高中數(shù)學排列與組合

1、問題一：問題一：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學中選出名同學中選出2 2名去參名去參加某天的一項活動，其中加某天的一項活動，其中1 1名同學參加上午的名同學參加上午的活動，活動，1 1名同學參加下午的活動，有多少種不名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？同的選法？問題二：問題二：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學中選出名同學中選出2 2名去參名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？加某天一項活動，有多少種不同的選法？236a 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3情境創(chuàng)設情境創(chuàng)設從已知的從已知的3個不同個不同元素中每元素中每次取出次取出2個元素個元素 , ,并成一組并

2、成一組問題問題2從已知的從已知的3 個不同個不同元素中每元素中每次取出次取出2個元素個元素 , ,按照一定按照一定的順序排的順序排成一列成一列. .問題問題1排列排列組合組合有有順順序序無無順順序序 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素）個元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個個不同元素中取出不同元素中取出m個元素的一個個元素的一個組合組合 排列與組合的排列與組合的概念有什么共概念有什么共同點與不同點？同點與不同點？ 概念講解概念講解組合定義組合定義: :組合定義組合定義: : 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個個元素元素并成

3、一組并成一組，叫做從，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個元素的一個個組合組合排列定義排列定義: : 一般地，從一般地，從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m (mn) 個個元素，元素，按照一定的順序排成一列按照一定的順序排成一列，叫做從，叫做從 n 個不同元素個不同元素中取出中取出 m 個元素的一個個元素的一個排列排列. .共同點共同點: : 都要都要“從從n個不同元素中任取個不同元素中任取m個元素個元素” ” 不同點不同點: : 排列排列與元素的順序有關，與元素的順序有關， 而組合而組合則與元素的順序無關則與元素的順序無關. .概念講解概念講解思考一思考一: :ab

4、b與與b ba是相同的排列還是相同的組合是相同的排列還是相同的組合? ?為什么為什么? ?思考二思考二: :兩個相同的排列有什么特點兩個相同的排列有什么特點? ?兩個相同的組合呢兩個相同的組合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列順序相同）元素排列順序相同.元素相同元素相同概念理解概念理解 構造排列分成兩步完成，先取后排；而構造構造排列分成兩步完成，先取后排；而構造組合就是其中一個步驟組合就是其中一個步驟.思考三思考三: :組合與排列有聯(lián)系嗎組合與排列有聯(lián)系嗎? ?判斷下列問題是組合問題還是排列問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題? ? (1)(1)設集合設集合a=a,b,c,d,e，則

5、集合，則集合a的含有的含有3 3個元素的子集有個元素的子集有多少個多少個? ?(2)(2)某鐵路線上有某鐵路線上有5 5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票車票? ? 有多少種不同的火車票價？有多少種不同的火車票價？組合問題組合問題排列問題排列問題(3)10(3)10名同學分成人數(shù)相同的數(shù)學和英語兩個學習小組名同學分成人數(shù)相同的數(shù)學和英語兩個學習小組, ,共有共有多少種分法多少種分法? ?組合問題組合問題(4)10(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候, ,共需握手共需握手多少次多少次? ?組合問題組合問題

6、(5)(5)從從4 4個風景點中選出個風景點中選出2 2個游覽個游覽, ,有多少種不同的方法有多少種不同的方法? ?組合問題組合問題(6)(6)從從4 4個風景點中選出個風景點中選出2 2個個, ,并確定這并確定這2 2個風景點的游覽順序個風景點的游覽順序, ,有多少種不同的方法有多少種不同的方法? ?排列問題排列問題組合問題組合問題組合是選擇的結果，排列組合是選擇的結果，排列是選擇后再排序的結果是選擇后再排序的結果.1.1.從從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合分別是合分別是: :ab , ac , bc 2.2.已知已知4 4個元

7、素個元素a , b , c , d , ,寫出每次取出兩個元素的寫出每次取出兩個元素的所有組合所有組合. .ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3(3個個) )(6(6個個) )概念理解概念理解 從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素的個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的組合數(shù)組合數(shù)，用符號，用符號 表示表示. .mnc233c 246c 如如: :從從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數(shù)是有組合個數(shù)是

8、: :如如: :已知已知4 4個元素個元素a 、b 、 c 、 d ,寫出每次取出兩個寫出每次取出兩個元素的所有組合個數(shù)是：元素的所有組合個數(shù)是：概念講解概念講解組合數(shù)組合數(shù): : 是一個數(shù)，應該把它與是一個數(shù)，應該把它與“組合組合”區(qū)別開來區(qū)別開來 mnc1.寫出從寫出從a,b,c,d 四個元素中任取三個元素的所有組合。四個元素中任取三個元素的所有組合。abc ， abd ， acd ， bcd .bcddcbacd組合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd

9、 dbcbdc cdb dcb不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)？不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)？你發(fā)現(xiàn)了你發(fā)現(xiàn)了什么什么?可分兩步考慮：求p34ppc333434 34a求可分兩步考慮：34 4c第一步，（）個；33 6a第二步，（）個；333.434 caa根據(jù)分步計數(shù)原理，334343aca從而mnc如何計算如何計算: :組合數(shù)公式組合數(shù)公式 排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系根據(jù)分步計數(shù)原理，得到：根據(jù)分步計數(shù)原理，得到：因此：因此： 一般地，求從一般地，求從 個不同元素中取出個不同元素中取出 個元素的排個元素的排列數(shù)，可以分為以下列數(shù)

10、，可以分為以下2步：步： nm 第第1步，先求出從這步，先求出從這 個不同元素中取出個不同元素中取出 個元素個元素的組合數(shù)的組合數(shù) mncnm第第2步，求每一個組合中步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù)個元素的全排列數(shù) mnammmmnmnaca!121mmnnnnaacmmmnmn 這里 ，且 ，這個公式叫做 *nnm、nm 概念講解概念講解組合數(shù)公式組合數(shù)公式:(1)(2)(1)!mmnnmman nnnmcam 從從 n 個不同元中取出個不同元中取出m個元素的排列數(shù)個元素的排列數(shù) mmmnmncaa!()!mnncm nm01.nc我們規(guī)定：概念講解概念講解例例1 1計算：計算： 47c

11、 710c32(3) , nnnca已知求例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球隊舉行單循環(huán)賽，支足球隊舉行單循環(huán)賽，(1)(1)列出所有各場比賽的雙方；列出所有各場比賽的雙方；（2)2)列出所有冠亞軍的可能情況列出所有冠亞軍的可能情況. .（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙?。┘滓?、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙(1) (1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：例題分析例題分析(4)(4)求求38-n3n3n21+nc+c的值.例3.11cmnmcmnmn:求證,! :）

12、（！證明mnmncmn)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmcmn)!1)(! )!1(1mnmnnmm.! )( !cmnmnmn 例例1：一位教練的足球隊共有：一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽。按照足球比賽規(guī)則，比賽時前沒有一人參加過比賽。按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是一個足球隊的上場隊員是11人。問：人。問： （1）這位教練從這）這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上名學員中可以形成多少種學員上場方案？場方案？（2）如果在選出）如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守名上場隊員時，還要確定其中的守門員，

13、那么教練員有多少種方式做這件事情？門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？例例3.(1)3.(1)凸五邊形有多少條對角線？凸五邊形有多少條對角線？(2)(2)凸凸n n（ n3n3）邊形有多少條對角線？）邊形有多少條對角線？例例2.(1)2.(1)平面內有平面內有1010個點，以其中每個點，以其中每2 2個點為端點的線個點為端點的線段共有多少條？段共有多少條？ (2) (2)平面內有平面內有1010個點，以其中每個點，以其中每2 2個點為端點的有向個點為端點的有向線段共有多少條？線段共有多少條？例例4：在：在100件產品中有件產品中有98件合格品，件合格品，2件次品。產品件次品。產品檢驗時檢驗

14、時,從從100件產品中任意抽出件產品中任意抽出3件。件。(1)一共有多少種不同的抽法一共有多少種不同的抽法?(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少種件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少種件是次品的抽法有多少種?(4)抽出的抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少種？件中至多有一件是次品的抽法有多少種？說明：說明：“至少至少”“”“至多至多”的問題，通常用分類的問題，通常用分類法或間接法求解。法或間接法求解。按下列條件，從按下列條件，從12人中選出人中選出5人，有多少種不同選法？人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必

15、須當選；）甲、乙、丙三人必須當選；（2）甲、乙、丙三人不能當選；）甲、乙、丙三人不能當選；（3）甲必須當選，乙、丙不能當選；）甲必須當選，乙、丙不能當選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當選；）甲、乙、丙三人只有一人當選；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人當選；人當選；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人當選；人當選；323936c c 0539126c c 1419126c c 1439378c c 231405393939(5)756c cc cc c方法一：5321239756cc c方法二：322314393939(6)666c cc cc c方法一：505123

16、9666cc c方法二：例例5 5、某醫(yī)院有內科醫(yī)生、某醫(yī)院有內科醫(yī)生1212名，外科醫(yī)生名，外科醫(yī)生8 8名，現(xiàn)要名，現(xiàn)要派派5 5人參加支邊醫(yī)療隊，至少要有人參加支邊醫(yī)療隊，至少要有1 1名內科醫(yī)生和名內科醫(yī)生和1 1名名外科醫(yī)生參加，有多少種選法？外科醫(yī)生參加，有多少種選法？例例6：（1）平面內有）平面內有9個點，其中個點，其中4個點在一條直線個點在一條直線上，此外沒有上，此外沒有3個點在一條直線上，過這個點在一條直線上，過這9個點可確個點可確定多少條直線？可以作多少個三角形？定多少條直線？可以作多少個三角形？（2）空間）空間12個點，其中個點，其中5個點共面，此外無任何個點共面，此外無

17、任何4個個點共面，這點共面，這12個點可確定多少個不同的平面？個點可確定多少個不同的平面？例例7 7、有翻譯人員、有翻譯人員1111名，其中名，其中5 5名僅通英語、名僅通英語、4 4名僅通名僅通法語，還有法語，還有2 2名英、法語皆通?，F(xiàn)欲從中選出名英、法語皆通?，F(xiàn)欲從中選出8 8名，其名，其中中4 4名譯英語，另外名譯英語，另外4 4名譯法語，一共可列多少張不同名譯法語，一共可列多少張不同的名單？的名單？例例8、8雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（1）4只鞋

18、子恰有兩雙；只鞋子恰有兩雙；（2） 4只鞋子沒有成雙的；只鞋子沒有成雙的；（3） 4只鞋子只有一雙。只鞋子只有一雙。2、從、從6位同學中選出位同學中選出4位參加一個座談會，要求張、王兩人中位參加一個座談會，要求張、王兩人中至多有一個人參加，則有不同的選法種數(shù)為至多有一個人參加，則有不同的選法種數(shù)為 。32328778.()()a cccc32328778.()()b cccc32328778.c c cc c3218711.dc c c3、要從、要從8名男醫(yī)生和名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選名女醫(yī)生中選5人組成一個醫(yī)療隊，如果人組成一個醫(yī)療隊，如果其中至少有其中至少有2名男醫(yī)生和至少有名男醫(yī)生和至少

19、有2名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù)名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù)為（為（ ）4、從、從7人中選出人中選出3人分別擔任學習委員、宣傳委員、體育委員，人分別擔任學習委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（ ）2353. ac a3353.2b c a35.c a233535.2d c aa1、把、把6個學生分到一個工廠的三個車間實習，每個車間個學生分到一個工廠的三個車間實習，每個車間2人，人，若甲必須分到一車間，乙和丙不能分到二車間，則不同的分若甲必須分到一車間，乙和丙不能分到二車間，則不同的分法有法有 種種 。99cd5、在如圖、在如圖7

20、x4的方格紙上（每小方格均為正方形）的方格紙上（每小方格均為正方形） （1）其中有多少個矩形？）其中有多少個矩形？ （2）其中有多少個正方形？）其中有多少個正方形？排列排列組合組合組合的概念組合的概念組合數(shù)的概念組合數(shù)的概念組合是選擇的組合是選擇的結果，排列是結果，排列是選擇后再排序選擇后再排序的結果的結果聯(lián)系聯(lián)系小結小結一個口袋內裝有大小相同的一個口袋內裝有大小相同的7個白球和個白球和1個黑球個黑球 從口袋內取出從口袋內取出3個球，共有多少種取法？個球，共有多少種取法？ 從口袋內取出從口袋內取出3個球，使其中含有個球，使其中含有1 1個黑球，有個黑球，有多少種取法？多少種取法？ 從口袋內取出

21、從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少個球，使其中不含黑球，有多少種取法？種取法？5638c 2127c 3537c解：解：（1） 性質性質2 我們可以這樣解釋：我們可以這樣解釋：從口袋內的從口袋內的8個球中所取出的個球中所取出的3個球，可以分為個球，可以分為兩類：一類兩類：一類含有含有1個個黑球，一類不含黑球，一類不含有黑球因此根據(jù)分類計數(shù)原理，有黑球因此根據(jù)分類計數(shù)原理，上述等式成立上述等式成立 我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)：38c27c37c為什么呢為什么呢ccmnmn1 :證明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn

22、!) 1(!)!1(mnmn.1cmncccmnmnmn11性質性質2 注注:1 公式特征：下標相同而上標差公式特征：下標相同而上標差1的兩個組合數(shù)的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多之和，等于下標比原下標多1而上標與原組合數(shù)上標而上標與原組合數(shù)上標較大的相同的一個組合數(shù)較大的相同的一個組合數(shù) 2 此性質的作用：恒等變形，簡化運算在今后學此性質的作用：恒等變形，簡化運算在今后學習習“二項式定理二項式定理”時，我們會看到它的主要應用時，我們會看到它的主要應用cccmnmnmn11例計算：例計算：329999( 1 ) ;cc332898( 2) .2ccc16170012398991003100

23、 c563828283838)(2ccccc;11111)1( ccccmnmnmnmn.21211)2( ccccmnmnmnmn例例2 求證求證:.111111)1(ccccccmnmnmnmnmnmn .)()(2121111111)2( ccccccccccmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn例例3、6本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法；本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法；（1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；（2）分成三份，每份兩本；）分成三份，每份兩本；（3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本

24、；本；（4）分給甲、乙、丙）分給甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本；（5）分給甲、乙、丙）分給甲、乙、丙3人，每人至少一本；人，每人至少一本；（6）分給）分給5個人，每人至少一本；個人，每人至少一本；（7）6本相同的書，分給甲乙丙三人，每人至少一本。本相同的書，分給甲乙丙三人，每人至少一本。練習：練習：(1)今有今有10件不同獎品件不同獎品,從中選從中選6件分成三份件分成三份, 二份各二份各1件件,另一份另一份4件件, 有多少種分法有多少種分法?(2) 今有今有10件不同獎品件不同獎品,從中選從中選6件分給甲乙丙三人件分給甲乙丙三人,每每人二件有多少種分法

25、人二件有多少種分法?解解: (1)(2)641111062123150cccc62221064218900cccc例例4、某城新建的一條道路上有、某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（盞燈，可以熄滅的方法共有（ ）（a） 種（種（b） 種種 （c） 種種 （d） 種種38c38a39c311c三、混合問題，先三、混合問題，先“組組”后后“排排”例例5 對某種產品的對某種產品的6件不同的正

26、品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一進行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次一一進行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn)次測試時全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法則這樣的測試方法有種可能？有種可能？解：由題意知前解：由題意知前5次測試恰有次測試恰有4次測到次品，且第次測到次品，且第5次測試是次品。故有：次測試是次品。故有： 種可能。種可能。576441634acc練習：練習：1、某學習小組有、某學習小組有5個男生個男生3個女生，從中選個女生，從中選3名名男生和男生和1名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有1人參加

27、，則有不同參賽方法人參加，則有不同參賽方法_種種.解：采用先組后排方法解：采用先組后排方法:312353431080ccca2、3 名醫(yī)生和名醫(yī)生和 6 名護士被分配到名護士被分配到 3 所學校為學生所學校為學生體檢體檢,每校分配每校分配 1 名醫(yī)生和名醫(yī)生和 2 名護士名護士,不同的分配方不同的分配方法共有多少種法共有多少種?解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）223364540c c a解法二：依次確定到第一、第二、第三所學校去的醫(yī)解法二：依次確定到第一、第二、第三所學校去的醫(yī)生和護士生和護士.5401)()(24122613cccc四、分類組合四、分類組合,隔板處理隔板處理例例6、 從從6個學校中選出個學校中選出30名學生參加數(shù)學競賽名學生參加數(shù)學競賽,每每校至少有校至少有1人人,這樣有幾種選法這樣有幾種選法?分析分析:問題相當于把個問題相當于把個30相同球放入相同球放入6個不同盒