初中數(shù)學(xué)競賽定理大全

1、歐拉（euler）線： 同一三角形的 垂心、 重心、 外心三點共線，這條直線稱為三角形的 歐拉線； 且 外心 與 重心的距離等于 垂心 與 重心 距離的 一半。九點圓：任意三角形三邊的中點，三高的垂足及三頂點 與 垂心間線段 的中點，共九個點共圓，這個圓稱為三角形的九點圓；其圓心為三角形外心與 垂心 所連 線段的中點，其半徑等于三角形外接圓半徑的一半。費(fèi)爾馬點：已知p為銳角abc內(nèi)一點，當(dāng)apbbpccpa120時，papbpc的值最小， 這個點p稱為abc的費(fèi)爾馬點。海倫（heron）公式：塞瓦（ceva）定理：在abc中，過abc的頂點作相交于一點p的直線，分別交邊bc、ca、ab與點d、

2、e、f，則(bd/dc)(ce/ea)(af/fb)1；其逆亦真。密格爾（miquel）點：若ae、af、ed、fb四條直線相交于a、b、c、d、e、f六點，構(gòu)成四個三角形，它們是abf、aed、bce、dcf，則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點。葛爾剛（gergonne）點:abc的內(nèi)切圓分別切邊ab、bc、ca于點d、e、f，則ae、bf、cd三線共點，這個點稱為葛爾剛點。西摩松（simson）線：已知p為abc外接圓周上任意一點，pdbc，peacpfab，d、e、f為垂足，則d、e、f三點共線，這條直線叫做西摩松線。黃金分割：把一條線段(ab)分成兩條線段，使其中較大的線段

3、(ac)是原線段(ab)與較小線段(bc)的比例中項，這樣的分割稱為黃金分割。帕普斯（pappus）定理：已知點a1、a2、a3在直線l1上，已知點b1、b2、b3在直線l2上，且a1 b2與a2 b1交于點x，a1b3與a3 b1交于點y，a2 b3于a3 b2交于點z，則x、y、z三點共線。笛沙格（desargues）定理：已知在 abc與abc中，aa、bb、cc三線相交于點o，bc與bc、ca與ca、ab與ab分別相交于點x、y、z，則x、y、z三點共線；其逆亦真摩萊（morley）三角形：在已知abc三內(nèi)角的三等分線中，分別與bc、ca、ab相鄰的每兩線相交于點d、e、f，則def是

4、正三角形，這個正三角形稱為摩萊三角形。帕斯卡（paskal）定理：已知圓內(nèi)接六邊形abcdef的邊ab、de延長線交于點g，邊bc、ef延長線交于點h，邊cd、fa延長線交于點k，則h、g、k三點共線。托勒密（ptolemy）定理：在圓內(nèi)接四邊形中，abcdadbcacbd（任意四邊形都可！哇哈哈）斯圖爾特（stewart）定理：設(shè)p為abc邊bc上一點，且bp：pcn：m，則m(ab2)n(ac2)m(bp2 )n(pc2)（mn）(ap2)梅內(nèi)勞斯定理：在abc中，若在bc、ca、ab或其延長線上被同一條直線截于點x、y、z，則(bx/xc)(cy/ya)(az/zb)1阿波羅尼斯（apo

5、llonius）圓一動點p與兩定點a、b的距離之比等于定比m:n，則點p的軌跡，是以定比m:n內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓，這個圓被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”。布拉美古塔（brahmagupta）定理：在圓內(nèi)接四邊形abcd中，acbd，自對角線的交點p向一邊作垂線，其延長線必平分對邊。廣勾股定理： 在任一三角形中， (1)銳角對邊的平方，等于兩夾邊之平方和，減去某夾邊和另一夾邊在此邊上的影射乘積的兩倍 (2)鈍角對邊的平方，等于兩夾邊的平方和，加上某夾邊與另一夾邊在此邊延長上的影射乘積的兩倍加法原理：做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類

6、辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有m(n)種不同的方法，那么完成這件事情共有m1+m2+m(n)種不同的方法。 比如說：從北京到上海有3種方法可以直接到達(dá)上海，1：火車k12：飛機(jī)k2 3：輪船k3，那么從北京-上海的方法n = k1+k2+k3 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一 步有m1種不同的方法，做第二步有m2不同的方法，做第n步有mn不同的方法.那么完成這件事共有 n=m1m2m3mn 種不同的方法.正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。 即a/sina=b/sinb=c/sinc=2r（2r在同一個三角形中是恒量，是此三角形外接圓的直徑）這一

7、定理對于任意三角形abc，都有 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r （r為三角形外接圓半徑）余弦定理：對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a, b, c 三角為a,b,c ，則滿足性質(zhì)：a2=b2+c2-2bccos a b2=a2+c2-2accos b c2=a2+b2-2abcos c cos c= (a2+b2-c2)/2ab cos b= (a2+c2-b2)/2ac cos a= (c2+b2-a2)/2bc解析幾何中的基本公式1、 兩點間距離：若，則 2、 平行線間距離：若 則： 注意點：x，y對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)相等

8、。3、 點到直線的距離：則p到l的距離為：4、 直線與圓錐曲線相交的弦長公式： 消y：，務(wù)必注意若l與曲線交于a 則：5、 若a，p（x，y）。p在直線ab上，且p分有向線段ab所成的比為， 則 ，特別地：=1時，p為ab中點且變形后：6、 若直線l1的斜率為k1，直線l2的斜率為k2，則l1到l2的角為適用范圍：k1，k2都存在且k1k21 ， 若l1與l2的夾角為，則，注意：（1）l1到l2的角，指從l1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到l2所成的角，范圍 l1到l2的夾角：指 l1、l2相交所成的銳角或直角。 （2）l1l2時，夾角、到角=。 （3）當(dāng)l1與l2中有一條不存在斜率時，畫圖，求到角或夾角。

9、7、 （1）傾斜角，；（2）；（3）直線l與平面；（4）l1與l2的夾角為，其中l(wèi)1/l2時夾角=0；（5）二面角；（6）l1到l2的角8、 直線的傾斜角與斜率k的關(guān)系a) 每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率。b) 若直線存在斜率k，而傾斜角為，則k=tan。 9、 直線l1與直線l2的的平行與垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2l1l2 k1k2=1 （2）若 若a1、a2、b1、b2都不為零 l1/l2； l1l2 a1a2+b1b2=0； l1與l2相交 l1與l2重合；注意：若a2或b2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與0的情況。10、 直線方程的五種形式名

10、稱 方程 注意點斜截式： y=kx+b 應(yīng)分斜率不存在 斜率存在點斜式： （1）斜率不存在： （2）斜率存在時為兩點式： 截距式： 其中l(wèi)交x軸于，交y軸于當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上，截距相等時應(yīng)分： （1）截距=0 設(shè)y=kx （2）截距= 設(shè) 即x+y=一般式： （其中a、b不同時為零）11、直線與圓的位置關(guān)系有三種若， 13、圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)（一）橢圓定義：若f1，f2是兩定點，p為動點，且 （為常數(shù)）則p點的軌跡是橢圓。定義：若f1為定點，l為定直線，動點p到f1的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e（0e1），則動點p的軌跡是雙曲線。（二）圖形： （三）性質(zhì) 方程： 定義域：； 值域為r；實軸長=，虛軸長=2b焦距：2c 準(zhǔn)線方程：焦半徑：，；注意：（1）圖中線段的幾何特征：， 頂點到準(zhǔn)線的距離：；焦點到準(zhǔn)線的距離：;兩準(zhǔn)線間的距離= （2）若雙曲線方程為漸近線方程： 若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為 若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上） （3）特別地當(dāng)離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為； （4）注意中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、和角結(jié)合起來。 二、拋物線 （一）