讓初中學(xué)生利用幾何畫板學(xué)數(shù)學(xué)的一些嘗試

1、讓初中學(xué)生利用幾何畫板學(xué)數(shù)學(xué)的一些嘗試 王松萍 計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的運(yùn)用，信息時(shí)代的來臨，正在給教育帶來深刻的變化，教育技術(shù)的更新也更新了教學(xué)手段、教學(xué)方法。全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，現(xiàn)代信息技術(shù)要“致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去”。幾何畫板是一個(gè)適用于幾何教學(xué)的軟件，它給人們提供了一個(gè)觀察幾何圖形的內(nèi)在關(guān)系，探索幾何圖形奧妙的環(huán)境。它以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過對(duì)這些基本元素的變換、構(gòu)造、測(cè)量、計(jì)算、動(dòng)畫、跟蹤軌跡等，構(gòu)造出其它較為復(fù)雜的圖形。幾何畫板操作簡(jiǎn)單，容易學(xué)，被譽(yù)為二十一世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何。我們學(xué)校把幾何畫板作為校本課程，

2、學(xué)生進(jìn)入初中后，我們利用十課時(shí)左右的時(shí)間教學(xué)生掌握幾何畫板中的簡(jiǎn)單作圖、變換、度量等基本功能，我們讓學(xué)生自己動(dòng)手做課件、設(shè)計(jì)作品，試圖利用幾何畫板幫學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生更樂意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，收到了意想不到的效果。一、用幾何畫板設(shè)計(jì)圖案，使學(xué)生更樂意投入到現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去在全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中增加了能靈活運(yùn)用軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，能運(yùn)用任意一個(gè)三角形、四邊形或正六邊形這幾種圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì)。并將這些內(nèi)容貫穿在七年級(jí)到八年級(jí)的三冊(cè)書中。（北師大版數(shù)學(xué)（七年級(jí)上冊(cè)）第四章平面圖形及其位置關(guān)系第八節(jié)圖案設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)（七年級(jí)下冊(cè)）第五章三角形第三節(jié)圖案設(shè)計(jì)，第七章生活中的軸對(duì)稱第

3、四節(jié)利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)第四節(jié)簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)，第四章四邊形性質(zhì)探索第七節(jié)平面圖形的密鋪）圖案設(shè)計(jì)豐富了學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，并且它有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，在服裝設(shè)計(jì)、家居裝修等領(lǐng)域都要用到圖案設(shè)計(jì)。案例1：北師大數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）第四章四邊形性質(zhì)探索第七節(jié)平面圖形的密鋪中的“讀一讀”：用多邊形及其組合可以拼成許多漂亮的密鋪圖案。下面的圖案是現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的密鋪圖案的一部分。欣賞這些圖案，你能發(fā)現(xiàn)哪些多邊形或其組合可以密鋪。，你能利用幾種多邊形，通過組合進(jìn)行密鋪嗎？我要求每位學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)密鋪的圖案，但收到的作業(yè)質(zhì)量不是很好，只有美術(shù)

4、功底較好的學(xué)生的作品還算可以。還發(fā)現(xiàn)學(xué)生用紙筆等傳統(tǒng)工具，不是很樂意去完成圖案設(shè)計(jì)作業(yè)。于是我就想利用學(xué)生已經(jīng)會(huì)用的幾何畫板，讓他們完成圖案設(shè)計(jì)的作業(yè)，沒想到這一改，竟使學(xué)生完成的作業(yè)美不勝收，即使是數(shù)學(xué)功底不好的學(xué)生，也完成的相當(dāng)出色。以下是收集的一些同學(xué)的作品。在這里，學(xué)生自由發(fā)揮，利用反射、旋轉(zhuǎn)、圖形組合及色彩搭配等各種方法，充分展示了自己對(duì)幾何圖形的闡述。如最后一個(gè)圖案，學(xué)生的靈感來自本節(jié)“隨堂練習(xí)”第2題：利用習(xí)題3.7所得的“魚”形圖案能否進(jìn)行密鋪？“魚”形圖案是由正三角形剪拼得到的，用“魚”形圖案可以密鋪得到漂亮的圖案，用正三角形也一定行。下圖是它的操作步驟，在第一步畫正三角形時(shí)

5、要用到“旋轉(zhuǎn)”，從第五步以后要用到“反射”，學(xué)生們?cè)谠O(shè)計(jì)中體味到了“用數(shù)學(xué)”帶來的快樂。拖動(dòng)第三步圖形中的任意一個(gè)點(diǎn)的位置，可以改變最終的圖案（如下圖），學(xué)生也體會(huì)到利用幾何畫板進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)的快捷與便利。二、運(yùn)用幾何畫板開展探究，使學(xué)生更樂意投入到探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去探究性學(xué)習(xí)是區(qū)別于直接接受性學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)形式，它是指學(xué)生在好奇心的驅(qū)使下，以問題為導(dǎo)向，有高度智力投入且內(nèi)容和形式都十分豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)。目前，信息技術(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用主要還停留在教師制作課件、學(xué)生接受學(xué)習(xí)的層面上。幾何畫板給學(xué)生提供了一個(gè)探究的平臺(tái)，能夠快速的度量線段的長度和角的度數(shù)，利用圖形中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，能夠更直觀的讓學(xué)生觀察

6、變化、產(chǎn)生猜想、驗(yàn)證結(jié)論。用幾何畫板進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)使學(xué)生成為真正的主人，從而形成研究數(shù)學(xué)的積極態(tài)度。案例2：北師大版數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）第六章a組復(fù)習(xí)題第1題：將正方形的四個(gè)頂點(diǎn)用線段相連，什么樣的連法最短？研究發(fā)現(xiàn)，并非對(duì)角線最短，而是如圖的連法最短（即用線段ae，de，ef，bf，cf把四個(gè)點(diǎn)連接起來）。如圖已知dae=ade=30，aef=bfe=120，你能證明此時(shí)abef嗎？學(xué)生對(duì)如何“研究發(fā)現(xiàn)，并非對(duì)角線最短，而是如圖的連法最短”感興趣，問我：“到底是怎么研究發(fā)現(xiàn)的？我們初中生也能通過研究發(fā)現(xiàn)嗎？”我建議學(xué)生利用幾何畫板試一試，為什么連接正方形四個(gè)頂點(diǎn)的線段數(shù)恰好是五條時(shí)長度和最?。?/p>

7、點(diǎn)e、f為什么要擺在如圖的位置？1、如果用四條線段連接，一定要過中心在正方形abcd所在平面上取一點(diǎn)m，度量am、bm、dm、cm的長度，計(jì)算它們的和，拖動(dòng)m點(diǎn)，觀察長度和的變化情況。學(xué)生很快猜得m為ac和bd的交點(diǎn)時(shí)，長度和最?。ó?dāng)正方形邊長為3cm時(shí)，長度和約為8.61cm）。這個(gè)猜測(cè)，很容易用“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明(證明過程略)。度量課本中圖形中的線段和（當(dāng)正方形邊長為3cm時(shí)，長度和約為8.32cm）的情況，學(xué)生發(fā)現(xiàn)確實(shí)用五條線段連接比用四條要好。用六條線段呢？2、六條線段的情況可以轉(zhuǎn)化為五條線段通過多次嘗試，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，移動(dòng)圖中的q點(diǎn)，只引起兩條線段長度pq、qc的改變（

8、移動(dòng)o點(diǎn)或p點(diǎn)都會(huì)引起三條線段長度的改變），比較容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。當(dāng)o、p不動(dòng)時(shí)，通過拖動(dòng)點(diǎn)q，發(fā)現(xiàn)當(dāng)p、q、c三點(diǎn)共線時(shí)，長度和最小，這個(gè)結(jié)論也可以用“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明，從而發(fā)現(xiàn)，用六條線段連接的情況可以轉(zhuǎn)化為五條線段連接的情況。當(dāng)用七條以上的線段連接正方形的頂點(diǎn)時(shí)，情況多種多樣，非常復(fù)雜。在學(xué)生們嘗試的幾種情況中，都能夠用固定一些點(diǎn)，變動(dòng)一個(gè)點(diǎn)的方法，化曲為直，變?yōu)榫€段數(shù)較小的情況。本人認(rèn)為，該問題的徹底解決，需要用到圖論的知識(shí)，這是我的初中學(xué)生力所不能及的。學(xué)生們?cè)陔娔X上對(duì)各種情形進(jìn)行嘗試后，雖然沒有列舉出所有的情況，但已經(jīng)確信用五條線段連接的情況比用六條以上的線段連接要好

9、（指的是連接正方形四個(gè)頂點(diǎn)的線段總長度的最小值最?。?。下面只要研究用五條線段連接的情況。3、結(jié)論是可以猜到的在五條線段連接正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的情況中，學(xué)生們一時(shí)找不到觀察的方向，是問題中的“如圖已知dae=ade=30，aef=bfe=120”給了他們靈感，要從角度方面觀察，從而想到度量角度。如圖（1），f點(diǎn)不動(dòng)，拖動(dòng)點(diǎn)e，通過多次嘗試，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)aef=def=aed時(shí)，線段和較小（如圖（2）。如圖（3），e點(diǎn)不動(dòng)，拖動(dòng)點(diǎn)f，發(fā)現(xiàn)當(dāng)bfe=cfe=cfb時(shí)，線段和較小（如圖（4）。重復(fù)以上兩個(gè)步驟，經(jīng)過若干次的逐步調(diào)整，aef、def、def、bfe、cfe、cfb大致都是120，此時(shí)線段和不

10、再變小（這與計(jì)算機(jī)的計(jì)算精度有關(guān)）。圖（2）中的點(diǎn)e就是adf的費(fèi)爾馬點(diǎn)，但學(xué)生不知道這個(gè)結(jié)論。事后我表揚(yáng)了學(xué)生，“你們利用幾何畫板發(fā)現(xiàn)了法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬發(fā)現(xiàn)的結(jié)論費(fèi)爾馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離和最小”。學(xué)生們限于知識(shí)，還不能證明自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，但通過在幾何畫板上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生們不再對(duì)課本上的說法“研究發(fā)現(xiàn)，并非對(duì)角線最短，而是如圖的連法最短”感到奇怪，而是深深體會(huì)到：“我也可以研究發(fā)現(xiàn)”。學(xué)生的探究活動(dòng)也不是完美無缺的，學(xué)生們遺漏了用三條線段連接正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的情況，最終學(xué)生也沒有給出一個(gè)完整的證明。但重要的是通過探究式活動(dòng)培養(yǎng)了學(xué)生研究數(shù)學(xué)的自覺性和自信心，有些學(xué)生又對(duì)“用線段連接正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，連接正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)，什么時(shí)候線段的長度和最小”開展了探究。在這個(gè)內(nèi)容的備課中教師考慮的不是講什么、怎樣講，而是如何創(chuàng)設(shè)探究情境，如何組織學(xué)生進(jìn)行協(xié)作學(xué)習(xí)和交流。一開始我就提醒學(xué)生從連接四點(diǎn)的線段數(shù)分類討論，讓學(xué)生明確了探究方向，降低了探究難度，也是探究活動(dòng)能夠順利進(jìn)行的關(guān)鍵。要使學(xué)生在數(shù)