三角函數(shù)及三角恒等變換PPT課件

1、1B 版： 第一章 基本初等函數(shù)（） 第三章 三角恒等變換為什么叫基本初等函數(shù)（II）？為什么要分成兩章？第1頁(yè)/共57頁(yè)2三角函數(shù)的地位與作用 傳統(tǒng)：測(cè)量。 課標(biāo)：三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)模型。 電磁波 Fourier級(jí)數(shù)01( )sin()kkkf xAAk t第2頁(yè)/共57頁(yè)3第一章 基本初等函數(shù)（）1.1 任意角的概念及弧度制1.2 任意角的三角函數(shù)1.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第3頁(yè)/共57頁(yè)41.1 任意角的概念及弧度制1.1.1 角的概念的推廣第4頁(yè)/共57頁(yè)590( 30 )903060AOCAOBBOC 各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和。第5頁(yè)/共57頁(yè)6 例 1 射

2、線 OA 繞端點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 80 到 OB 的位置，接著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 250 到 OC 的位置，然后再順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 270 到 OD 位置，求 AOD 的大小。轉(zhuǎn)角運(yùn)算的幾何意義。第6頁(yè)/共57頁(yè)7為什么要這樣做？ 角運(yùn)算的幾何意義，有助于幫助學(xué)生理解，為用對(duì)稱變換等證明誘導(dǎo)公式打下伏筆。1802，1802，xy p 2第7頁(yè)/共57頁(yè)8思考與討論1.如果 是第一象限的角，那么 的取值范圍可以表示為怎樣的不等式？2.如果 分別是第一、第二、第三和第四象限的角，那么 分別是第幾象限角？2第8頁(yè)/共57頁(yè)9可能存在的困難2 2 |,363kkkZ |33132k knknknnZZ或或，為什么要

3、對(duì) k 這樣分類討論？|,262kkkZ第9頁(yè)/共57頁(yè)10 練習(xí)A 1. 判斷：（2）終邊相等的角一定相等。 如果角 和角b 的終邊相同，則它們之間的大小有何關(guān)系？ 答：存在一個(gè)整數(shù) k，使得 b k360。第10頁(yè)/共57頁(yè)111.1.2 弧度制和弧度制與角度制的換算 旋轉(zhuǎn)時(shí)，射線上的點(diǎn)形成圓弧。2360llnrr為什么不用單位圓定義？第11頁(yè)/共57頁(yè)12角的集合與實(shí)數(shù)集 R 之間的一一對(duì)應(yīng)。角度制是60進(jìn)制，弧度制是十進(jìn)制。角度值換算為弧度值的算法。 建議講解：機(jī)械，但步驟清楚。角度數(shù) n 與角度 n 的區(qū)別。例 3 可以不講，例 4 要求學(xué)生掌握。第12頁(yè)/共57頁(yè)131.2 任意角

4、的三角函數(shù)1.2.1 三角函數(shù)的定義 銳角三角函數(shù)第13頁(yè)/共57頁(yè)14任意角三角函數(shù)的定義: 相似三角形為什么不用單位圓定義？第14頁(yè)/共57頁(yè)15三角函數(shù)的自變量 如果點(diǎn) P(x，y) 是角 終邊上一點(diǎn)，那么定義 稱為余弦函數(shù)。 問(wèn)題：余弦函數(shù)中的自變量是誰(shuí)？22cosxxy，第15頁(yè)/共57頁(yè)16 教材： 叫做角 的余弦，記作cos ，即cosxr。xr 對(duì)于每一個(gè)確定的角 ，有唯一的余弦值與之對(duì)應(yīng)，因此這個(gè)對(duì)應(yīng)法則是以 為自變量的函數(shù)，叫做 的余弦函數(shù)。第16頁(yè)/共57頁(yè)17例 2 求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值：（1）0； （2）p；（3） 。練習(xí)A 3. 填表：特殊角的三角函數(shù)。探索與

5、研究： 算任意角的三角函數(shù)值的算法。32第17頁(yè)/共57頁(yè)181.2.2 單位圓與三角函數(shù)線用到了軸上向量及其數(shù)量的知識(shí)。建議先講點(diǎn)軸上向量的知識(shí)（數(shù)學(xué)二2.1.1 或 數(shù)學(xué)四 2.1.5）?？梢杂糜邢蚓€段來(lái)解釋。第18頁(yè)/共57頁(yè)19為什么要用單位圓？正切線為什么在 x = 1 這條線上？cos=sinxyrr，tanyx第19頁(yè)/共57頁(yè)20思考與討論： 時(shí)，的大小關(guān)系。 , sin , tanxxx(0,)2xxyOABC第20頁(yè)/共57頁(yè)211.2.3 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式22sincos1sintancosxxxxx例3. 已知求 tan 的值。5sincos1802705xx

6、，第21頁(yè)/共57頁(yè)22奇變偶不變，符號(hào)看象限。cos()coscossinsinbbb誘導(dǎo)公式傳統(tǒng)的處理方式：cos()coscossinsin222sin1.2.4 誘導(dǎo)公式第22頁(yè)/共57頁(yè)23xyAB pCA(cos ，sin )B(cos()，sin()C(cos(p)，sin(p)cos()cossin()sin cos()cossin()sin 第23頁(yè)/共57頁(yè)24cossin, sincos22 (cossin)P，(sincos)M，( sincos)N，2()2PONAOMMOBxyPBN p2MA第24頁(yè)/共57頁(yè)251.3 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)sinyxsin()yA

7、xcosyxtanyxtanyxsincosyxyxsin()cos()yAxyAx第25頁(yè)/共57頁(yè)26 設(shè) t = sin x，則有 y = (t -1)2 + 2，t-1，1。 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題。 y = (sin x - 0.5)2 + 2 y = -(sin x - 3)2 + 2求 y = (sin x -1)2 + 2 的值域1.3.1 正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)第26頁(yè)/共57頁(yè)27 在閉區(qū)間-1，1上，當(dāng) t = -1 時(shí)，| t -1| 最大，函數(shù) y = (t -1)2 + 2 取得最大值，最大值為 6。 在閉區(qū)間-1，1上，當(dāng) t = 1 時(shí)，| t -1| 最小，函數(shù)

8、y = (t -1)2 + 2 取得最小值，最小值為 2。第27頁(yè)/共57頁(yè)28 y = (sin x - 1)2 + 2 y = (sin x - 0.5)2 + 2 y = -(sin x - 3)2 + 2第28頁(yè)/共57頁(yè)29 “我們可以把 2x 當(dāng)成一個(gè)新的變量 u，即u=2x。函數(shù) y=sin u 的周期為 2p，這就是說(shuō)，當(dāng) u 增加到且至少要增加到 u + 2p時(shí)，函數(shù)的值才重復(fù)取得，而u+2p 2x+2p 2(x+p)。 因此，當(dāng)自變量 x 增加到且必須增加到x+p 時(shí)，函數(shù)的值才重復(fù)取得。 因此函數(shù)y = sin 2x 的周期為 p?！币阎阎?f(x) 的周期為的周期為

9、T，則，則 f(3x) 的周期為？的周期為？求周期： y = sin 2x第29頁(yè)/共57頁(yè)30 余弦函數(shù) 正切函數(shù) 先圖象還是先性質(zhì)？1.3.2 余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)cossin()2yxx第30頁(yè)/共57頁(yè)31注意細(xì)節(jié)數(shù)學(xué)四第52頁(yè)例2： 判斷 y = cos x + 2 的奇偶性。 因?yàn)?f(- x) = cos(- x) + 2 = cos x + 2 ，所以是偶函數(shù)。第31頁(yè)/共57頁(yè)32 解：把函數(shù) y = cos x + 2 記為f(x) = cos x + 2。 因?yàn)?f(- x) = cos(- x) + 2 = cos x + 2 = f(x)，所以是偶函數(shù)。 平

10、移 y = sin x + 2第32頁(yè)/共57頁(yè)331.3.3 已知三角函數(shù)值求角重點(diǎn)在于特殊值，其余的了解即可。arcsin122arccos1arctan22yxxyyxxyyxxyR，-1，-，-1，0，-課標(biāo)上沒(méi)有要求。第33頁(yè)/共57頁(yè)34第三章 三角恒等變換3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函數(shù)的積化和差與和差化積 課標(biāo)：經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用。第34頁(yè)/共57頁(yè)353.1 和角公式3.1.1 兩角和與差的余弦共有四種證明方法：cos()coscossinsinbbbBECAxyObDcos()OCbFcosco

11、sOEbsinsinECbOCOEEC第35頁(yè)/共57頁(yè)36cos()coscossinsinbbb(cossin)P，| |AQPR(cos() sin()Rbb，(cos() sin()Qbb，(1 0)A ，xyPQbbRA第36頁(yè)/共57頁(yè)37cos()coscossinsinbbbiecosisiniecosisinbbbiie e(cosisin)(cosisin)bbbcos()isin()coscossinsini(sincoscossin)bbbbbbsin()sincoscossinbbb第37頁(yè)/共57頁(yè)38cos()coscossinsinbbb(cossin)(cos

12、sin)PQbb，2 2 OP OQkOP OQkbb ，或，coscossinsinOP OQbb |coscos()OP OQOP OQOP OQb ，xyPQb存在整數(shù)存在整數(shù) k，使得，使得 第38頁(yè)/共57頁(yè)39探索與研究cos()OMbcoscoscosOQONbbsinsinsinPQMNRQbbOMONMNcos()coscossinsinbbbcos()coscossinsinbbbNRQMxyOPb第39頁(yè)/共57頁(yè)40練習(xí)A 1. 下式成立嗎？cos()coscosbb上式一定不成立嗎？恒等問(wèn)題是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)。第40頁(yè)/共57頁(yè)413.1.2 兩角和與差的正弦 例：已知

13、點(diǎn) P(x，y)，與原點(diǎn)距離保持不變，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角到點(diǎn) P(x，y)。求證：cossinsincosxxyyxy第41頁(yè)/共57頁(yè)42 例 4 求函數(shù) y=asin x+bcos x的最大值、最小值和周期，其中 a，b 是不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)。 角 的存在性和唯一性。22sin()yabx第42頁(yè)/共57頁(yè)433.1.1 兩角和與差的正切tantantan()1tantantantantan()1tantanbbbbbb第43頁(yè)/共57頁(yè)443.2 倍角公式3.2.1 倍角公式22222sin22sincoscos2cossin2cos11 2sin2tantan21tan 第44頁(yè)/共57頁(yè)45

14、3.2.2 半角的正弦、余弦和正切公式222sin1 cos22cos1 cos2 1 cossin221 coscos221 costan21 cos 第45頁(yè)/共57頁(yè)463.3 三角函數(shù)的積化和差與和差化積1coscoscos()cos()21sinsincos()cos()21sincossin()sin()21cossinsin()sin()2bbbbbbbbbbbb sin()cos()36xx第46頁(yè)/共57頁(yè)47sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy

15、 sin()sin()36xx第47頁(yè)/共57頁(yè)4822xOMQOMbb，(cossin)(cossin)PQONPQbb，coscossinsin()22Nbb，coscos()coscos2222cossin()sincos2222ORRNbbbbbbbb探索與研究探索與研究第48頁(yè)/共57頁(yè)49函數(shù) 的周期和奇偶性。21( )sin2f xx2007 廣東廣東函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），求周期和初相。( )2sin()(|)32f xx第49頁(yè)/共57頁(yè)50函數(shù) 的最小正周期和最大值分別為 ， 。sin 2cos 263yxxpp2007山東卷山東卷由函數(shù) 的圖象怎樣才能得到函數(shù) 的圖

16、象？cos3yxpsinyx第50頁(yè)/共57頁(yè)51函數(shù) 的圖象。sin 2, 32yxxp 2007 海南、寧夏海南、寧夏若 ，求 的值。cos222sin()4 sincos第51頁(yè)/共57頁(yè)52函數(shù) 的周期和奇偶性。2( )(1cos2 )sinf xxx2008 廣東廣東函數(shù) 的最大值為 1，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 。（1）求解析式。（2）已知 ，且 求 的值。( )sin()(0, 0)f xAxA函數(shù) 的最小正周期。( )(sincos )sinf xxxx1(,)32M,(0,)2 b312( ),( )513ffb，()fb第52頁(yè)/共57頁(yè)53已知 ，則 的值為 。4cossin365p2008山東卷山東卷sin6p函數(shù) 為偶函數(shù)，且圖象的兩相鄰對(duì)稱軸的距離為 。（1）求 的值。（2）平移后求單調(diào)區(qū)間。( )3sin()cos()(0, 0)f xxx 2p( )8fp第53頁(yè)/共57頁(yè)54已知函數(shù) 的圖象，