線段和的最小值問題

1、 - -線段和的最小值問題線段和的最小值問題a ab b如圖，要在街道旁修建一個奶站如圖，要在街道旁修建一個奶站p p，向居民區(qū)，向居民區(qū)a a、b b提供牛提供牛奶，奶站奶，奶站p p應(yīng)建在什么地方，才能使從應(yīng)建在什么地方，才能使從a a，b b到它的距離之到它的距離之和最短？為什么？和最短？為什么？街道街道 p pppa ab ba a p p如圖，要在街道旁修建一個奶站如圖，要在街道旁修建一個奶站p p，向居民區(qū)，向居民區(qū)a a、b b提供牛提供牛奶，奶站奶，奶站p p應(yīng)建在什么地方，才能使從應(yīng)建在什么地方，才能使從a a，b b到它的距離之到它的距離之和最短？為什么？和最短？為什么？街

2、街道道 pp求線段和最小值的一般步驟：求線段和最小值的一般步驟：連結(jié)對稱點連結(jié)對稱點a與與b之間的線段，交直線之間的線段，交直線l于點于點p，點點p即為所求的點，線段即為所求的點，線段ab的長就是的長就是ap+bp的最的最小值。小值。選點選點p所在直線所在直線l為對稱軸；畫出點為對稱軸；畫出點a的對稱點的對稱點a； b ba ap pl la a基本圖形基本圖形:兩點一線兩點一線b bb bp pl la a基本解法基本解法:利用對稱性利用對稱性,將將“折折”轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)“直直”1 1、如圖，正方形、如圖，正方形abcdabcd的邊長為的邊長為2 2，e e為為abab的中點，的中點，p p是是aca

3、c上一動上一動點連結(jié)點連結(jié)bdbd，由正方形對稱性可知，由正方形對稱性可知，b b與與d d關(guān)于直線關(guān)于直線acac稱連稱連結(jié)結(jié)eded交交acac于于p p，則，則pb+pepb+pe的最小值等于線段的最小值等于線段_ 的長度，的長度，最小值等于最小值等于_；2、小聰根據(jù)實際情況，以街道旁為、小聰根據(jù)實際情況，以街道旁為x軸，建立了如圖軸，建立了如圖1所示的所示的平面直角坐標(biāo)系，測得平面直角坐標(biāo)系，測得a點的坐標(biāo)為（點的坐標(biāo)為（0，3），），b點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為（6，5），求從），求從a、b兩點到奶站兩點到奶站p距離之和的最小值。距離之和的最小值。練習(xí)練習(xí)apcbaepdcde5出題背景變

4、式有出題背景變式有：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。坐標(biāo)軸、拋物線等。解題思路解題思路：找點關(guān)于線的對稱點，實現(xiàn)找點關(guān)于線的對稱點，實現(xiàn)“折折”轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)“直直”。變式變式1 1（2008 2008 年湖北荊門市中考題）年湖北荊門市中考題） 如圖，菱形如圖，菱形abcdabcd 的兩條對角線分別長的兩條對角線分別長6 6 和和8 8，點點p p是對角線是對角線ac ac 上的一個動點，點上的一個動點，點m m、n n 分別是分別是邊邊abab、bcbc 的中點，則的中點，則pmpm+ +pnpn 的最小值是的最小值是_a ad d

5、c cb bm mn np pmmpp5 5練習(xí)練習(xí) (2011 (2011廣西廣西試題改編）試題改編） 如圖所示，在邊長為如圖所示，在邊長為2 2的正三角形的正三角形abcabc中，中，e e、f f、g g分別為分別為abab、acac、bcbc的中點，點的中點，點p p線段線段efef上一個動點，上一個動點，連接連接bpbp、gpgp，則，則（1 1）pb+pgpb+pg的最小值是的最小值是 （2 2）bpgbpg周長的最小值是周長的最小值是 。 f fe ep pg gc cb ba app32變式變式2 2如圖，在直角坐標(biāo)系中，點如圖，在直角坐標(biāo)系中，點a a的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（2,

6、42,4），點），點b b的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（6,26,2），在），在y y軸和軸和x x軸上找兩點軸上找兩點p p、q q，使得，使得a a，b b，p p，q q四點組成的四邊形周長最小，請畫出示意圖，四點組成的四邊形周長最小，請畫出示意圖，并求出并求出p p、q q兩點的坐標(biāo)。兩點的坐標(biāo)。bbaappqq.pq.課堂小結(jié)課堂小結(jié)不管在什么背景下，有關(guān)線段之和最短問題，不管在什么背景下，有關(guān)線段之和最短問題，總是化歸到總是化歸到“兩點之間的所有連線中，線段最兩點之間的所有連線中，線段最短短”，而轉(zhuǎn)化的方法大都是借助于，而轉(zhuǎn)化的方法大都是借助于“軸對稱軸對稱點點”，實現(xiàn)，實現(xiàn)“折折”轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)“直

7、直”本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了 問題，問題，這類問題的解題方法是怎樣的？這類問題的解題方法是怎樣的？線段和的最小值線段和的最小值數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想練習(xí)、練習(xí)、(2010東營東營) )如圖，已知二次函數(shù)如圖，已知二次函數(shù)y=axy=ax2 2-4x+c-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點的圖象與坐標(biāo)軸交于點a a（-1-1， 0 0）和點）和點b b（0 0，- -5 5）（1 1）求該二次函數(shù)的解析式；）求該二次函數(shù)的解析式；（2 2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點p p，使得使得abpabp的周長最小請求出點的周長最小請求出點p p的坐標(biāo)

8、的坐標(biāo)xoabybp2 2、已知：如圖，、已知：如圖，abab是是o o的直徑，的直徑，ab=4ab=4，點，點c c是半圓的三等份點，點是半圓的三等份點，點d d是弧是弧bcbc的中點，的中點，abab上上有一動點有一動點p p，連接，連接pcpc，pdpd，則，則pc+pdpc+pd的最小值的最小值是多少？并畫出點是多少？并畫出點p p的位置的位置. . abcopddp1717217174171782 2、(2009(2009年鄂州年鄂州) )已知直角梯形已知直角梯形abcdabcd中，中，adadbcbc，ababbcbc，adad=2=2，bcbc= =dcdc=5=5，點，點p p

9、在在bcbc上移動，則當(dāng)上移動，則當(dāng)papa+ +pdpd取取最小值時，最小值時，apdapd中邊中邊apap上的高為（上的高為（ ）a a、 b、 c c、 d d、3 3apdbc.4 313，(03)c，doxybepac4.4.如圖，拋物線如圖，拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的頂點的頂點p p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為，交，交x x軸于軸于a a、b b兩點，交兩點，交y y軸于點軸于點（1 1）求拋物線的解析式）求拋物線的解析式（2 2）把）把a(bǔ)bcabc繞繞abab的中點的中點e e旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)180180，得到四邊形，得到四邊形adbcadbc判斷四邊形判斷四邊形adbcadbc的形狀，并說明理由的形狀，并說明理由（3 3）試問在線段）試問在線段acac上是否存在一點上是否存在一點f f，使得，使得fbdfbd的周長最小，的周長最小，若存在，請寫出點若存在，請寫出點f f的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由拓展拓展（20122012臺州市中考題）臺