定積分在幾何上的應(yīng)用

1、定積分的元素法一、什么問題可以用定積分解決一、什么問題可以用定積分解決 ? 二二 、如何應(yīng)用定積分解決問題、如何應(yīng)用定積分解決問題 ? 表示為niiixfu10)(lim1) 所求量 u 是與區(qū)間a , b上的某函數(shù) f (x) 有關(guān)的2) u 對區(qū)間 a , b 具有可加性 , 即可通過“分割分割, 近似近似, 求和求和, 取極限取極限”baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義一個整體量 ;第一步第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的微分表達式xxfud)(d第二步第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的積分表達式uxxfbad)(這種分析方法成為元

2、素法元素法 (或微元法微元法)近似值精確值四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積三、已知平行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 1. 直角坐標情形直角坐標情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfad)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfabad)(邊梯形面積為 a ,右圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfabad)()(21xxxdxxy22oy4 xyxy22與直線的面積 . 解解: 由xy224 xy

3、得交點)4,8( , )2,2()4,8(yyyad)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有yyyd42aabxoyx12222byax解解: 利用對稱性 , xyadd所圍圖形的面積 . 有axya0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當 a = b 時得圓面積公式xxd)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tada解解:ttad)cos1 ( t

4、tad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20axyoa2,0)(, ,)(c設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2a所求曲邊扇形的面積為d)(212a 對應(yīng) 從 0 變解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20a22a331022334a到 2 所圍圖形面積 . 2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對稱性 ,)

5、0()cos1 (aar2221aa22221aad)2cos21cos223(所求面積)243(2122aa22245aa ar 2定義定義: 若在弧 ab 上任意作內(nèi)接折線 ,0m1imimnmabyox當折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 ab 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iimm1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.ni 10lims則稱sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs)()()(ttytx弧長元素(弧微分

6、) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(弧微分) :ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22

7、ta02a8xyoa2設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為a(x), ,)(baxa在則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxavd)(d因此所求立體體積為xxavbad)(xabxxxd)(xa上連續(xù),xyoabxyoab)(xfy 2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時, 有軸繞xbxaxfy)()(xdbxav 當考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有2)(yyddycv xxoy)(yxcdya2柱殼體積xxxdy也可按柱殼法求出yvyx2柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxvayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td

8、02并與底面交成 角,222ryx解解: 如圖所示取坐標系, 則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xrxa)(rxrrxxrv022dtan)(2123231tan2xxr0rtan323r利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .orxyxxyoab設(shè)平面光滑曲線, ,)(1bacxfy求上的圓臺的側(cè)面積位于d,xxxsysd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfsbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abxxyo)(xfy abxsysd2d側(cè)

9、面積元素xyd2sddx2dy x的線性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積s 的 )(2ttttd)()(22s側(cè)面積為xryo上繞在,21222rrxxxryxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 s .解解: 對曲線弧,2122xxxxry應(yīng)用公式得212xxs22xr 2 122xrxxd21d2xxxr)(212xxr當球臺高 h2r 時, 得球的表面積公式24rs1x2xozyx一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 s .解解: 利用對稱性2022sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn) taytax33sin,cos1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程極坐標方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標方程上下限按順時針方向確定直角