2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形第八節(jié)解三角形的實(shí)際應(yīng)用教師文檔教案文北師大版

1、第八節(jié)第八節(jié)解三角形的實(shí)際應(yīng)用解三角形的實(shí)際應(yīng)用授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 71 頁(yè)基礎(chǔ)梳理實(shí)際問(wèn)題中的常用術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中， 目標(biāo)視線在水平視線上方的叫作仰角， 目標(biāo)視線在水平視線下方的叫作俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角叫作方位角方位角的范圍是 0360方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)度北偏東 m南偏西 n坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為，坡度為 i，則 ihltan 坡度坡面的垂直高度 h 和水平寬度 l的比四基自測(cè)1(基礎(chǔ)點(diǎn)：求高度)在 200 m 高的山頂上，

2、測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是 30，60，如圖所示，則塔高 cb 為()a.4003mb.40033 mc.20033 md2003m答案：a2 (基礎(chǔ)點(diǎn)： 方向角)兩座燈塔 a 和 b 與海岸觀察站 c 的距離相等， 燈塔 a 在觀察站北偏東 40，燈塔 b 在觀察站南偏東 60，則燈塔 a 在燈塔 b 的北偏西_，西偏北_答案：1080授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 72 頁(yè)考點(diǎn)一測(cè)量距離與角度挖掘 1測(cè)量距離/ 自主練透例 1(1)(河兩岸可視兩點(diǎn))如圖，設(shè) a，b 兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在 a 的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn) c，測(cè)出 ac 的距離是 m 米，bac

3、，acb，則 a，b 兩點(diǎn)間的距離為()a.msin sin 米b.msin sin（）米c.msin sin（）米dmsin（）sin sin 米解析在abc 中，由正弦定理得acsin babsin c，故 abacsin csin bmsin sin（）.答案c(2)(河對(duì)岸或不可視兩點(diǎn))如圖， 為了測(cè)量河對(duì)岸 a、 b 兩點(diǎn)之間的距離， 觀察者找到一個(gè)點(diǎn) c，從點(diǎn) c 可以觀察到點(diǎn) a、b；找到一個(gè)點(diǎn) d，從點(diǎn) d 可以觀察到點(diǎn) a、c；找到一個(gè)點(diǎn) e，從點(diǎn) e 可以觀察到點(diǎn) b、c.并測(cè)量得到一些數(shù)據(jù)：cd2，ce2 3，d45，acd105，acb48.19， bce75， e60

4、， 則 a、 b 兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi) (其中 cos 48.19取近似值23)解析依題意知， 在acd 中， a30， 由正弦定理得 accdsin 45sin 302 2.在bce 中，cbe45，由正弦定理得 bccesin 60sin 453 2.連接 ab(圖略)，在abc 中，由余弦定理得 ab2ac2bc22acbc cos acb10，ab 10.答案10破題技法測(cè)量距離問(wèn)題的解法選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，再利用正、余弦定理求解提醒：解三角形時(shí)，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量挖掘 2測(cè)量角度或航

5、向/ 互動(dòng)探究例 2已知海島 b 在海島 a 北偏東 45方向上，a，b 相距 10 海里，物體甲從海島 b 以 2 海里/小時(shí)的速度沿直線 ab 向海島 a 移動(dòng)， 同時(shí)物體乙從海島 a 沿著海島 a 北偏西 15方向以 4海里/小時(shí)的速度移動(dòng)(1)問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，物體甲在物體乙的正東方向；(2)求甲從海島 b 到達(dá)海島 a 的過(guò)程中，甲、乙兩物體的最短距離解析(1)如圖，設(shè)經(jīng)過(guò) x 小時(shí)，物體甲在物體乙的正東方向，則甲與 a 的距離為 102x，乙與 a 的距離為 4x，ad22(102x)cos 152（5x）4xcos(4530)，x52 35(2 3)經(jīng)過(guò) 5(2 3)小時(shí)，物體甲在

6、物體乙的正東方向(2)設(shè)經(jīng)過(guò) x 小時(shí)，甲、乙兩物體的距離為 d.由余弦定理得 cos 60（4x）2（102x）2d224x（102x）12，d228x280 x100，0 x5.函數(shù) y28x280 x100 的圖像的對(duì)稱軸 x107(0，5，x107時(shí)，d 最小dmin10 217.破題技法測(cè)量角度問(wèn)題的基本思路測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解提醒：方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察

7、艇發(fā)現(xiàn)在北偏東 45方向，相距12 n mile 的水面上， 有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí) 10 n mile 的速度沿南偏東 75方向前進(jìn)， 若紅方偵察艇以每小時(shí) 14 n mile 的速度沿北偏東 45方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的正弦值解析：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò) x 小時(shí)后在 c 處追上藍(lán)方的小艇，則 ac14x，bc10 x，abc120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120，解得 x2.故 ac28，bc20.根據(jù)正弦定理得bcsinacsin 120，解得 sin 20sin 120285 314.所以紅方偵

8、察艇所需的時(shí)間為 2 小時(shí)，角的正弦值為5 314.考點(diǎn)二測(cè)量高度挖掘 1同一豎直平面內(nèi)的高度/自主練透例 1如圖，為測(cè)一樹(shù)的高度，在地面上選取 a，b 兩點(diǎn)，在 a，b 兩點(diǎn)分別測(cè)得樹(shù)頂?shù)难鼋菫?30，45，且 a，b 兩點(diǎn)之間的距離為 10 m，則樹(shù)的高度 h 為()a(55 3)mb(3015 3)mc(1530 3)md(153 3)m解析在pab 中， 由正弦定理， 得10sin（4530）pbsin 30， 因?yàn)?sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 306 24，所以 pb5( 6 2)(m)，所以該樹(shù)的高度 hpbsin 45(55 3)(m)答案a挖掘

9、2不同豎直平面內(nèi)的高度/互動(dòng)探究例 2如圖，為測(cè)量山高 mn，選擇 a 和另一座山的山頂 c 為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從 a 點(diǎn)測(cè)得 m點(diǎn)的仰角man60，c 點(diǎn)的仰角cab45以及mac75；從 c 點(diǎn)測(cè)得mca60，已知山高 bc100 m，求山高 mn.解析在abc 中，ac100 2，在mac 中，masin 60acsin 45，解得 ma100 3，在mna 中，mn100 3sin 6032，故 mn150，即山高 mn 為 150 m.破題技法求解高度問(wèn)題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵(2)在實(shí)際問(wèn)題

10、中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題考點(diǎn)三解三角形在平面幾何中的應(yīng)用挖掘 1與三角形有關(guān)的傳統(tǒng)文化/自主練透例 1(1)九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中方田章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為：弧田面積12(弦矢矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為23，半徑等于 4 米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是()a6 平方米b9 平方米c12 平方

11、米d15 平方米解析如圖，由題意可得aob23，oa4，在 rtaod 中，可得aod3，dao6，od12ao1242，所以可得矢422，由 adaosin34322 3，可得弦2ad22 34 3.所以，弧田面積12(弦矢矢2)12(4 3222)4 329 平方米，故選 b.答案b(2)數(shù)書(shū)九章中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí) 一為從隅， 開(kāi)平方得積 ”若把以上這段文字寫成公式， 即 s14c2

12、a2c2a2b222.現(xiàn)有周長(zhǎng)為 2 2 5的abc 滿足 sin asin bsin c( 21) 5( 21)，試用以上給出的公式求得abc 的面積為()a.34b32c.54d52解析因?yàn)?sin asin bsin c( 21) 5( 21)， 所以由正弦定理得 abc( 21) 5( 21)，又 abc2 2 5，所以 a 21，b 5，c 21，則 ac211，c2a2b2651，故 s14c2a2c2a2b2221211434，故選 a.答案a挖掘 2多邊形問(wèn)題/互動(dòng)探究例 2如圖，在平面四邊形 abcd 中，abc34，abad，ab1.(1)若 ac 5，求abc 的面積；(

13、2)若adc6，cd4，求 sincad.解析(1)在abc 中，由余弦定理得，ac2ab2bc22abbccosabc，即 51bc2 2bc，解得 bc 2，所以abc 的面積 sabc12abbcsinabc121 22212.(2)設(shè)cad，在acd 中，由正弦定理得，acsinadccdsincad，即acsin64sin ，在abc 中，bac2，bca34(2)4，由正弦定理得acsinabcabsinbca，即acsin341sin（4），兩式相除，得sin34sin64sin 1sin（4），即 4(22sin 22cos ) 2sin ，整理得 sin 2cos .又 sin2cos21，故 sin 2 55，即 sincad2 55.破題技法1.把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解2尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果，求解時(shí)要靈活利用平面幾何的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合起來(lái)(2020成都診斷)如圖，在平面四邊形 abcd 中，已知 a2，b23，ab6.在 ab 邊上取點(diǎn) e，使得 be1，連接 ec，ed.若ced23，ec 7.(1)求 sinbce 的值；(2)求 cd 的長(zhǎng)解析：(1)在bec 中，由正