方向?qū)?shù)與梯度黑塞矩陣與泰勒公式

1、第十章第十章 多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 10.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù) 10.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分 10.3 多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 10.4 方向?qū)?shù)、梯度及泰勒公式方向?qū)?shù)、梯度及泰勒公式 10.5 多元函數(shù)的極值與條件極值多元函數(shù)的極值與條件極值10.4.1 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)10.4.2 方向?qū)?shù)與梯度的性質(zhì)及應(yīng)用方向?qū)?shù)與梯度的性質(zhì)及應(yīng)用10.4.3 黑塞矩陣與泰勒公式黑塞矩陣與泰勒公式高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件10.4.1 方向?qū)?/p>

2、數(shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度1. 1. 方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)反映的是多元函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率.對于二元函數(shù) 有( , ),zf x y0000000(,)(,)(,)lim,xhf xh yf xyfxyh0000000(,)(,)(,)lim.yhf xyhf xyfxyh在幾何上，它們分別表示平面曲線 及0( , )zf x yyy0( , )zf x yxx在點(diǎn) 處的切線的斜率.00(,)xy高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件(x0, y0) 處沿某指定方向的變化率.下面我們來考慮二元函數(shù) 在點(diǎn) ( , )zf x yuhq定義定義 若函數(shù)( , )zf

3、 x y0limuhzh00(,)ud f xy22()() ,hxy cos,xh cosyh00000(,)(,)limhf xx yyf xyh在點(diǎn) 00(,)p xy處沿方向 u (方向角為,) 存在下列極限: 記作 00(,)p xy則稱為函數(shù)在點(diǎn) p 處沿方向 u 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).00(,)ud f xy高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件s方向?qū)?shù)的幾何意義方向?qū)?shù)的幾何意義hpqpquc表示曲線c 在 點(diǎn)處的切線的斜率. 00(,)ud f xyp00(,)ud f xyfx特別特別: 當(dāng) u 與 x 軸同向0,2時 有 當(dāng) u 與 x 軸反向,2 時有

4、00(,).ud fyxxf 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件000000(,)(,)cos(,)cosuxyd f xyfxyfxy那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向向量 u 的方向?qū)?shù)都存在，設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處可微， ( , )zf x y000(,)p xy定理定理10.4.1且有其中 為向量 u 的方向余弦.cos ,cos因函數(shù) 在點(diǎn) 處可微，則 ( , )zf x y000(,)p xy證明證明00000000(,)(,)(,)(,)xyf xx yyf xyfxyxfxyy 22oxy 2. 方向?qū)?shù)的計(jì)算方向?qū)?shù)的計(jì)算高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班

5、教學(xué)課件000000(,)(,)cos(,)cos .uxyd f xyfxyfxy這就證明了方向?qū)?shù)存在，且00000(cos ,cos)(,)limhf xhyhf xyh0000(,)cos(,)cosxyfxyfxy( , )coscos .uffd f x yxy一般地，當(dāng)函數(shù) 可微時，有( , )zf x ycos ,cos,xhyh 且 所以22,xyh 當(dāng)自變量從點(diǎn) 沿u 方向移動時，000(,)p xy高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件三元函數(shù) 在點(diǎn) 沿方向 u (方向角為 )的方向?qū)?shù)定義為 ( , , )f x y z000(,)p xyz, 000

6、(,)ud f xyz0000000(,)(,)limhf xx yy zzf xyzh000000000( ,)cos( ,)cos( ,)cos .xyzf x y zf x y zf x y z定理定理10.4.1的逆命題不成立的逆命題不成立.2222222,0,( , )0,0.xyxyxyf x yxyxy f (x, y)在原點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在在原點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在, 但不可微但不可微.高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件000000(,)(,)(,)(1)()|;uxyuxyuxydfgd fd g方向?qū)?shù)的性質(zhì)方向?qū)?shù)的性質(zhì)000000(,)

7、(,)(,)(2)()|;uxyuxyuxydf gg d ff d g00000000(,)(,)(,)2(,)|(3)()|;|uxyuxyuxyxyg d ff d gfdgg高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例1. 求函數(shù) 在點(diǎn) 沿方向2( , )cos()yf x yxexy(1,0)34uij的方向?qū)?shù).解：解：2sin(),yxfeyxy 22sin()yyfxexxy (1,0)1,xf (1,0)2,yf 又 的方向余弦為u2233cos53( 4) 2244cos53( 4) 故(1,0)(1,0)cos(1,0)cosuxyd fff3412155

8、 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例2. 設(shè)是曲面n在點(diǎn) p(1, 1, 1 )處指向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而pxu,148pyu14pzu(1,1,1) ud u同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向?qū)?shù).pzyx)2,6,4(1467111143826141pyxzx22866zyxu2286在點(diǎn)p 處沿求函數(shù)nn故高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件3. 梯度向量的定義梯度向量的定義因?yàn)閠( , )( , ),( , ) (cos ,cos)uxyd f x yfx yfx y(

9、,)uffxye(,)ufffxyze t( , , )(,) (cos ,cos,cos )ufffd f x y zxyz新向量新向量g高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件( , , )f x y z ( , ),fffff x yijxyxy zfyfxf,kzfjyfixf同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxp在點(diǎn)處的梯度 說明說明: 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.稱為函數(shù) f (p) 在點(diǎn) p 處的梯度 (gradient),g向量( , )( , )uud f x yf x ye ( , , )( , , )uud f x y zf x y ze 記

10、作 grad f 或 f , 即nabla 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例3. 求函數(shù) 在點(diǎn) 處的梯度以及2( , )2f x yx yy(2, 1)函數(shù)在該點(diǎn)處沿方向 的方向?qū)?shù).3uij 解：解：( , )2,xf x yxy2( , )2,yfx yx(2, 1)4,xf(2, 1)6yf故(2, 1)46fij 又131010ueij故(2, 1)(2, 1)uud ffe 13( 4,6),1010 1410高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件如果采用向量的記號，我們?nèi)菀捉o出一般 n 元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度的定義. 0( )( )li

11、mhfhfd fhuxuxx設(shè) f (x) 是 n 元函數(shù)(通常我們只考慮二元函數(shù)和三元u 是 n 元向量, u0 是 u 對應(yīng)的單位向量,函數(shù)的情況)，則 f (x) 在點(diǎn) x 處沿 u 的方向?qū)?shù)和梯度分別定義為12( ),nffffxxxx0( )( )d ff uxxu高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件10.4.2 方向?qū)?shù)與梯度的性質(zhì)及應(yīng)用方向?qū)?shù)與梯度的性質(zhì)及應(yīng)用1. 函數(shù)的最速上升方向與最速下降方向函數(shù)的最速上升方向與最速下降方向n0,nx0(0, )00()(),ffxdx(0, ),定義定義10.4.1設(shè) f (x) 是 上的連續(xù)函數(shù)，d 是 n 維非零

12、向量，如果存在，使得對于一切，恒有則稱 d 為函數(shù) f 在 x0 處的上升方向上升方向;恒有如果對于00()(),ffxdx則稱 d 為函數(shù) f 在 x0 處的下降方向下降方向.高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件0()0,d fux定理定理10.4.2設(shè) f (x) 在點(diǎn) x0 處可微, u 是一個 n 維非零向量，如果個上升方向；的一個下降方向則u 是f (x) 在點(diǎn) x0 處的一0()0,d fux如果則 u 是f (x) 在點(diǎn) x0 處定理說明定理說明:方向?qū)?shù)的符號決定函數(shù)的升降方向?qū)?shù)的符號決定函數(shù)的升降.高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件

13、結(jié)論結(jié)論1梯度方向是函數(shù)值上升最快的方向(最速上升方向),負(fù)梯度方向是而函數(shù)值下降最快的方向(最速下降方向)000000()()()()d ffff uxxuxux000().()ff成立xux沿梯度方向,方向?qū)?shù)達(dá)到最大值0() .fx問題：問題：函數(shù)值沿什么方向上升最快函數(shù)值沿什么方向上升最快? 沿什么方向下降最快？沿什么方向下降最快？ 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件若函數(shù) 在點(diǎn) 處取最大值，則函數(shù) 沿任何( )f x x0 x x( )f x x方向都不可能上升，于是由定理定理10.4.2知0()0ud fx x特別地0()0()0fdfx xx x另一方面00

14、()000()()()0()ffdfffx xx xx xx xx x因此0()0()0fdfx xx x0()0fx x即函數(shù)在最大值點(diǎn) 處的梯度為零向量；0 x x同理可得函數(shù)在最小值點(diǎn)處的梯度向量也為零向量.結(jié)論結(jié)論2函數(shù)在最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)處的梯度為零向量 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件設(shè) 在 處取最大（?。┲?，則( , )zf x y00(,)xy00(,)0f xy即0000(,)0,(,)0 xyfx yfx y類似地，若三元函數(shù) 在 處取最( , , )uf x y z000(,)xy z大（?。┲?，則000000(,)0,(,)0,(,)0 xyzf

15、xyfxyfxy高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例4. 設(shè)一座山的高度由函數(shù) 給出, 如2215 32zxy果登山者在山坡的點(diǎn) 處，此時登山者往何方(1, 2,4)p向攀登時坡度最陡？解：解：坡度最陡的方向?yàn)楦叨群瘮?shù)變化最快的方向，即求使高度函數(shù)在點(diǎn) 處的方向?qū)?shù)最大的方向 .pu(1, 2)(1, 2),zzfxy因( , )( , )uud f x yf x ye( , ) cosf x y 為梯度與 的夾角,u所以( , )ud f x y最大0即沿梯度方向函數(shù)上升最快. 又因( 6,8) 所以在點(diǎn) 處沿向量 方向攀登時坡度最陡.p( 6,8)u p221532

16、zxyuf高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件22( , )122f x yxyx 例例5求函數(shù)在點(diǎn) (2, 1) 處函數(shù)值下降最快的方向0()0,fxd0()0,fxdn0,nx定理定理10.4.3設(shè) f (x) 是 上的連續(xù)函數(shù)，d 是 n 維非零向量，如果則d 是f (x) 在點(diǎn) x0 處的一個上升方向；如果則d 是f (x) 在點(diǎn) x0 處的一個下降方向.d 與f (x0) 成銳角d 與f (x0) 成鈍角解：解：( , )( 22, 4 )f x yxy (2,1)( 2, 4),f (2,1)(2,4)f所以函數(shù)在點(diǎn) 處的最速下降方向?yàn)?2,1)2,4 .高等數(shù)

17、學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件2. 梯度向量是二元函數(shù)等值線或三元函數(shù)等值面的法梯度向量是二元函數(shù)等值線或三元函數(shù)等值面的法線方向向量線方向向量 設(shè) f (x) 是 n 元可微函數(shù),0,nx0(),fkx:( )sfkx等值面01122,:( ),( ),( ).nncs xc xx txx txx t12( ),( ),( ),nf x tx tx tk1212( )( )( )0nnfffx tx tx txxx010200()( ),( ),( )nx tx tx tt x00()()0fxt x高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件000000(

18、,)( ,),( ,)xyf x yf x yf x y00( , )(,)f x yf xy對于對于 n = 2 的情形的情形:是函數(shù) f (x, y)過點(diǎn)(x0, y0)的等值線在該點(diǎn)處, 它與等值線的切線垂直.在點(diǎn)(x0, y0)處的一個法線方向向量.等值線n=2xyo00()x yt00()f x y00()x y結(jié)論結(jié)論:0()fx與等值面在點(diǎn)x0 處的切平面垂直，所以是等值面s在點(diǎn)x0 處的一個法線方向向量.0()fx高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件000000000000( ,)( ,),( ,),( ,)xyzf x y zf x y zf x y zf

19、 x y z000( , , )(,)f x y zf xy z對于對于 n = 3 的情形的情形:是函數(shù) f (x, y,z) 的等值面在點(diǎn) ( x0, y0, z0 ) 處的一個法線方向向量. 在該點(diǎn)處, 它與等值線的切平面垂直.000(,)f xy z000(,)t xy zoxyz等值面等值面000( , )x y z3n 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件10.4.3 黑賽矩陣與泰勒公式黑賽矩陣與泰勒公式1. 黑賽矩陣黑賽矩陣 設(shè) n 元函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x 處對于自變量的各分量的二階2( )( ,1,2, )ijfi jnx x x連續(xù)， 偏導(dǎo)數(shù)2222

20、1121222222122222212( )nnnnnfffxxxxxffffxxxxxfffxxxxx hx二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或或黑黑塞塞矩矩陣陣2n 222112222212ffxx xffx xx h高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例6. 解：解：計(jì)算函數(shù) 的梯度與黑塞42( , )(1)f x yxxyy矩陣, 并求 以及2(0,0),(0,0)ff2(0, 1),(0, 1).ff因34,xfxy 2(1)yfxy ，則3( , ),(4,2(1)xyf x yffxy xy又212,xxfx 1,xyyxff2yyf 則2( , )xxxyyxyyfff x

21、 yff212112x所以(0,0)(0,2),f(0, 1)( 1,0)f 201(0,0),12f201(0, 1)12f高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例7. 解：解：設(shè) 皆為 n 維行向量，b 為常數(shù)，求 n 維線性, a x函數(shù) 在任意點(diǎn) x 處的梯度和黑塞矩陣.t( )fbxax1212( ,),( ,)nna aax xxax設(shè)，于是121( )( ,)nnkkkff x xxa xbx 因( )(1,2, ),kkfaknxx 2( )0 ( ,1,2, )ijfi jnx xx 所以12( )( ,),nfa aaxa 2( )f0 x 高等數(shù)學(xué)分級

22、教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件當(dāng) 時，二維線性函數(shù)2n 121 122( ,)f x xa xa xb 寫成向量形式是112122( ,)( ,)xf x xa abx 于是1212( ,)( ,)f x xa a 21200( ,)00f x x高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例8. 解：解：設(shè) q 為 n 階對稱矩陣， 皆為n 維行向量，c 為, b x常數(shù)，求 n 維二次函數(shù) 在任意tt1( )2fcxqxbx x點(diǎn) 處的梯度和黑塞矩陣.x設(shè)1212(),( ,),( ,)ijn nnnqx xxb bbq xb則121111( ,)2nnnnij

23、ijkkijkf x xxq x xb xc于是 1t( )( )( )nfxffxxxx 1111njjjnnjjnjq xbq xb xqb 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件 1t( )( )( )nfxffxxxx 1111njjjnnjjnjq xbq xb xqb 又因2( )( ,1,2, )ijijfqi jnx x x所以1112121222212( )nnnnnnqqqqqqfqqqqx高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件寫出二維二次函數(shù)的梯度和黑塞矩陣 .221211 112 122221 1221( ,)(2)2f x xq x

24、q x xq xb xb xc 1111121212121222221( ,),2xxqqf x xx xb bcqqxx 11121221212122,( ,)qqx xb bqqf x x 11121221222( ,)qqf xqxq 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件2. 泰勒公式泰勒公式若函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有一( , )zf x y00(,)xy階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且 是這鄰域內(nèi)的一點(diǎn),00(,)xh yk則有近似公式：00000000(,)(,)(,)(,)xyf xh ykf xyhfxykfxy如果要使這個函數(shù)有更高的精度, 先須討論二元函數(shù)的泰勒公式

25、. 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(一元函數(shù))(xf的泰勒公式:高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件記號 (設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm0000(,)(,)xyh fxyk fxy表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(c000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 表示表示高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件定理定理10.

26、4.400( , )(,)zf x yxy設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有直到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(00kyhx為此鄰域內(nèi)任 一點(diǎn), 則有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhrnyxnn) 10(nr其中 稱為f 在點(diǎn)(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式階泰勒公式,稱為其拉格拉格朗日型余項(xiàng)朗日型余項(xiàng) .t00(,)( , )f xyh k2t001( , )(,)( , )2!h kf xyh k高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)

27、課件證證: 令),10(),()(00tktyhtxft則 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件),(c)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t

28、的麥克勞林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件),()(001! ) 1(1kyhxfkhrnyxnn說明說明:(1) 余項(xiàng)估計(jì)式. 因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 在某閉鄰域其絕對值必有上界 m , 22,hk令則有1)(! ) 1(nnkhnmrsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnm20,1max(1)xx利用11)2(! ) 1(nnnm)(no2高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)

29、課件(2) 當(dāng) n = 0 時, 得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域d 上的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零, ( , ).f x y 常數(shù)由中值公式可知在該區(qū)域上 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例9. 求函數(shù)( , )ln(1)(0,0)f x yxy在點(diǎn)解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三階泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)a2班教學(xué)課件班教學(xué)課件)0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(c333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh(0,0)0,f又,hx ky將代入三階泰勒公式得)1ln(yxyx2)(21yx 33)(31ryx其中),()(43khfkhryx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(高等數(shù)學(xué)