1直線和平面垂直與平面和平面垂直2課時(shí)1

1、【知識梳理知識梳理】1直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定 類別類別 語言表述語言表述 應(yīng)應(yīng) 用用 判判 定定 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直條直線都垂直, 那么這條直線和這個(gè)平那么這條直線和這個(gè)平面垂直面垂直 證直線和平面垂證直線和平面垂直直 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直交直線都垂直, 那么這條直線垂直于這那么這條直線垂直于這個(gè)平面?zhèn)€平面 證直線和平面垂證直線和平面垂直直 如果兩條平行直線中的一條垂直于一如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面?zhèn)€平面,那么另一條也垂直于同一個(gè)平那么另一條也垂直于同

2、一個(gè)平面面 證直線和平面垂證直線和平面垂直直 【知識梳理知識梳理】2直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的性質(zhì)bababa ba類別類別語言表述語言表述圖圖 示示字母表示字母表示應(yīng)應(yīng) 用用性性質(zhì)質(zhì)如果一條直線和如果一條直線和一個(gè)平面垂直一個(gè)平面垂直,那么這條直線和那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂何一條直線都垂直直 a b證兩證兩條直條直線垂線垂直直如果兩條直線同如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面垂直于一個(gè)平面, 那么這兩條直線那么這兩條直線平行平行a b證兩證兩條直條直線平線平行行【知識梳理知識梳理】3兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)aaba oaaba oal

3、alaal類類語言表述語言表述圖圖 示示字母表示字母表示應(yīng)應(yīng) 用用判判定定根據(jù)定義證明兩根據(jù)定義證明兩平面所成的二面角平面所成的二面角是直二面角是直二面角 aob是二面角是二面角 a 的平面角，的平面角，且且 aob=90 ，則，則 證證兩兩平平面面垂垂直直如果一個(gè)平面經(jīng)過如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直平面互相垂直 性性質(zhì)質(zhì)如果兩個(gè)平面垂直，如果兩個(gè)平面垂直，那么它們所成二面那么它們所成二面角的平面角是直角的平面角是直角角 ， aob是二是二面角面角 a 的平面的平面角，則角，則 aob=90 證兩證兩條直條直線垂線垂直直如果兩個(gè)平

4、面垂直，如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)直線垂直于另一個(gè)平面平面 a 證直證直線和線和平面平面垂直垂直【知識梳理知識梳理】 4三垂線定理和三垂線定理的逆定理三垂線定理和三垂線定理的逆定理 名稱名稱語言表述語言表述字母表示字母表示應(yīng)應(yīng) 用用三垂三垂線定線定 理理在平面內(nèi)的一條在平面內(nèi)的一條直線直線,如果和這如果和這個(gè)平面的一條斜個(gè)平面的一條斜線的射影垂直線的射影垂直,那么它也和這條那么它也和這條斜線垂直斜線垂直.證兩直線垂證兩直線垂直直作點(diǎn)線距作點(diǎn)線距作二面角作二面角 的平面角的平面角三垂三垂線定線定理的理的逆定逆定理理在平面內(nèi)的

5、一條在平面內(nèi)的一條直線直線,如果和這如果和這個(gè)平面的一條斜個(gè)平面的一條斜線垂直線垂直,那么它那么它也和這條斜線的也和這條斜線的射影垂直射影垂直.同同 上上poaaoaapaaoapoaapa例例1已知：正方體已知：正方體abcda1b1c1d1(如圖所示如圖所示)(1)求證：求證：b1dbc1；(2)求證：求證：b1d面面acd1；(3)若若b1d與面與面acd1交于交于o，求證：，求證： do ob11 2.考點(diǎn)一考點(diǎn)一直線與直線垂直直線與直線垂直o【思路導(dǎo)引】證明線線垂直，可利用線面垂直證明線線垂直，可利用線面垂直的性質(zhì)，而證明線面垂直，可利用線面垂直的判的性質(zhì)，而證明線面垂直，可利用線面

6、垂直的判定定【證明證明】(1)abcda1b1c1d1為正方體，為正方體，dc面面bcc1b，dcbc1，bcc1b1為正方形，為正方形，bc1b1c.又又dcb1cc，bc1平面平面b1cd，bc1b1d.(2)(1)中證明了體對角線中證明了體對角線b1d與面對角線與面對角線bc1垂直，同理可證：垂直，同理可證：b1dad1，b1dac.b1d平面平面acd1.(3)設(shè)設(shè)ac與與bd的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為o，則平面則平面bb1d1d與平面與平面acd1的交線為的交線為od1，則則od1與與b1d的交點(diǎn)即為的交點(diǎn)即為o，【方法探究方法探究】證明線線垂直的常用方法有：證明線線垂直的常用方法有：(1)利

7、用定義：同一平面內(nèi)相交成直角時(shí)，兩利用定義：同一平面內(nèi)相交成直角時(shí)，兩直線互相垂直，異面直線成直角時(shí)，兩條異面直線互相垂直，異面直線成直角時(shí)，兩條異面直線互相垂直直線互相垂直(2)利用線面垂直：一條直線與一平面垂直，利用線面垂直：一條直線與一平面垂直，這條直線垂直于平面內(nèi)任一直線這條直線垂直于平面內(nèi)任一直線(3)利用向量：把證明兩直線垂直問題轉(zhuǎn)化為利用向量：把證明兩直線垂直問題轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量垂直的問題兩直線的方向向量垂直的問題2對于四面體對于四面體abcd，給出下列四個(gè)命題，給出下列四個(gè)命題若若abac，bdcd，則，則bcad；若若abcd，acbd，則，則bcad；若若abac，b

8、dcd，則，則bcad；若若abcd，bdac，則，則bcad.其中正確的是其中正確的是_解析：解析：對于命題對于命題，取，取bc的中點(diǎn)的中點(diǎn)e.如圖如圖(1)所所示，示，連結(jié)連結(jié)ae、de，則，則bc面面aed，bcad，對于命題對于命題，過過a向平面向平面bcd做垂線做垂線ao(如圖如圖(2)所示所示)連結(jié)連結(jié)bo與與cd交于交于e，則，則cdbe，同理，同理cfbd.o為為bcd垂心，連垂心，連do，則，則bcdo，bcao，bcad.答案：答案：例例2 如圖所示，如圖所示，p為為abc所在平面外一點(diǎn)，所在平面外一點(diǎn)，且且pa平面平面abc，若，若o、q分別為分別為abc和和pbc的垂心

9、的垂心求證：求證：oq平面平面pbc.【思路導(dǎo)引】此題關(guān)鍵此題關(guān)鍵是在平面是在平面pbc內(nèi)找出兩條內(nèi)找出兩條相交直線與相交直線與oq垂直垂直考點(diǎn)二考點(diǎn)二直線與平面垂直直線與平面垂直【證明】如圖，連結(jié)如圖，連結(jié)ao并延長交并延長交bc于于e，連結(jié)連結(jié)pe，o為為abc的垂心，的垂心，aebc.pa面面abc，bc面面abc，pabc.paaea，bc面面pae.又又bc面面pbc，面面pbc面面pae，pe面面pae，bcpe，而，而q為為pbc的的垂心，垂心，qpe，即，即oq面面pae，bcoq.連結(jié)連結(jié)bo并延長交并延長交ac于于f，連結(jié)，連結(jié)bq并延長交并延長交pc于于h，連，連fh.o

10、為為abc的垂心，的垂心，bfac.又又pabf，acbf，paaca，bf面面pac.而而pc面面pac，bfpc，又又bhpc，bfbhb，pc面面bfh，而而oq面面bfh，pcoq，又又pcoq，bcoq，pcbcc，oq平面平面pbc.【方法探究方法探究】欲證欲證oq平面平面pbc，只要證，只要證明明oq與平面與平面pbc中兩相交直線垂直，因?yàn)橹袃上嘟恢本€垂直，因?yàn)閜a平面平面abc，又因?yàn)?，又因?yàn)閛、q均為三角形的垂均為三角形的垂心，因此可得到一系列的線線、線面垂直關(guān)心，因此可得到一系列的線線、線面垂直關(guān)系而線線垂直、線面的垂直關(guān)系又可相互轉(zhuǎn)系而線線垂直、線面的垂直關(guān)系又可相互轉(zhuǎn)化

11、，即可由線線垂直證得線面垂直，由線面垂化，即可由線線垂直證得線面垂直，由線面垂直又證得線線垂直直又證得線線垂直1如圖所示，直三棱柱如圖所示，直三棱柱abca1b1c1中，中，acbc1，acb90，a1a ，d是是a1b1的中點(diǎn)的中點(diǎn)(1)求證：求證：c1d平面平面abb1a1；(2)在在bb1上找一點(diǎn)上找一點(diǎn)f，使，使ab1平面平面c1df，并，并說明理由說明理由6(1)證明：證明：abca1b1c1是直三棱柱，是直三棱柱，aa1平面平面a1b1c1.又又c1d平面平面a1b1c1，c1da1a，又又a1c1b1c1acbc1，d是是a1b1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，c1da1b1，c1d平面平面ab

12、b1a1.(2)解析：解析：作作deab1于于e，延長，延長de交交bb1于于f，連結(jié)連結(jié)c1f，則，則ab1平面平面c1df，這是因?yàn)檫@是因?yàn)閍b1df，ab1c1d，dfc1dd，所以，所以ab1平面平面c1df.【練習(xí)【練習(xí)2 2】如圖，四邊形如圖，四邊形abcdabcd為正方形，為正方形，sasa平面平面abcdabcd，過過a a且垂直且垂直scsc的平面分別交的平面分別交sbsb、scsc、sdsd于于e e、f f、g g，求證：求證：aesbaesb，agsd.agsd. 【練習(xí)【練習(xí)3 3】如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱abc-a1b1c1中，底面中，底面abc是直角三角形

13、，是直角三角形，abc=900，2ab=bc=bb1=a，且且a1cac1=d，bc1b1c=e，截面，截面abc1與截面與截面a1b1c交于交于de.（1）a1b1平面平面bb1c1c；（；（2）求證：）求證：a1cbc1；（3）求證：）求證：de平面平面bb1c1c.如圖，四棱錐如圖，四棱錐pabcd中，底面中，底面abcd是是dab60的菱形，側(cè)面的菱形，側(cè)面pad為正為正三角形，其所在平面垂直于底面三角形，其所在平面垂直于底面abcd.(1)求證：求證：adpb；(2)若若e為為bc邊的中點(diǎn)，能否在邊的中點(diǎn)，能否在棱棱pc上找到一點(diǎn)上找到一點(diǎn)f，使平面，使平面def平面平面abcd，并

14、證明，并證明你的結(jié)論你的結(jié)論考點(diǎn)三考點(diǎn)三平面與平面垂直平面與平面垂直(1)【證明證明】如圖，取如圖，取ad的中點(diǎn)的中點(diǎn)g，連接，連接pg，bg，bd.pad為等邊三角形，為等邊三角形，pgad，又又平面平面pad平面平面abcd，pg平面平面abcd.在在abd中，中，dab60，adab，abd為等邊三角形，為等邊三角形，bgad，ad平面平面pbg，adpb.(2)【解析解析】連接連接cg，de，且，且cg與與de相交相交于于h點(diǎn)，點(diǎn)，在在pgc中作中作hfpg，交交pc于于f點(diǎn)，連接點(diǎn)，連接df，fh平面平面abcd，平面平面dhf平面平面abcd.h是是cg的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，f是是pc的

15、中點(diǎn)，的中點(diǎn)，在在pc上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn)f，即為，即為pc的中點(diǎn)，使得的中點(diǎn)，使得平面平面def平面平面abcd. 【方法探究方法探究】證明直線和平面垂直，關(guān)鍵是證明直線和平面垂直，關(guān)鍵是尋找面內(nèi)的兩相交直線與已知直線垂直證明尋找面內(nèi)的兩相交直線與已知直線垂直證明兩平面垂直常轉(zhuǎn)化為線面垂直，利用判定定理兩平面垂直常轉(zhuǎn)化為線面垂直，利用判定定理來證明，也可作出二面角的平面角，證明平面來證明，也可作出二面角的平面角，證明平面角為直角，利用定義來證明角為直角，利用定義來證明如圖，正方形如圖，正方形abcd和四邊形和四邊形acef所在的平所在的平面互相垂直，面互相垂直，efac，ab ，ceef1.

16、(1)求證：求證：af平面平面bde；(2)求證：求證：cf平面平面bde.【練習(xí)練習(xí)1】2所以四邊形所以四邊形agef為平行四邊形，為平行四邊形，所以所以afeg.因?yàn)橐驗(yàn)閑g平面平面bde，af 平面平面bde，所以所以af平面平面bde.(2)連結(jié)fg.因?yàn)閑fcg，efcg1，且ce1，所以四邊形cefg為菱形所以cfeg.因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形，所以bdac.(10分)又因?yàn)槠矫鎍cef平面abcd，且平面acef平面abcdac，所以bd平面acef.所以cfbd又bdegg.所以cf平面bde【練習(xí)練習(xí)2】 如下圖，過如下圖，過s引三條長度相等但不共面的引三條長度相等但不共面

17、的線段線段sa、sb、sc，且，且asb=asc=60，bsc=90，求證：平面，求證：平面abc平面平面bsc.sbcao練習(xí)練習(xí)3 3：如圖如圖平面，四邊形是平面，四邊形是矩矩 形，、分別是、形，、分別是、的中點(diǎn)的中點(diǎn). .) )求平面與平面所成二面角的大?。磺笃矫媾c平面所成二面角的大??； ) )求證：平面求證：平面平面平面 pa【練習(xí)【練習(xí)4 4】如圖如圖,四棱錐四棱錐p-abcd的底面是矩形的底面是矩形,pa 平面平面abcd,e,f分別是分別是ab,pd的中點(diǎn)的中點(diǎn),又二面角又二面角p-cd-b為為45。1)求證求證:af/平面平面pec2)求證求證:平面平面pec 平面平面pcd3

18、) 設(shè)設(shè)ad=2,cd= ,求點(diǎn)求點(diǎn)a到平面到平面pec的距離的距離22【練習(xí)練習(xí)5】 已知正三棱柱已知正三棱柱abca1b1c1，若過面對角，若過面對角線線ab1與另一面對角線與另一面對角線bc1平行的平面交上底面平行的平面交上底面a1b1c1的一邊的一邊a1c1于點(diǎn)于點(diǎn)d.（1）確定）確定d的位置，并證明你的結(jié)論；的位置，并證明你的結(jié)論；（2）證明：平面）證明：平面ab1d平面平面aa1d；（3）若）若ab aa1= ，求平面，求平面ab1d與平面與平面ab1a1所所成角的大小成角的大小.2aabbcc111【知識方法總結(jié)知識方法總結(jié)】 1.線面垂直關(guān)系的判定和證明線面垂直關(guān)系的判定和證明, 要注意線線垂直關(guān)系要注意線線垂直關(guān)系, 面面垂直關(guān)系與它之間的相互轉(zhuǎn)化面面垂直關(guān)系與它之間的相互轉(zhuǎn)化.2.運(yùn)用三垂線定理及其逆定理的關(guān)鍵在于先確定線、運(yùn)用三垂線定理及其逆定理的關(guān)鍵在于先確定線、斜線在平面上的射影，而確定射影的關(guān)鍵又是斜線在平面上的射影，而確定射影的關(guān)鍵又是“垂垂足足”，如果