材料力學第三章剪切和扭轉

1、3 3 剪切和扭轉剪切和扭轉3 3 剪切和扭轉剪切和扭轉3.1 3.1 剪切剪切3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 剪切虎克定律剪切虎克定律3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力3.4 3.4 等直圓桿扭轉時的變形等直圓桿扭轉時的變形3.5 3.5 等直圓桿扭轉時的應變能等直圓桿扭轉時的應變能3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉3.1 3.1 剪切剪切1.1.剪力和切應力剪力和切應力 螺栓連接螺栓連接 圖圖(a(a） 中，螺栓主要受剪切及擠壓（局部壓中，螺栓主要受剪切及擠壓（局部壓縮）?？s）。 連接件（螺栓、鉚釘、鍵等）以及構件在與它們連

2、接處連接件（螺栓、鉚釘、鍵等）以及構件在與它們連接處實際變形情況復雜。實際變形情況復雜。f/2nf/2nf3.1 3.1 剪切剪切 鍵連接鍵連接 圖圖(b(b） 中，鍵主要受剪切及擠壓。中，鍵主要受剪切及擠壓。3.1 3.1 剪切剪切剪切變形的受力和變形特點：剪切變形的受力和變形特點：作用在構件兩側面上的外力的合力大小相等、方向相作用在構件兩側面上的外力的合力大小相等、方向相反，作用線相隔很近，并使各自推動的部分沿著與合反，作用線相隔很近，并使各自推動的部分沿著與合力作用線平行的受剪面發(fā)生錯動。力作用線平行的受剪面發(fā)生錯動。受剪面上的內力稱為受剪面上的內力稱為剪力；剪力；受剪面上的應力稱為受剪

3、面上的應力稱為切應力；切應力；“假定計算法假定計算法”3.1 3.1 剪切剪切2. 2. 連接件中的剪切和擠壓強度計算連接件中的剪切和擠壓強度計算 圖圖a所示螺栓連接主要有三種所示螺栓連接主要有三種可能的破壞：可能的破壞： . . 螺栓被剪斷（參見圖螺栓被剪斷（參見圖b和圖和圖c）；）；. . 螺栓和鋼板因在接觸面上受壓螺栓和鋼板因在接觸面上受壓而發(fā)生擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼而發(fā)生擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼板在螺栓孔處被壓皺）（圖板在螺栓孔處被壓皺）（圖d）；）；. . 鋼板在螺栓孔削弱的截面處全鋼板在螺栓孔削弱的截面處全面發(fā)生塑性變形。面發(fā)生塑性變形。假定計算法假定計算法中便是針對這些可能的破

4、壞作近似計算的。中便是針對這些可能的破壞作近似計算的。3.1 3.1 剪切剪切(1) 鉚釘剪切強度計算鉚釘剪切強度計算 在假定計算中，認為連接件的受剪面（圖b，c）上各點處切應力相等，即受剪面上的名義切應力為aq式中，q為受剪面上的剪力， a為受剪面的面積。ssaf其中的許用應力則是通過同一材料的試件在類似變形情況下的試驗（稱為直接試驗）測得的破壞剪力也按名義切應力算得極限切應力除以安全因數(shù)確定。強度條件3.1 3.1 剪切剪切(2) (2) 擠壓強度計算擠壓強度計算 在假定計算中，連接件與被連接件之間的擠壓應力是按某些假定進行計算的。 對于螺栓連接和鉚釘連接，擠壓面是半個圓柱形面（圖b），擠

5、壓面上擠壓應力沿半圓周的變化如圖c所示，而最大擠壓應力sjy的值大致等于把擠壓力pjy除以實際擠壓面（接觸面）在直徑面上的投影。3.1 3.1 剪切剪切故取名義擠壓應力為jyjyjyaps式中，ajy=td，t為擠壓面高度，d 為螺栓或鉚釘?shù)闹睆?。擠壓強度條件為jyjyss其中的許用擠壓應力sjy也是通過直接試驗，由擠壓破壞時的擠壓力按名義擠壓應力的公式算得的極限擠壓應力除以安全因數(shù)確定的。 應該注意，擠壓應力是連接件與被連接件之間的相互作用，因而當兩者的材料不同時，應校核許用擠壓應力較低的連接件或被連接件。工程上為便于維修，常采用擠壓強度較低的材料制作連接件。3.1 3.1 剪切剪切3.1

6、3.1 剪切剪切(3) 連接板拉伸強度計算連接板拉伸強度計算 螺栓連接和鉚釘連接中，被連接件由于釘孔的削弱，其拉伸強度應以釘孔中心所在橫截面為依據(jù)；在實用計算中并且不考慮釘孔引起的應力集中。被連接件的拉伸強度條件為ssan式中：n為檢驗強度的釘孔中心處橫截面上的軸力；a為同一橫截面的凈面積，圖示情況下a=(b d )t。pjyndbsst3.1 3.1 剪切剪切 當連接中有多個鉚釘或螺栓時，最大拉應力smax可能出現(xiàn)在軸力最大即fn= fn,max所在的橫截面上，也可能出現(xiàn)在凈面積最小的橫截面上。3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 剪切虎克定律剪切虎克定律扭轉變形特點：扭轉變形特點：

7、 . 相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉動； . 桿表面的縱向線變成螺旋線；扭轉受力特點：扭轉受力特點： 圓截面直桿在與桿的軸線垂直平面內的外力偶作用下發(fā)生扭轉。薄壁桿件也可以由其他外力引起扭轉。tt橫截面繞軸線相對轉動的角位移稱為橫截面繞軸線相對轉動的角位移稱為扭轉角扭轉角；橫截面上的內力是作用在該截面內的力偶，稱為橫截面上的內力是作用在該截面內的力偶，稱為扭矩扭矩；3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 剪切虎克定律剪切虎克定律通常指通常指 的圓筒，可假定其的圓筒，可假定其應力沿壁厚方向均勻分布應力沿壁厚方向均勻分布100rt 內力偶矩內力偶矩扭矩扭矩mttmt薄壁圓筒薄壁圓筒nntttlm

8、t tnntr03.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 剪切虎克定律剪切虎克定律圓筒兩端截面之間相對轉過的圓圓筒兩端截面之間相對轉過的圓心角心角j j相對扭轉角相對扭轉角 j j表面正方格子傾斜的角度表面正方格子傾斜的角度直角直角的改變量的改變量 切應變切應變 jlr即即lr /jjabdctt薄壁圓筒受扭時變形情況：薄壁圓筒受扭時變形情況：abc d b1a1d1 c1 dd1c1c3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 剪切虎克定律剪切虎克定律tt圓周線只是繞圓筒軸線轉動，其形狀、大小、間距不變；圓周線只是繞圓筒軸線轉動，其形狀、大小、間距不變；表面變形特點及分析：表面變形特點

9、及分析：橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改變的平橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改變的平面，沒有正應力產(chǎn)生面，沒有正應力產(chǎn)生所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。橫截面上有與圓軸相切的切應力且沿圓筒周向均勻分橫截面上有與圓軸相切的切應力且沿圓筒周向均勻分布布jabdc3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 剪切虎克定律剪切虎克定律tt1.1.橫截面上無正應力；橫截面上無正應力；2.2.只有與圓周相切的切應力，且沿圓只有與圓周相切的切應力，且沿圓筒周向均勻分布；筒周向均勻分布； 薄壁圓筒橫截面上應力的分布規(guī)律分析：薄壁圓筒橫截面上應力的分布規(guī)律分析：j

10、abdcabc d b1a1d1 c1 dd1c1c nntr0 x 3.3.對于薄壁圓筒，可認為切應力沿對于薄壁圓筒，可認為切應力沿壁厚也均勻分布。壁厚也均勻分布。3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 剪切虎克定律剪切虎克定律薄壁圓筒橫截面上切應力的計算公式薄壁圓筒橫截面上切應力的計算公式：atmra0darmt0靜力學條件靜力學條件因薄壁圓環(huán)橫截面上各點處的切應因薄壁圓環(huán)橫截面上各點處的切應力相等力相等tra02trmt202ararmat00d得得 danntr0 xtr03.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 剪切虎克定律剪切虎克定律剪切胡克定律剪切胡克定律trmt202

11、lr /0j由前述推導可知由前述推導可知薄壁圓筒的扭轉實驗曲線薄壁圓筒的扭轉實驗曲線ttjabdctm3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 剪切虎克定律剪切虎克定律鋼材的切變模量值約為：鋼材的切變模量值約為：gpa80g時時即即pg這就是這就是剪切虎克定律剪切虎克定律其中：其中：g材料的材料的切變模量切變模量 p剪切比例極限剪切比例極限彈性模量彈性模量e、泊松比、泊松比 和切變模量和切變模量g 之間的關系之間的關系12eg3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 剪切虎克定律剪切虎克定律3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力1. .橫截面上的應力橫截面上的應力（1

12、 1）幾何方面）幾何方面 相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉動，但圓周的大小、形狀、間相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉動，但圓周的大小、形狀、間距都未變；距都未變；縱向線傾斜了同一個角度縱向線傾斜了同一個角度 ，表面上所有矩形均變成平行四，表面上所有矩形均變成平行四邊形。邊形。(a)tt(b)3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力 桿的橫截面上只有垂直于半徑的切應力，沒有正應力桿的橫截面上只有垂直于半徑的切應力，沒有正應力產(chǎn)生。產(chǎn)生。平面假設平面假設 等直圓桿受扭轉時其橫截面如同剛性平面一樣繞桿的等直圓桿受扭轉時其橫截面如同剛性平面一樣繞桿的軸線轉動。軸線轉動。推論：推論：(a)tt(b)

13、3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力eggg tanxddd)2/(jxddjtt djdggemtmto1o2ababdxdadjdggeo1o2dadxd橫截面上任一點處的切應變隨點的位置的變化規(guī)律橫截面上任一點處的切應變隨點的位置的變化規(guī)律3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力即即xddjxddj相對扭轉角沿桿長的變化率，對于給定的橫相對扭轉角沿桿長的變化率，對于給定的橫截面為常量截面為常量djdggemtmto1o2ababdxdadjdggeo1o2dadxd3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力剪切胡克定律剪切胡克定律gxgd

14、dj（2 2）物理方面）物理方面xddj（3 3）靜力學方面）靜力學方面adtmatamaxgddd2jaaid2ppddgimxtj稱為橫截面的稱為橫截面的極慣性矩極慣性矩da da ro令令得得mt3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力od等直圓桿扭轉時橫截面上切應力計算公式等直圓桿扭轉時橫截面上切應力計算公式ppimgimgttxgddjpddgimxtjpimtmaxmaxmt3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力發(fā)生在橫截面周邊上各點處。發(fā)生在橫截面周邊上各點處。rpmaxirmt稱為稱為扭轉截扭轉截面系數(shù)面系數(shù)riwpp最大切應力最大切應力rim

15、t/ppwmtmaxmax令令即即pmaxwmtodmt同樣適用于空心圓截面桿受扭的情形同樣適用于空心圓截面桿受扭的情形pimtpmaxwmtmaxmaxoddmt3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力（4）圓截面的極慣性矩）圓截面的極慣性矩ip和扭轉截面系數(shù)和扭轉截面系數(shù)wpaaid2p162/3ppddiw)d2(202d324dd2da2/04)4(2d實心圓截面：實心圓截面：odd3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力223pd2ddi4344pp116162/dddddiw空心圓截面：空心圓截面：d2da4432dd 44132dddddod3.3

16、 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力注意：對于空心圓截面注意：對于空心圓截面33p16ddw44p32ddiddod3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力傳動軸的外力偶矩：傳動軸的外力偶矩：傳動軸的轉速傳動軸的轉速n ；某一輪上某一輪上所傳遞的功率所傳遞的功率nk (kw)作用在該輪上的外力偶矩作用在該輪上的外力偶矩t 。) j (10603kn已知：已知：一分鐘內該輪所傳遞的功率等于其上外力偶矩所一分鐘內該輪所傳遞的功率等于其上外力偶矩所作的功：作的功：m)(n2ntt1 t2 t3 n從動輪主動輪從動輪3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力

17、3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力傳動輪的轉速傳動輪的轉速n 、功率、功率p 及其上的外力偶矩及其上的外力偶矩t 之之間的關系：間的關系： minr3kwmn26010nntk) j (10603knm)(n2nt minrkw310549. 9nnk3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力強度條件：強度條件：max等直圓軸等直圓軸pmaxwmt材料的許用切應力材料的許用切應力三類強度問題計算三類強度問題計算: : (1)(1)強度校核；強度校核； (2)(2)截面設計；截面設計； (3)(3)計算許用扭轉荷載計算許用扭轉荷載 3.3 3.3 等直圓桿扭轉

18、時的應力等直圓桿扭轉時的應力例例1 實心圓截面軸實心圓截面軸和空心圓截面軸和空心圓截面軸 ( = d2/d2 =0.8)的材料、扭轉力偶矩的材料、扭轉力偶矩 t和長度和長度l 均相同。試求在兩圓軸均相同。試求在兩圓軸橫截面上最大切應力相等的情況下，橫截面上最大切應力相等的情況下，d2/d1之比以及兩軸之比以及兩軸的重量比。的重量比。(a) t t d1lt(b) t ld2d23.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力311p1p1max, 116dtwtwmt4322p2p2max, 2116dtwtwmt解：解：16311pdw4322p116dwmax, 2max1，314

19、321dd194. 18 . 0113412dd8 . 0已知已知得得兩軸的重量比兩軸的重量比1212aagg可見空心圓軸的自重比實心圓軸輕。可見空心圓軸的自重比實心圓軸輕。21222212222144ddddd512. 08 . 01194. 122討論：討論：為什么說為什么說空心圓軸比實心圓軸更適合于做受扭構空心圓軸比實心圓軸更適合于做受扭構件？件？3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力例例2 圖示階梯狀圓軸，圖示階梯狀圓軸，ab段直徑段直徑 d1=120mm，bc段段直徑直徑 d2=100mm 。扭轉力偶矩。扭轉力偶矩 ta=22 knm， tb=36 knm， tc=

20、14 knm。 材料的許用切應力材料的許用切應力 = 80mpa ，試校核該軸的強度。，試校核該軸的強度。解：解： （1）求內力，作出軸的扭矩圖）求內力，作出軸的扭矩圖2214mt圖（knm）ta tbtc acb3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力bc段段mpa3 .71mm10016mmn1014362p2max, 2wmtab段段1p1max, 1wmt（2）計算軸橫截面上的最大切應力并校核強度）計算軸橫截面上的最大切應力并校核強度mpa8 .64mm12016mmn102236mpa80即該軸滿足強度條件。即該軸滿足強度條件。2214mt圖（knm）3.3 3.3

21、等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力2. .斜截面上的應力斜截面上的應力 切應力互等定理切應力互等定理此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的正六面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的正六面體體單元體單元體zyddzxddmmxyzabocddxdydz0yf0zm自動滿足自動滿足0 xfyzxxzydddddd存在存在得得3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力 單元體的兩個相互垂直的截單元體的兩個相互垂直的截面上，與該兩個面的交線垂直的面上，與

22、該兩個面的交線垂直的切應力數(shù)值相等，且均指向切應力數(shù)值相等，且均指向( (或或背離背離) ) 兩截面的交線。兩截面的交線。切應力互等定理切應力互等定理 單元體在其兩對互相垂直單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應力而無正應的平面上只有切應力而無正應力的狀態(tài)稱為力的狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)。dabcxyzabocddxdydz3.3 3.3 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力斜截面上的應力：斜截面上的應力：0f0f0cossindsincosddsaaa0sinsindcoscosddaaa假定斜截面假定斜截面ef 的面積為的面積為d aefdabcxnsfebx3.3 3.3

23、 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力討論：討論：045smax901.max452.smin此時切應力均為零。此時切應力均為零。解得解得s2sin2cosx4545smaxsmaxsminsminfebsx3.4 3.4 等直圓桿扭轉時的變形等直圓桿扭轉時的變形扭轉時的變形扭轉時的變形兩個橫截面的兩個橫截面的相對扭轉角相對扭轉角j扭轉角沿桿長的變化率扭轉角沿桿長的變化率pddgimxtjxgimtddpj相距相距d x 的微段兩端截面間相對的微段兩端截面間相對扭轉角為扭轉角為ttjdjdmtto1o2ababdxda對于等直圓桿：對于等直圓桿：pgilmtj稱為等直圓桿的稱為等直圓桿的扭

24、轉剛度扭轉剛度相距相距l(xiāng) 的兩橫截面間相對扭轉角為的兩橫截面間相對扭轉角為ltlxgim0pddjjt t j(單位：單位：rad)3.4 3.4 等直圓桿扭轉時的變形等直圓桿扭轉時的變形剛度條件剛度條件: : max等直圓桿在扭轉時的剛度條件：等直圓桿在扭轉時的剛度條件：180pmaxmaxgitt對于精密機器的軸對于精密機器的軸對于一般的傳動軸對于一般的傳動軸m/30. 015. 0常用單位：常用單位： /mm/23.4 3.4 等直圓桿扭轉時的變形等直圓桿扭轉時的變形例例3 由由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內、外直徑號鋼制成的某空心圓截面軸，內、外直徑之比之比 = 0.5。已知材料的許

25、用切應力。已知材料的許用切應力 = 40mpa ，切變模量切變模量g=80gpa 。軸的橫截面上最大扭矩為。軸的橫截面上最大扭矩為mtmax=9.56 knm ，軸的許可單位長度扭轉角，軸的許可單位長度扭轉角 =0.3 /m 。試選擇軸的直徑。試選擇軸的直徑。解：解：(1)按強度條件確定外直徑按強度條件確定外直徑d34max116tmdpmaxmaxwmt43max116dmt346mpa405 . 01mmn1056. 916mm1093.4 3.4 等直圓桿扭轉時的變形等直圓桿扭轉時的變形(2)由剛度條件確定所需外直徑由剛度條件確定所需外直徑d44max1180)-(132gmdt180p

26、maxmaxgimt180)1 (3244maxdgmtmm5 .125m/3 . 011805 . 01gpa80mmn1056. 932446mm5 .125dmm75.63 dd3、確定內外直徑、確定內外直徑3.4 3.4 等直圓桿扭轉時的變形等直圓桿扭轉時的變形3.5 3.5 等直圓桿扭轉時的應變能等直圓桿扭轉時的應變能jtwv21等直圓桿僅在兩端受外力偶矩等直圓桿僅在兩端受外力偶矩 t 作用且作用且 時時ppgitljp221giltp221gilmt2p21jlgiv 或或t t jjtt j當?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時當?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時niii tgilmv

27、1p22niiilgiv12p2j或或jabjcat1t3 bact2 dlablac3.5 3.5 等直圓桿扭轉時的應變能等直圓桿扭轉時的應變能3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉等直非圓形截面桿扭轉時的變形特點等直非圓形截面桿扭轉時的變形特點 橫截面不再保持為平面而發(fā)生翹曲。平面假設不再成立。 自由扭轉(純扭轉)等直桿，兩端受外力偶作用，端面可自由翹曲。由于各橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上只有切應力而無正應力。 約束扭轉非等直桿，或非兩端受外力偶作用，或端面不能自由翹曲。由于各橫截面的翹曲程度不同，橫截面上除切應力外還有附加的正應力。3.6 3.6 非圓截面

28、等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉1.1.矩形截面桿自由扭轉時的彈性力學解矩形截面桿自由扭轉時的彈性力學解一般矩形截面等直桿3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉橫截面上的最大切應力在長邊中點處：wt扭轉截面系數(shù)，wt=bb3，b 為與m=h/b相關的因數(shù)(表3-1)。tmaxwmt橫截面上短邊中點處的切應力： nmaxn 為與m=h/b相關的因數(shù)(表3.1)。單位長度扭轉角： it相當極慣性矩， , 為與m = h/b 相關的因數(shù)(表3.1)。tgimt4tbi3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉表表3.1 矩形截面桿在自由扭轉時的

29、因數(shù)矩形截面桿在自由扭轉時的因數(shù) ，b b 和和 n nm=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 bn0.1400.2081.0000.1990.263_0.2940.3460.8580.4570.4930.7960.6220.645_0.7900.8010.7531.1231.1500.7451.7891.7890.7432.4562.4560.7433.1233.1230.7433.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉 思考：思考：如圖中所示，矩形截面桿在扭轉時其橫截面上邊緣處的切應力總是與周邊相切，而橫截面頂點處的切應力總是等于零。

30、為什么？一般矩形截面等直桿3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉2. 開口薄壁截面桿開口薄壁截面桿3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉 2. 不考慮橫截面相鄰組成部分(矩形)在連接處的復雜應力變化情況，認為橫截面每一矩形部分的切應力分布仍與狹長矩形截面等直桿橫截面上相同，即iii tii titimwm, t, tmax,jjjjjni21近似假設：近似假設： 1. 認為橫截面由若干矩形組成，桿的各組成部分的單位長度扭轉角 相同，且就是桿的單位長度扭轉角j，即ij3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉(1) 應力及

31、變形的計算公式應力及變形的計算公式由假設(1)有ttt2t21 t1gimgimgimgimgimtntnitittniiiniithii131tt31將上式中的前n 項的分子分母各自相加后有ttt2t1 t21gimiiiigmmmmtnitntitt代入后可知因 1nititmm式中，m t為桿的整個橫截面上的扭矩，it 為整個橫截面的相當極慣性矩。3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉 根據(jù)假設2并注意到 可知桿的每一組成部分橫截面上位于長邊中點處的最大切應力為,ttiimmittiitiitiitiitimtimwmtttmaxntiittthtmtim13m

32、axmaxtmax31(2) 各組成部分橫截面上的最大切應力各組成部分橫截面上的最大切應力 max 而整個桿的橫截面上的最大切應力max在厚度最大(tmax)的那個矩形的長邊中點處：3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉niiithii13tt31tgimt(3) 桿的單位長度扭轉角桿的單位長度扭轉角根據(jù)實驗結果有： 角鋼截面 =1.00,槽鋼截面 =1.12,t形鋼截面 =1.15，工字鋼截面 =1.20。niiithi13t31式中， 。對于型鋼，由于其橫截面的翼緣部分是變厚度的，且橫截面邊緣處以及內部連接處有圓角，增加了桿的剛度，故在計算扭轉角時應采用乘以修正因

33、數(shù)后的相當極慣性矩it：3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉 近似假設：橫截面上各點處的切應力的大小沿壁厚無變化，切應力的方向與壁厚中線相切。3.3.閉口薄壁截面桿閉口薄壁截面桿3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉應力的計算公式應力的計算公式 由相距dx的兩橫截面及任意兩個與壁厚中線正交的縱截面取出如圖所示的分離體。如果橫截面上c 和d兩點處的切應力分別為1和2，則根據(jù)切應力互等定理，上下兩縱截面上亦有切應力1和2。3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉 若c 和d 兩點處的壁厚分別為d1和d2，則由該分離體的平衡條件fx=0有 1d1d x=2d2d x 從而知亦即橫截面上沿周邊任一點處d 為常量。2211dd3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉非圓截面等直桿的自由扭轉從而有(參見圖)：asrsrmsst2ddddd于是得閉口薄壁截面等