四邊形復(fù)習(xí)提綱經(jīng)典題型解析匯總

1、四邊形復(fù)習(xí)提綱經(jīng)典題型解析匯總四邊形復(fù)習(xí)提綱【知識要點】1、四邊形的內(nèi)角和等于10, n邊形的內(nèi)角和等于(-2)1800,任意多邊形的外角和等于360,n邊形的對角線條數(shù)為n(-3)/.2、平行四邊形性質(zhì):（）平行四邊形的對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分；(2)平行四邊形是中心對稱圖形.判定：(1)定義判定； (2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； (3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； (）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、矩形性質(zhì)：（1)具有平行四邊形的所有性質(zhì)； （)四個角都是直角; （3)對角線相等（推論：直角三角斜邊

2、上的中線等于斜邊的一半);(4)既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形; (5）其面積等于兩條鄰邊的乘積.判定：(）定義判定； (2)有三個角是直角的四邊形； （3）對角線相等的平行四邊形.、菱形性質(zhì):(1)具有平行四邊形的所有性質(zhì);(2)四條邊相等；()對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角;（4）既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形;（5）其面積等于兩條對角線長乘積的一半(適用于所有對角線互相垂直的四邊形）. 判定:（1)定義判定;（2)四條邊相等的四邊形;(3）對角線互相垂直的平行四邊形、正方形性質(zhì)：具有矩形、菱形的一切性質(zhì).判定:()定義判定;（2）先判定四邊形為矩形，再判定它也是菱形；

3、 （3）先判定四邊形為菱形,再判定它也是矩形.6、等腰梯形性質(zhì)：(1）兩腰相等；(2)兩條對角線相等; (3)同一底上的兩個底角相等；(4)是軸對稱圖形判定：(1）在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形;(2)對角線相等的梯形是等腰梯形.7、平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.推論：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰。推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線,必平分第三邊。8、兩個中位線定理三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半梯形的中位線定理:梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半（

4、推論:梯形面積等于中位線長與高的乘積）.、中心對稱定義：強調(diào)必須旋轉(zhuǎn)180 重合。定理:（1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱中心平分（存在逆定理)10、各種四邊形之間的相互關(guān)系。【方法總結(jié)】與多邊形的角度、邊數(shù)、對角線數(shù)有關(guān)的問題,一般運用公式列方程解決。、分清各種四邊形的聯(lián)系與區(qū)別,明白定義、性質(zhì)與判定方法的正確使用（可以根據(jù)條件與結(jié)論的前后順序確定）。、對角線是研究四邊形的常用輔助線,它既可以把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，又可以充分體現(xiàn)四邊形的所有特征。4、梯形中常添加輔助線,將其轉(zhuǎn)化為平行四邊形或者三角形：（1)過較短底的頂點作梯

5、形的高;（2)過一個頂點作腰的平行線;(3）過一個頂點作一條對角線的平行線；（)延長兩腰相交; (5)連結(jié)上底的一個頂點與另一腰的中點,并延長與下底的延長線相交.梯形常用的輔助線如下圖:5、遇到有關(guān)中點的問題,?？紤]構(gòu)造中位線,或者使用“倍長中線法”.6、解決折疊問題,抓住“折疊前后重合的圖形關(guān)于折痕所在直線對稱”這一關(guān)鍵。7、“雙重對稱圖形”判斷妙著：一個軸對稱圖形，畫出一條對稱軸后，如果能畫出與它垂直的另一條對稱軸，那么這個軸對稱圖形同時也是中心對稱圖形,垂足即為對稱中心；如果能畫不出與它垂直的另一條對稱軸,那么這個軸對稱圖形一定不是中心對稱圖形8、求特殊圖形的面積，通常需要添加輔助線把它

6、轉(zhuǎn)化為規(guī)范圖形，轉(zhuǎn)化的方法主要有“割”、“補”兩種9、在眾多的定理中，要嚴(yán)格區(qū)分有無逆定理，比如平行線等分線段定理就不存在逆定理。【典型例題剖析】【例】若一凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和,則它的邊數(shù)是_.剖析：設(shè)此凸多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式,以及“外角和等于00”的推論,列方程,得(n - 2)180 =3600.解得 n=4.【例2】下列圖案既是中心對稱,又是軸對稱的是( ） a. b. c. d.剖析：由“方法總結(jié)”第7條，易知選a【例3】下列命題中，真命題是( ）.有兩邊相等的平行四邊形是菱形 b.有一個角是直角的四邊形是矩形.四個角相等的菱形是正方形 d.兩條對角線互相

7、垂直且相等的四邊形是正方形剖析:由各類平行四邊形的判定方法可知，a、b、d都不對，它們分別缺少了 “兩鄰邊”、“平行四邊形”、“對角線互相平分”等條件；c中四邊形的四個角相等，均為00，必是矩形，既是矩形又是菱形的四邊形當(dāng)然是正方形。故選c.【例】如圖，ab的周長為16m，ac、d相交于點，ea交ad于e,則ce的周長為( ） a4 b.6cmc8cm d10cm剖析:由題意知，+cd8cm。ab中,a、d互相平分，則e為c的垂直平分線，所以c=a。因此，dc的周長=d+eccdee+cad+d=cm。故選c【例5】如圖,在abcd中,o是對角線c的中點,過點o作a的垂線與邊ac、bd分別交于

8、e、f，求證:四邊形e是菱形.剖析:解題時,注意區(qū)分判定定理與性質(zhì)定理的不同使用ac中,ac，12. 又a=cof,ao=.aoco,e=fo 四邊形ac是平行四邊形 . 又efc，ace是菱形.【例6】如圖，已知四邊形c是正方形，對角線、d相交于o，四邊形aefc是菱形，hac，垂足為h.求證:fc剖析:容易證得,四邊形hobe是矩形，則eh bo b a = fc.【例7】探究規(guī)律:如圖1，已知直線,a、b為直線上的兩點，、p為直線上的兩點。()請寫出圖中面積相等的各對三角形: 。（2）如果a、b、c為三個定點,點p在上移動，那么無論點移動到任何位置總有: 與ac的面積相等; 理由是: 。

9、圖1 圖2 圖3如圖2，五邊形abcde是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖,經(jīng)過多年開墾荒地,現(xiàn)已變成如圖3所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路(圖中折線cd）還保留著,張大爺想過點修一條直路,直路修好后,要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多。請你用有關(guān)的幾何知識,按張大爺?shù)囊笤O(shè)計出修路方案。(不計分界小路與直路的占地面積)(1）寫出設(shè)計方案，并在圖3中畫出相應(yīng)的圖形;（)說明方案設(shè)計理由。剖析：本題從一個簡單幾何原理入手，逐步深入探究，并用它解決實際問題,較好地體現(xiàn)了新時期的教學(xué)理念“創(chuàng)新”與“應(yīng)用”兩大主旋律。（)a和abp, c和b,cpa和cpb分別面積相等。（）因為平行

10、線間的距離相等,所以無論點p在上移動到任何位置，總有ab與c同底等高,因此,它們的面積總相等. abcdefmn解決問題：()畫法如圖.連結(jié)ec， 過點d作dc, 交cm于點f， 連結(jié)ef, ef即為所求直路的位置 ()設(shè)ef交d于點h,由上面得到的結(jié)論，可知：sf=scd, sfseh.五邊形abcs五邊形bf,五邊形edcmn=s四邊形efmn【例8】采用如圖所示的方法，可以把梯形cd折疊成一個矩形nm(圖中e,fn,em為折痕）,使得點a與b、c與d分別重合于一點.請問，線段ef的位置如何確定;通過這種圖形變化,你能看出哪些定理或公式(至少三個）？證明你的所有結(jié)論.提示：ef為梯形bd的

11、中位線，可以看出梯形的中位線定理、面積公式、等腰三角形的性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)定理等等。基礎(chǔ)題型.如圖在平行四邊形中,求這個平行四邊形各內(nèi)角的度數(shù)解：四邊形是平行四邊形,由于故設(shè),則即解得 因此, 平行四邊形各內(nèi)角度數(shù)分別是,，.已知平行四邊形的周長為,，相交于,且的周長比的周長小于，如圖,求平行四邊形各邊的長解:四邊形為平行四邊形 ，,的周長=的周長=且的周長比的周長小于 又平行四邊形的周長為 ，3如圖，已知:在平行四邊形中，是對角線,于，于 求證: 證明:方法一:四邊形是平行四邊形 , , 方法二:連接，交于四邊形是平行四邊形,又，而()如圖所示,在平行四邊形中，,分別是，延長線上的點,且

12、,則與具有怎么樣的位置關(guān)系？試說明理由解:證明：方法一:在平行四邊形中,，,，又方法二連接，交于在平行四邊形中, ()方法三.連接，交于，連接，由方法二知,四邊形為平行四邊形5.如圖，已知是平行四邊形對角線的交點,，那么的周長為_解：根據(jù)平行四邊形對角線互相平分以及對邊相等的性質(zhì)可知,，的周長為 6如圖平行四邊形中，與交于，則該圖形中的平行四邊形的個數(shù)共有（ ). b c. d由題意可知圖中的平行四邊形分別是:，,，,，所以共有個如圖,平行四邊形中，平分交于，交的延長線于，,交于,交延長線于,垂足為，試證明:證明:四邊形為平行四邊形 , ，, ， 平分, （) ，, , 8.如圖，已知:,分別

13、在的各邊上，,延長到，使.求證:與互相平分.證明：連接, ， 四邊形是平行四邊形 ,又 ,而 四邊形為平行四邊形 與互相平分9如圖，已知是的邊的中點，是上的一點,試說明：與互相平分 證明：連接，,四邊形為平行四邊形,是中點，四邊形為平行四邊形與互相平分.如圖，點,分別在平行四邊形的邊，上,且，,，垂足分別為,求證：與互相平分證明:連接,四邊形是平行四邊形,， 四邊形是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）與互相平分如圖,與互相平分,交點為，與互相平分，交點為，那么,四邊形是平行四邊形么?你是怎么判定的?解：四邊形是平行四邊形證明:連接,，,與互相平分四邊形是平行四邊形，與互相平分

14、四邊形是平行四邊形,四邊形是平行四邊形.如圖，已知,是的高,是的中點.求證：證明：，是的高, ,均為直角三角形 是的中點 是斜邊上的中線,是斜邊上的中線 ， .如圖，先將矩形紙片對折一次折痕為,展開后又將紙片折疊使點落在上，此時折痕為,求度數(shù)的大小提示：根據(jù)題意得過點作,垂足為則，(直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半,反過來也成立）.過矩形對角線的中點作分別交,于,，點為的中點,若,求證:證明：連接四邊形是矩形是線段的垂直平分線 ,是中點 在矩形，,將矩形折疊,使點與點重合，折痕為,在展開,求折痕的長解：, 由勾股定理可得根據(jù)題意有,設(shè)，由勾股定理,即 解得，（提示:對角線互相垂直的四邊

15、形面積等于對角線乘積的一半）已知：如圖，是矩形對角線的交點,平分，,求的度數(shù)答案:提示為等腰直角三角形，為等邊三角形，為等腰三角形 ,，如圖,為過的直角頂點的直線，且于，于點，,為的中點，求證：證明：連接為直角三角形，為斜邊的中點，,又() ,為的中點,即又，（)總結(jié):在直角三角形中，出現(xiàn)中點時，常見的輔助線是斜邊上的中線以及中位線.如圖是菱形邊的中點，于,交的延長線于,交于,求證:與互相平分證明：四邊形是菱形 , (） (）， 即與互相平分方法二:連接，由，得，則且四邊形為平行四邊形 與互相平分.如圖，在中,，是的平分線,交于點,是邊上的高，交于,于求證：四邊形是菱形證明：是的平分線 , 是

16、的平分線， ， 四邊形是平行四邊形 平行四邊形是菱形菱形中，如果它的一條對角線長為,求菱形的邊長 解:若對角線，如圖四邊形為菱形,且則為等邊三角形菱形的邊長為若對角線，如圖四邊形為菱形，且則為等邊三角形又 設(shè)，,由勾股定理可得，解得,綜上所述:菱形的邊長為或如圖,四邊形是正方形,是的中點,是上的一點,且求證：證明：連接，設(shè)，則 四邊形是正方形， 為中點 在中, 在中, 在中， 則，是直角三角形 （到初三的時候此題還有額外的證明方法).如圖,過正方形對角線上一點，作于,作于,連接,求證：, 證明:連接，延長交于點四邊形是正方形, （），,四邊形為矩形(有三個角為直角的四邊形為矩形) ,（) ，

17、.如圖正方形中,是的中點,平分,交于求證: 證明：取線段的中點,連接 四邊形為正方形 ， 為中點,為中點 平分 在與中 思考:若點是線段上一個動點，其他條件不變，則上面的結(jié)論還成立么? 請參考上面的解題思路,本題還有額外的證明方法，但是需要初三學(xué)習(xí)的知識,現(xiàn)在就不列舉了.如圖,在梯形中,，,分別是，的中點,且,求證：梯形為等腰梯形證明：過分別作,的平行線交于,，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形 ，,，分別是,的中點, 是線段的垂直平分線 故梯形是等腰梯形.已知等腰梯形中,，,，求它的腰長解:方法一:過點作，交于點 四邊形為平行四邊形, 四邊形為等邊三角形,方法二過點作，垂足為,過點作,垂足為四

18、邊形為等腰梯形，(）四邊形為矩形 ， 如圖，在中，平分，,點是的中點求證： 證明:延長交于點 , 平分 (）(又是高，又是角平分線，很容易聯(lián)想到“三線合一”）,點是的中點是三角形的中位線, .如圖，在梯形中,，是中點 求證: 證明：取中點,連接 由梯形中位線性質(zhì)可知且 與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形。例如左下圖,在平行四邊形中,點在對角線上,且,請你以為一個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一條線段即可)連結(jié) 證明：連結(jié),設(shè)交于點o四邊形為平行四邊形 即四邊形為平行四邊形 第二類:平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形中，對角線和相交于點,如果，,，那么的取值范圍是( )a b d解：將線段沿方向平移，使得，則有四邊形為平行四邊形,在中， ，,，即 解得 故選第三類：過一邊兩端點作對邊的垂線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例已知:如左下圖,四邊形為平行四邊形 求證: 證明:過分別作于點，的延長線于點f 則四邊形為平行四邊形 且, 第四類:延長一邊中點與頂點連線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例:已知:如右上圖4,在正方形中,分別是、的中點,與交于點