第一章1.4生活中的優(yōu)生問題舉例.doc

1、第一章導數(shù)及其應用1.4生活中的優(yōu)生問題舉例A 級基礎鞏固一、選擇題1圓的面積 S 關于半徑 r 的函數(shù)是 Sr2，那么在 r4 時面積的變化率是 ()A8B12C8 D12解析：因為 S2r，所以 S(4)248.答案： C2把長度為 8 的線段分成四段，圍成一個矩形，矩形面積的最大值為()A2B4C 8D以上都不對解析：設矩形的長為 x，則寬為 82x4x，2所以矩形面積為Sx(4x) x2 4x，所以 S 2x4，令 S0，得 x2，所以矩形的最大面積為S2(42)4.答案： B3某煉油廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如1328(0x5)，那果第 x 小時，原油溫度 (單位：

2、 )為 f(x)3x x么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是()20A8 B. 3 C 1 D 8解析： 原油溫度的瞬時變化率為f(x) x2 2x (x 1)2 1(0x5)，所以當x1 時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值1.答案： C4設底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為 ()3333A. VB. 2VC. 4VD2 V解析：設底面邊長為 x，則表面積 S3 243V， 2 xx(x 0)S333 x2(x 4V)令 S0，得唯一極值點 x4V.答案： C5要制作一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高為 ()3103A.3cmB.3cm16

3、3203C.3cmD.3cm解析：設圓錐的高為x，則底面半徑為202 x2，其體積為 V11 2)，令 V0，解得 x2032)，0x20，V 3.3x(400x3(400 3x20 3當 0x 3 時， V 0；20 3當 3 x20 時， V0，20 3所以當 x3時， V 取最大值答案： D二、填空題6某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤 (單位：萬元 )分別為 L1 5.06x0.15x2 和 L2 2x，其中 x 為銷售量 (單位：輛)，若該公司在這兩地共銷售 15 輛車，則能獲得的最大利潤為 _解析：設甲地銷售 x 輛，則乙地銷售 (15x)輛則總利潤 L5.06x0.15x22

4、(15x) 0.15x2306x30(x 0)令 L 0.3x3.060，得 x 10.2.所以當 x 10 時，L 有最大值 45.6.答案： 45.6 萬元7內(nèi)接于半徑為R 的球且體積最大的圓錐的高為_解析：設圓錐高為 h，底面半徑為 r，則 R2(hR)2 r2，所以r2 2Rhh2，12222 34 2所以 V h ) 3h， V3rh3h(2Rh3Rh3Rh h .4令 V0，得 h3R.當 0h4時， ；當4R時，因此當43RV03 h2RV0.h3R時，圓錐體積最大4答案： 3R8某公司一年購買某種貨物400 噸，每次購買 x 噸，運費為 4萬元 /次，一年的總存儲費為 4x 萬

5、元，要使一年的總運費與總存儲費之和最小，則 x_400解析：設該公司一年內(nèi)總共購買n 次貨物，則 n x ，1 600所以總運費與總存儲費之和(單位：萬元 )f(x)4n4xx1 6004x，f(x)4x2 ，令 f(x)0，解得 x20(20 舍去 )，當 0x20時， f(x)0，當 200.所以 x20 是函數(shù) f(x)的極小值點，也是最小值點，故當x20時，運費與總存儲費之和最小答案： 20三、解答題9.如圖所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海的同側，乙廠位于離海岸40 km 的 B 處，乙廠到海岸的垂足 D 與 A 相距 50 km.兩廠要在此岸邊A，

6、D 之間合建一個供水站 C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a 元和 5a 元，則供水站 C 建在何處才能使水管費用最省？解：設 C 點距 D 點 xkm，則 AC50x(km) ，所以 BCBD2 CD2x2402(km)又設總的水管費用為y 元，依題意，得 y3a(50x) 5ax2402(0x50)5axy 3ax2402.令 y0，解得 x30.在(0，50)上，y 只有一個極小值點，根據(jù)問題的實際意義，函數(shù)在 x 30 km 處取得最小值，此時 AC50 x20(km)故供水站建在 A， D 之間距甲廠 20 km 處，可使水管費用最省10.一個帳篷，它下部的形狀是高為1

7、 m 的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為 3 m 的正六棱錐 (如圖 )問當帳篷的頂點O 到底面中心O1 的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設 OO1 為 x m(1x 4)，底面正六邊形的面積為 S m 2，帳篷的體積為 V m3.則由題設可得正六棱錐底面邊長為32（ x1） 2822xx2(m)，于是底面正六邊形的面積為S6 43(82xx2)23 2 3(82xx2)(m2)，所以帳篷的體積為V 133 2 3(8 2xx2)(x 1) 32 3(8 2x x2) 32 3(8 2xx2) 13（ x1） 1 23(1612x x3)(m3)，求導數(shù)，得 V 23(123x2)令 V0，

8、解得 x 2(舍去 )或 x 2.當 1x2 時， V 0；當 2x4 時， V0， y x24(2 x)(2 x)，令 y0，解得x2，所以 x(0，2)時， y 0，x(2，)時， y0)3 96 所以 y250x x2 .令 y0，解得 x20.因為當 x(0，20)時， y0，此時函數(shù)單調遞增，所以當 x20 時， y 取得最小值，即此輪船以 20 km/h 的速度行駛時，每千米的費用總和最小答案： 203時下，網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢，假設某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套 )與銷售價格x(單位：元 /套)滿足的關系式y(tǒng)xm24(x6)

9、2，其中 2x6，m 為常數(shù)已知銷售價格為4 元/套時，每日可售出套題 21 千套(1)求 m 的值；(2)假設網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2 元 (只考慮銷售出的套數(shù) )，試確定銷售價格 x 的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大 (保留 1 位小數(shù) )解： (1)因為 x4 時， y21，代入關系式 yxm24(x6)2，得 m21621，解得 m10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量yx1024(x6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x) (x 2)10 4（x 6）2 10 4(x 6)2(x 2) 4x3 x256x2240x278(2x6)，從而 f (x)12x2112x2404(3x10)(x