材料力學(xué)5梁的彎曲應(yīng)力

1、15 5 純彎曲純彎曲1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力q 剪應(yīng)力t t彎矩m 正應(yīng)力s s平面彎曲時橫截面s 純彎曲梁(橫截面上只有m而無q的情況)平面彎曲時橫截面t 橫力彎曲(橫截面上既有q又有m的情況)2、研究方法、研究方法縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面p1p2例如： 某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如ab段。ppaaab純彎曲純彎曲(pure bending):5laafffff圖sf(+)(-)-ffa(+)m-圖圖純彎曲純彎曲梁彎曲變形時，梁彎曲變形時，橫截面上只有彎矩而無剪橫截面上只有彎矩而無剪力（力（ ）。）。0, 0sfm

2、0, 0sfm橫力彎曲橫力彎曲梁彎曲變形梁彎曲變形時，橫截面上既有彎矩又時，橫截面上既有彎矩又有剪力（有剪力（ ）。）。純彎曲純彎曲橫力橫力彎曲彎曲橫力橫力彎曲彎曲例例:火車輪軸火車輪軸6m1 1、研究對象：、研究對象：等直細長對稱截面梁等直細長對稱截面梁2 2、前提、前提: :(a)(a)小變形小變形在彈性變形范圍內(nèi)，在彈性變形范圍內(nèi)，(b)(b)滿足平面彎曲條件，滿足平面彎曲條件， （c c）純彎曲。）純彎曲。3 3、實驗觀察、實驗觀察: :mm凹邊縮短凹邊縮短凸邊伸長凸邊伸長長度保持長度保持不變的縱不變的縱向纖維向纖維橫截面上橫截面上只有正應(yīng)只有正應(yīng)力無剪應(yīng)力無剪應(yīng)力力縱向纖維間無擠壓作

3、用縱向纖維間無擠壓作用 7中性層中性層桿件彎曲變形時，其縱向線段既不伸長又不桿件彎曲變形時，其縱向線段既不伸長又不 縮短的曲面?？s短的曲面。中性軸中性軸中性層與橫截面的交線。中性層與橫截面的交線。4 4、平面截面假設(shè)、平面截面假設(shè)橫截面變形后保持為平面，只是橫截面變形后保持為平面，只是 繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度。繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度。中性層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸8（1 1）變形分布規(guī)律）變形分布規(guī)律mmnndx1o2oaby變形后變形后y任意縱向纖維至任意縱向纖維至中性層的距離中性層的距離 中性層中性層 的曲率半徑，的曲率半徑，21oo縱向纖維縱向纖維ab:變形前變形前 dxooa

4、b21d變形后變形后 ba dy)( ob a dy5-2 梁的彎曲正應(yīng)力梁的彎曲正應(yīng)力oo曲率中心，曲率中心，9所以縱向纖維所以縱向纖維ab的應(yīng)變?yōu)榈膽?yīng)變?yōu)?ababdxddy)(dydy橫截面上距中性軸為橫截面上距中性軸為y y處的軸向變形規(guī)律。處的軸向變形規(guī)律。曲率曲率),(1);(則則曲率曲率),(1);(則則.,1yc當(dāng)當(dāng)；時0,0y.,maxmax時yy與實驗結(jié)果相符。與實驗結(jié)果相符。(a)10（2 2）應(yīng)力分布規(guī)律）應(yīng)力分布規(guī)律在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)用胡克定律在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)用胡克定律(b)seye對一定材料，對一定材料， e=c； 對一定截面，對一定截面，.1cys橫截面上某點處

5、的應(yīng)力與此點距中性軸的距離橫截面上某點處的應(yīng)力與此點距中性軸的距離y y成比例。成比例。當(dāng)當(dāng)；時0,0sy.,maxmaxss時yy與實驗結(jié)果相符。與實驗結(jié)果相符。應(yīng)力為零的點的連線。應(yīng)力為零的點的連線。m11（3 3）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應(yīng)力計算公式）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應(yīng)力計算公式z(中性軸中性軸)y(對稱軸對稱軸)xmmdadass由由 得得0 xfdasa=0將將(b)(b)式代入，得式代入，得0adaye0aydae0zse0zs因此因此z z軸通過截面形心軸通過截面形心，即，即中性軸通過形心，并垂直于載荷作用面中性軸通過形心，并垂直于載荷作用面。(c)12考

6、慮平衡條件考慮平衡條件mmzydamaz)(sadaye2mdayea2miezzizi為截面對中性軸的慣性矩。為截面對中性軸的慣性矩。(e)zyxmdadass13可得可得撓曲線的曲率方程撓曲線的曲率方程：zeim1 為常數(shù)，撓曲線為常數(shù)，撓曲線是一條圓弧線是一條圓弧線zei抗彎剛度抗彎剛度。正應(yīng)力的計算公式為正應(yīng)力的計算公式為zimys橫截面上最大正應(yīng)力為橫截面上最大正應(yīng)力為zimymaxmaxsmax/ yimzzwmmaxyiwzz截面的截面的抗彎截面模量，抗彎截面模量，反映了截面反映了截面的幾何形狀、尺寸對強度的影響。的幾何形狀、尺寸對強度的影響。14簡單截面的慣性矩簡單截面的慣性矩

7、12332232222bhybbdyydayihhazhh 矩形截面矩形截面園形截面園形截面15矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：zz 豎放：豎放：,1213bhiz,1213hbiz261bhwzbhhb261hbwz平放：平放：若若hb, 則則 。zzww 16zd,644diz,323dwzdzd)(6444ddiz)1 (6444d)(dd)1 (3243dwz17 注意注意：（1 1）要特別注意）要特別注意正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律的規(guī)律，在中性軸上為零，而，在中性軸上為零，而在梁的

8、上下邊緣處正應(yīng)力在梁的上下邊緣處正應(yīng)力最大最大。（3 3）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣性矩）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣性矩 的計算式。的計算式。（2 2）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，正應(yīng)力的正正應(yīng)力的正 負號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負及梁的變形狀態(tài)來負號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負及梁的變形狀態(tài)來 確定確定。18 mnqlmmax3000216000222 圖圖5-8所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長l=1m，均布載，均布載荷集度荷集度q=6kn/m；梁由；梁由10號槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的號槽鋼制成

9、，由型鋼表查得橫截面的慣性矩慣性矩iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。（1）作彎矩圖，）作彎矩圖， 求最大彎矩求最大彎矩19 因危險截面上的彎因危險截面上的彎矩為負，故截面上緣受矩為負，故截面上緣受最大拉應(yīng)力，其值為最大拉應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為mpa385pa103850328. 0106 .253000682maxmax yimzcs s（2）求最大應(yīng)力）求最大應(yīng)力mpa178pa101780152. 0106 .253000681maxmax yimzts s20bal = 3mq=

10、60kn/myxc1mmxknql5 .678/2( )30zy180120k1.c 截面上k點正應(yīng)力2.c 截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力4. c 截面的曲率半徑(已知e=200gpa)( )( )fsx90kn90knknmm605 . 0160190c 1. 求支反力knfay90 knfby90 453z10832. 512mbhi mpa7 .6110832. 510)302180(1060533zkck iyms s（壓應(yīng)力）21bal = 3mq=60kn/myxc1mmxknmql5 .678/2( )30zy180120k( )( )fsx90kn90kn2. c 截面

11、最大正應(yīng)力c 截面彎矩knmm60c c 截面慣性矩453z10832. 512mbhi mpa55.9210832. 51021801060533zmaxmax iymccs s22bal = 3mq=60kn/myxc1mmxknmql5 .678/2( )30zy180120k( )( )fsx90kn90kn3. 全梁最大正應(yīng)力最大彎矩knmm5 .67max 截面慣性矩45310832. 512mbhiz mpa17.10410832. 5102180105 .67533zmaxmaxmax iyms s23bal = 3mq=60kn/myxc1mmxknmql5 .678/2(

12、)30zy180120k( )( )fsx90kn90kn4. c 截面曲率半徑c 截面彎矩knmm60c c 截面慣性矩453z10832. 512mbhi m4 .194106010832. 510200359czc mei z1eim(已知e=200gpa)24 梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力 梁的危險截面梁的危險截面梁的危險截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上梁的危險截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上危險截面位于梁中部危險截面位于梁中部危險截面位于梁根部危險截面位于梁根部 梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險截面上離中性軸最遠處險截面上離中性軸最遠處zmaxmax

13、wms5-3 梁彎曲時的強度條件梁彎曲時的強度條件25 彎曲正應(yīng)力強度條件：彎曲正應(yīng)力強度條件：maxmaxsszwm可解決三方面問題：可解決三方面問題：（1 1）強度校核強度校核，即已知，即已知 檢驗梁是否安全；檢驗梁是否安全；, ,maxzwms（2 2）設(shè)計截面設(shè)計截面，即已知，即已知 可由可由 確定確定 截面的尺寸；截面的尺寸；, ,maxsmmaxsmwz（3 3）求許可載荷求許可載荷，即已知，即已知 可由可由 確定。確定。, ,szwmaxszwmmmax梁內(nèi)最大彎矩梁內(nèi)最大彎矩wz危險截面抗彎截面模量危險截面抗彎截面模量材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力26 脆性材料脆性材料抗拉和抗壓

14、性能不同，二方面都要考慮抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮ttssmax,ccssmax, 變截面梁要綜合考慮變截面梁要綜合考慮 與與mzi 注意注意：27作彎矩圖，尋找需要校核的截面作彎矩圖，尋找需要校核的截面ccttssssmax,max,要同時滿足要同時滿足分析：分析： 非對稱截面，要尋找中性軸位置非對稱截面，要尋找中性軸位置 t t型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。試校核梁的強度。例題 mpa,160,mpa30ctss28mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面對中性軸）求截面對中性軸z z的慣性矩的慣性矩46

15、2323m1064. 728120201212020422080122080zi （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：29（4 4）b b截面校核截面校核 ttssmpa2 .27pa102 .271064. 710521046633max, ccssmpa1 .46pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖kn.m5 .2kn.m430（5 5）c c截面要不要校核？截面要不要校核？ ttssmpa8 .28pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4 4）b b截面校核截面校核（3 3）作彎矩圖）

16、作彎矩圖 ttssmpa2 .27max, ccssmpa1 .46max,kn.m5 .2kn.m4315-4 彎曲時的切應(yīng)力彎曲時的切應(yīng)力1.1.矩形截面梁矩形截面梁2.2.工字形截面梁工字形截面梁1smaxdhf:腹板afs23maxt32afs34maxtafs2maxt3. 3. 圓形、圓環(huán)形截面梁圓形、圓環(huán)形截面梁33 ttmax梁的剪應(yīng)力強度條件是：梁的剪應(yīng)力強度條件是：下列情況須進行剪應(yīng)力強度校核：下列情況須進行剪應(yīng)力強度校核： 若梁較短或載荷很靠近支座，梁的最大彎矩若梁較短或載荷很靠近支座，梁的最大彎矩mmax可能可能很小而最大剪力很小而最大剪力fs,max卻相對較大，如果據(jù)

17、此時的卻相對較大，如果據(jù)此時的mmax選擇截面尺寸選擇截面尺寸,就不一定能滿足剪應(yīng)力強度條件。就不一定能滿足剪應(yīng)力強度條件。 對于一些組合截面梁，如其腹板的寬度對于一些組合截面梁，如其腹板的寬度b相對于截面高相對于截面高度很小時，橫截面上可能產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力。度很小時，橫截面上可能產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力。1. 對于木梁，它在順紋方向的抗剪能力較差，而由剪應(yīng)力對于木梁，它在順紋方向的抗剪能力較差，而由剪應(yīng)力互等定理，在中性層上也同時有互等定理，在中性層上也同時有t tmax作用，因而可能沿作用，因而可能沿中性層發(fā)生剪切破壞，所以需要校核其剪應(yīng)力強度條件。中性層發(fā)生剪切破壞，所以需要校核其剪應(yīng)力強度條件

18、。34解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7mpa，t=0. 9 m pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強度。n54002336002maxqlqnm4050833600822maxqlmq=3.6kn/mxm+82qlabl=3mq2ql2ql+x35求最大應(yīng)力并校核強度應(yīng)力之比7 .1632maxmaxmaxhlqawmztsq=3.6kn/mxm+82qlq2ql2ql+x7mpa6.25mpa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhmwmz0.9mpa0.375mpa 18. 012. 054005 .

19、 15 . 1maxmaxttaq365-6 梁的優(yōu)化設(shè)計梁的優(yōu)化設(shè)計彎曲正應(yīng)力強度條件：彎曲正應(yīng)力強度條件：maxmaxsszwm在在s s一定時，提高彎曲強度的主要途徑：一定時，提高彎曲強度的主要途徑：max,mwz（一）、選擇合理截面（一）、選擇合理截面（1 1）矩形截面中性軸附近的材）矩形截面中性軸附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：z37（2 2）為降低重量，可在中性軸附近開孔。）為降低重量，可在中性軸附近開孔。382、根據(jù)截面模量選擇：、根據(jù)截面模量選擇： 為了比較各種截面的合理性，以為了

20、比較各種截面的合理性，以 來衡量。來衡量。 越大，越大，截面越合理。截面越合理。awzawzawz截面形狀截面形狀矩形矩形圓形圓形槽鋼槽鋼工字鋼工字鋼0.167h0.125d(0.270.31)h (0.270.31)h(d=h)393、根據(jù)材料特性選擇：、根據(jù)材料特性選擇：塑性材料：塑性材料：,ss宜采用中性軸為對稱軸的截面。宜采用中性軸為對稱軸的截面。脆性材料：脆性材料：,ss宜采用中性軸為非對稱軸的截面，宜采用中性軸為非對稱軸的截面，例如例如t t字形截面：字形截面：ycz1y2y拉邊拉邊壓邊壓邊zzimyimy21maxmaxss21yyss即使最大拉、壓應(yīng)力同時達到許用應(yīng)力值。即使最大拉、壓應(yīng)力同時達到許用