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1、1第五章 留數(shù)n1 留數(shù)的概念與計算n2 用留數(shù)定理計算實(shí)積分n3 輻角原理與儒歇定理 21留數(shù)的概念與計算n1、留數(shù)的定義與留數(shù)定理11011111( )0( ).().().(). ().1( ),:0)2()1-1,( ).21( )()( ).2mnmnnnf zzaRf zczaczacc zaczaf zcdznNazaRizancf z dzif zzacf z dzi設(shè)函數(shù)在上解析,則其中:繞著 的圍線(在中,取即:的洛朗展開式中的系數(shù)為積分:或1( )2f z dzic者說:311011111( ).().().(). ().( ).().().221( )=01()mnmn
2、mmnf zczaczacc zaczaf z dzczadzczadziccinf zdznza另一方面,取上述的 ,對級數(shù)兩端積分,得其它項(xiàng)的積分均為零,只是剩下這是由于對于這樣的積分留下來的只1c有數(shù),我們將其稱為留數(shù)(殘數(shù))。4 定義5.1 設(shè)以為孤立奇點(diǎn),即 在 的去心鄰域內(nèi)解析,則稱積分 為在點(diǎn)的留數(shù)(Residue)記為: 1Res( )Res ( ); 2z af zf z af z dzi zfaaRaz0 Razdzzfi021,: zfa 1Re czfsaz5n定理6.1 (柯西留數(shù)定理)在圍線或復(fù)圍線所范圍的區(qū)域內(nèi),除 外解析,在閉域 上除 外連續(xù),則 zfCDnaa
3、a,21CDDnaaa,21 12Reskncz akf z dzif z61( )d2Res( ).knz akCf zzif z 柯西留數(shù)定理:Da1a2a3anC1C2C3CnC7n證:作圓周使全含于內(nèi)且兩兩不相交,則由柯西積分定理nkazkkk,21:D zfsidzzfzfkkaznknicRe211注:留數(shù)定理:求積分轉(zhuǎn)化為求留數(shù);將積分問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,即求洛朗展式的負(fù)一次冪的系數(shù)問題82、留數(shù)的求法求函數(shù)在奇點(diǎn)a處的留數(shù)即求它在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)洛朗級數(shù)中c-1(z-a)-1項(xiàng)的系數(shù)即可.如果a是f(z)的可去奇點(diǎn), 則Resf(z),a=0, 如果a是本性奇點(diǎn), 則沒有
4、太好的辦法, 只好將其按洛朗級數(shù)展開。如果a是極點(diǎn), 則有一些對求c-1有用的規(guī)則.9 留數(shù)的計算規(guī)則規(guī)則1 如果a為f(z)的一級極點(diǎn), 則0Res( )lim() ( ).1)zzz af zza f z(5111dRes ( ), lim()( )(1)!d.2)mmmzaf z azaf zmz(5規(guī)則2 如果a為f(z)的m級極點(diǎn), 則10事實(shí)上, 由于 f(z)=c-m(z-a)-m+.+c-2(z-a)-2+c-1(z-a)-1 +c0+c1(z-a)+., (z-a)mf(z)=c-m+c-m+1(z-a)+.+c-1(z-a)m-1+c0(z-a)m+.,111d()( )(
5、1)!()dmmmzaf zmca zazn令兩端za, 右端的極限是(m-1)!c-1, 兩端除以(m-1)!就是Resf(z),a, 因此即得(5.2), 當(dāng)m=1時就是(5.1)111213由規(guī)則1, 得1ch2)2e2e(2d1e.2e1elim1e)1(lim1),(Res2e1elim1e)1(lim1),(Res121121121iizzzzzzzzzfzzzzzzfCzzzzzzzzz因此14我們也可以用規(guī)則III來求留數(shù):.2e2e1),(Res;2e2e1),(Res111|zzzzzzzfzzzfn這比用規(guī)則1要簡單些.15160)41414141(2d1,414)()(
6、III,423izzzzzzzQzPC故由規(guī)則17例 3 計算積分Czzzzed) 1(2, C 為正向圓周|z|=2. 解 z=0 為被積函數(shù)的一級極點(diǎn), z=1 為二級極點(diǎn), 而 . 1) 1(lim) 1(lim0),(Res2020zezzezzfzzzz 18.2)01 (21),(Res0),(Res2d) 1(e. 0) 1(limeddlim) 1(e) 1(ddlim)!12(1 1),(Res3211221iizfzfizzzzzezzzzzzzfCzzzzzzz所以19n例4 計算 dzzzzIz22125解: 在圓周的內(nèi)部只有一級極點(diǎn)及二級極點(diǎn) 2125zzzzf2z0
7、z1z20n而由殘數(shù)定理,得 2125Re020zzzzzfs 2225Re1211zzzzzzzfs022212522idzzzzz21例5 計算 n解: 只以為一級極點(diǎn),而 zzzcossintan,1021kkz1cossintanRe2121kzkzzzzsdzzInzntan22n由留數(shù)定理得ninizsizdznkkznz422tanRe2tan2121233、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)(略)n定義5.2 設(shè)為的一個孤立奇點(diǎn),則稱為在的留數(shù)。記為: zf dzzfizfsz21Re zf 1Reczfsz24n定理5.2 若在擴(kuò)充平面上只有有限個孤立奇點(diǎn),設(shè)為則留數(shù)總和為0 zfz,naaa2
8、125n計算的殘數(shù)的方法: 2011ReRettfszfstz 1Reczfsz26n例6.5 計算 434221521zdzzzzI27n解:共有七個奇點(diǎn): 前6個根均在內(nèi)部,故izkz423210,kz4z zfsiIz Re228n而故 。從而 423422161523112112111zzzzzzzzf 1Re1czfsziI22 用留數(shù)定理計算實(shí)積分29.30利用留數(shù)計算定積分是復(fù)變函數(shù)一個重要應(yīng)用。1、被積函數(shù)-與某解析函數(shù)相關(guān)2、積分區(qū)域-化為某閉合路徑 考慮如下幾種形式的定積分一、計算 其中R為cos , sin有理函數(shù),并且在0, 2上連續(xù)。20d)sin,(cosR31若
9、R(cos,sin)為cos與sin的有理函數(shù). 可令 z=ei, 則dz=ieid, 12122220| | 1| | 111sin(ee)22211cos(ee)22211 d(co:s ,sin ),( )dc22ossiniiiizzizzziiizzzzzzzzREuler edRf zzzizizi當(dāng) :02 時,z沿著圓周z =1的正向繞行一周,故有32f(z)是z的有理函數(shù), 且在單位圓周|z|=1上分母不為零(沒有奇點(diǎn)), 根據(jù)留數(shù)定理有其中zk(k=1,2,.,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點(diǎn).22111( ),22zzf zRizziznkkzzzfizzf1
10、1|),(Res2d)(33例1 計算 ) 10(dcos212cos202pppI1|1|241|2122d)(d)(1 (21d22112zzzzzfzpzpzizzizzpzzpzzIn解 由于0p1, 被積函數(shù)的分母在02內(nèi)不為零, 因而積分是有意義的. 由于ncos2=(e2i+e2i)/2=(z2+z-2)/2, 因此34在被積函數(shù)的三個極點(diǎn)z=0,p,1/p中只有前兩個在圓周|z|=1內(nèi), 其中z=0為二級極點(diǎn), z=p為一級極點(diǎn).,21)(2)21)(1 (4)(lim)(1 (21ddlim0),(Res222222432202420ippzpppzzippzzzzpppzz
11、pzpzizzzzzfzz352222422224242212)1 (21212,)1 (21)(1 (21)(lim),(Res,210),(RespppippippiIpipppzpzizzpzpzfippzfpz因此3622022221222212221sin2(0)cos,(1)1412(1)22(1)(1)2()()izzzIdababzezdzIzizzabzizdzabzzbizdzbzzz例 :計算積分:解:命則372222222022022222210;1,1,1,110,(1)2Res( )2(1)(1)2Res( )()zzzzazzbaabaabbbzzzzzaf za
12、bzzbzabf zzzb , 為二次方程的兩個根,被積函數(shù)在上無奇點(diǎn)在內(nèi)有一個二階極點(diǎn)和一個一階極點(diǎn)故382222222222.iaabIibbbaabb由留數(shù)定理得:39n若R(cos,sin)為的偶函數(shù),還可以求如下形式的積分01(cos ,sin )(cos ,sin ).2(cos ,sin ).iRdRdzeRd和前面一樣,命可將積分化為單位圓周上的積分。40n例3:計算積分 解:因?yàn)榉e分號下的函數(shù)是x的偶函數(shù) 則 0cos54cosmxIdxxdxxmxIcos45cos1dxxmxIcos45sin2dxxeiIIimxcos4521dxxmxIcos45cos21命41n設(shè),
13、則ixez 11221)2)(21(2)1 (251zmzmdzzzzidzzzziiII421212123)(Re22mzzfsiiiII0,23211IIm321211mII4344取積分路線如圖所示, 其中CR是以原點(diǎn)為中心, R為半徑的在上半平面的半圓周. 取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)zk都包在這積分路線內(nèi).CRz1z2z3yRROx45此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.),(Res2)(d)(kCRRzzRidzzRxxRR)|(|210111011|1|1|1|1|1|1|1| )(|211111111足夠大時當(dāng) zzzzbzbzazazzbzbzaza
14、zzRnmmmnnnmmmnnnm46 ),(Resd)(,)(. ),(Res2d)(022d| )(|d)(.|2| )(|022kkRCCzzRixxRxRzzRixxRRRRszRzzRzzRRR為偶函數(shù)如果因此4748baabibbaiaiIabibbizRbaiaabaiabzazzaizaizRaiz)(2)(22.)(2),(Res,)(2)(2)()(lim),(Res2222222222222222493. 形如 的積分)0(de)(axxRaix2|( )|R zzn當(dāng)R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 且R(x)在實(shí)數(shù)軸上沒有奇點(diǎn)時, 積分是存在
15、的。n像2中處理的一樣, 由于m-n1, 故對充分大的|z|有z1z2z3yRROxCR50因此, 在半徑R充分大的CR上, 有)20(2sin)2 . 3 . 5(,e)(Res2de)(, 0)e1 (2de4de4de2de2d|e|)(|de)(20)/2(20sin0sin 上面用到不等式因此得kaizaixRaRaRaRaRCayCaizCaizzzRixxRaRsRszRzzRRRR51522222222222000( ).;1Re ( );2112222cossinizizaz aiaaixzf zezazaizaizaizs f z aieezaiIieexxxxxe dxd
16、xidxxaxaxa 考慮:有兩個奇點(diǎn)其中上半平面有一個奇點(diǎn),而53220220sin1de2cosd0axxxxaxxxxa因此順便得到:54課堂練習(xí):223133333cos3210( )21013,13(1 3 )( )6(13)(1 3 )2(cos1 3sin1)(3cos1 sin1)633iziziziixxdxxxzf zezzzizizei ef zizii eIieiei z=1+i例 : 計算I解:為兩個一階極點(diǎn),其中,在上半平面,所以Res553232cos(cos1 3sin1)2103sin(3cos1 sin1)2103xxdxexxxxdxexx實(shí)部和虛部分開得
17、到:564、雜例00sin:2sin1sin21( ),0.,( )0,( )( )( )( )01rRizCrRRCrCxDiricheltIdxxxxIdxdxCauchyxxf zezzCf z dzf z dzf z dzf z dzf z dz1、證明:積分證明:積分存在并且(取主值)考慮不滿足條件,因?yàn)樵趯?shí)軸上有奇點(diǎn)如圖所示作環(huán)路由柯西積分定理,有()57-RRr-rCrCRC58201( )0,2( )111(1( ).)( )( )211( )( )( )11;( )0,0RrrrrrrrrrizCCCizCCCCiiCCCef z dzRf z dzdzzeizizzzzzz
18、f z dzz dzdzz dzzzdzre idizrez dzMdsM rwhen r 、解析而590000010;0:0sinsinsinsin2ixixRreedxdxixxxxidxidxixxxdxxxdxx在()式兩端令得到602220002cossin( )( )( )( )0RizRCAOFensnelx dxx dxf zef x dxf z dzf z dz、 求積分:和解: 考慮函數(shù)為解析函數(shù),在圍線C上(如圖)有BAR/40CR61222440422002200( )(1)0,0.4, :0;22( )()222122cossin()22211cos;sin2222R
19、RRizRCCiiirAORCf z dze dzewhenRRAOzrer Rdze drf z dzeedriRx dxix dxix dxx dx 在上有估計:在上,命在()兩端令62n作業(yè):P164n1,2,15(1)(5)633 輻角原理與儒歇定理 n許多的數(shù)學(xué)物理問題都可以歸結(jié)為其特征方程的根的分布,或者特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布問題(線性系統(tǒng)),如二次方程的分類(微分方程、代數(shù)方程),工程控制中的微分方程的穩(wěn)定性問題,對數(shù)留數(shù)給我們提供了一個好方法。n一、對數(shù)留數(shù) 稱積分 為f(z)的對數(shù)留數(shù) ,這種稱呼,并不嚴(yán)格,其中 C為一圍線。 1(1)2Cfzdzif z64n計算(1)自然用
20、到留數(shù)定理,首先,分析被積函數(shù)的奇點(diǎn),顯然,f(z)的零點(diǎn)和奇點(diǎn)都可能是 的奇點(diǎn)。n引理6.4 (1)設(shè)為的級零點(diǎn),則 必 為函數(shù)的一級極點(diǎn),且a zfna zfzf nzfzfsazRe zfzf 65n(2)設(shè)為的級極點(diǎn), 則必為函數(shù)的一級極點(diǎn)。且b zfmb zfzf mzfzfsazRe11(1)( )()( ),( )( )0( )()( )()( )( )()( )()( )( )( )()( )()( )( )( )Re ( )nnnnnnnz af zzazazafzn zazzazfzn zazzaznzf zzazzazzazfzsnf z證明:在 的某鄰域內(nèi),解析,661( )( ), ( )( )0,()( )Re ( )mz af zzzazafzsmf z 解析,同樣分析:67n證:(1)若為
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