(xué)歸納法證明:)., 2(2413212111*nnnnnn證證:(1)當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí), 左邊左邊= 不等式不等式 成立成立.,241324144131221121(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時(shí)不等式成立時(shí)不等式成立,即有即有: ,2413212111kkk則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),我們有我們有:)11221121(212111221121212) 1(11) 1(1kkkkkkkkkkk題型二題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題題.241

16、3) 22)(12(12413)221121(2413kkkk即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),不等式也成立不等式也成立.由由(1)、(2)原不等式對一切原不等式對一切 都成立都成立. 2, nnn例例6、證明不等式、證明不等式:*11112().23n nnn證證:(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊=1,右邊右邊=2, 不等式顯然成立不等式顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立時(shí)不等式成立,即有即有:,2131211kk則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),我們有我們有:,11211131211kkkk. 12112. 01121211)1(2)112(12kkkkkkkkkkkkk. 1211131211:k

17、kk故即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),不等式也成立不等式也成立.根據(jù)根據(jù)(1)、(2)可知可知,原不等式對一切正整數(shù)都原不等式對一切正整數(shù)都 成立成立.例例7、求證、求證:222111112(,2).23nn nnn 證證:(1)當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí),左邊左邊= ,右邊右邊= ,由于由于 故不等式成立故不等式成立. 45211223212,2345(2)假設(shè)假設(shè)n=k( )時(shí)命題成立時(shí)命題成立,即即 2, knk.12131211222kk則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),22222) 1(112) 1(1131211kkkk即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題成立命題成立.由由(1)、(2)原不等式對一切原不等式對一切 都

18、成立都成立. 2, nnn.112)111(12)1(112)1(1122kkkkkkkkk例例8、已知、已知x 1，且，且x 0，n n，n 2求證：求證：(1+x)n1+nx.（2）假設(shè)）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即時(shí)，不等式成立，即 (1+x)k1+kx當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)閤 1 ，所以，所以1+x0，于是，于是左邊左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右邊右邊=1+(k+1)x因?yàn)橐驗(yàn)閗x20，所以左邊右邊，即，所以左邊右邊，即(1+x)k+11+(k+1)x這就是說，原不等式當(dāng)這就是說，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立時(shí)

19、也成立根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)，原不等式對任何不小于，原不等式對任何不小于2的自然數(shù)的自然數(shù)n都成立都成立.證明證明： （1）當(dāng)）當(dāng)n=2時(shí)，左時(shí)，左(1x)2=1+2x+x2 x 0， 1+2x+x21+2x=右右 n=1時(shí)不等式成立時(shí)不等式成立例例9、已知、已知 求證求證 : . ,131211)(nnf)1(22)2(nnfn證證:(1)當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí), , 不等式成立不等式成立.22212124131211) 4()2(2 ff(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時(shí)不等式成立時(shí)不等式成立,即即.22)2(kfk則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí), 有有:.22) 1(21222122221221121

20、2221221121)2()2(1111kkkkffkkkkkkkkkk即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),不等式成立不等式成立.由由(1),(2)所證不等式對一切所證不等式對一切 都成立都成立. 2, nnn題型三題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例例11、用數(shù)學(xué)歸納法證明、用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)為正偶數(shù)時(shí),xn-yn能被能被x+y整除整除.證證:(1)當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí),x2-y2=(x+y)(x-y),即能被即能被x+y整除整除,故命故命 題成立題成立.(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=2k時(shí)時(shí),命題成立命題成立,即即x2k-y2k能被能被x+y整除整除.則當(dāng)則當(dāng)n=2k+2時(shí)時(shí)

21、,有有kkkkyyxxyx22222222)()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk 都能被都能被x+y整除整除.)()(2222yxyxyyxxkkk、故故x2k+2-y2k+2能被能被x+y整除整除,即當(dāng)即當(dāng)n=2k+2時(shí)命題成立時(shí)命題成立.由由(1)、(2)知原命題對一切正偶數(shù)均成立知原命題對一切正偶數(shù)均成立.例例12、用數(shù)學(xué)歸納法證明、用數(shù)學(xué)歸納法證明: 能被能被8 整除整除.)( 1325*1nnannn證證:(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),a1=5+2+1=8,命題顯然成立命題顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)時(shí),ak能被能被8整除整除,即即 是是8的倍數(shù)

22、的倍數(shù).13251kkka那么那么:) 13(45) 13(4) 1325(5132511111kkkkkkkkaa因?yàn)橐驗(yàn)閍k是是8的倍數(shù)的倍數(shù),3k-1+1是偶數(shù)即是偶數(shù)即4(3k-1+1)也是也是8的倍數(shù)的倍數(shù),所以所以ak+1也是也是8的倍數(shù)的倍數(shù),即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題成立命題成立.由由(1)、(2)知對一切正整數(shù)知對一切正整數(shù)n, an能被能被8整除整除.例例13、求證、求證:x3n-1+x3n-2+1能被能被x2+x+1整除整除.證證:(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí), x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,從而命題成立從而命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立時(shí)命題成立,

23、即即x3k-1+x3k-2+1能被能被 x2+x+1整除整除則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),x3(k+1)-1+x3(k+12+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1= x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1)因?yàn)橐驗(yàn)閤3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被都能被x2+x+1)-整除整除,所以上式右邊能被所以上式右邊能被x2+x+1整除整除.即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題成立命題成立.根據(jù)根據(jù)(1)、(2)知知,對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n,命題成立命題成立.題型四題型四 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題題例例15、平面內(nèi)有、

24、平面內(nèi)有n (n 2)條直線，任何兩條都不平行，任條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，問交點(diǎn)的何三條不過同一點(diǎn)，問交點(diǎn)的 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 為多少為多少?并證明并證明.)(nf2)1()( nnnf當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)：第時(shí)：第k+1k+1條直線分別與前條直線分別與前k k條直線各交于條直線各交于一點(diǎn)，共增加一點(diǎn)，共增加k k個(gè)點(diǎn)，個(gè)點(diǎn)，由由1 1）、）、2 2）可知，對一切）可知，對一切nnnn原命題均成立。原命題均成立。證明：證明：1 1）n=2n=2時(shí)：兩條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為時(shí)：兩條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,1, 而而f(2)= f(2)= 2 2(2-1)=1, (2-1)=1, 命題成立。命題成立。 21 k+1 k+1條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)=f(k)+k= k(k-1)+k=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)