微分中值定理最新課件

1、1 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 因為導(dǎo)數(shù)是函數(shù)隨自變量變化的瞬時變因為導(dǎo)數(shù)是函數(shù)隨自變量變化的瞬時變 所以可借助導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)所以可借助導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù). 但每一點但每一點要用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的全部性態(tài)要用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的全部性態(tài),還需架起新還需架起新的的“橋梁橋梁”.中值定理中值定理(mean value theorem)化率化率, 指導(dǎo)數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)所具有的一些重指導(dǎo)數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)所具有的一些重要性質(zhì)要性質(zhì),它們都與自變量區(qū)間內(nèi)部的某個它們都與自變量區(qū)間內(nèi)部的某個中間值有關(guān)中間值有關(guān).2RolleRolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值

2、定理小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)ChauchyChauchy中值定理中值定理3.1 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用推廣 泰勒公式(第三節(jié))3 本節(jié)的幾個定理都來源于下面的明顯的本節(jié)的幾個定理都來源于下面的明顯的AB在一條光滑的平面曲線段在一條光滑的平面曲線段AB上上,至少有至少有與連接此曲線兩端點的弦與連接此曲線兩端點的弦平行平行.幾何事實幾何事實:一點處的切線一點處的切線 連續(xù)的曲線弧、除端點外處處有不垂直連續(xù)的曲線弧、除端點外處處有不垂直于于x軸的切線軸的切線 .有水平的切線有水平的切線0)( fABxyO)(xfy 2 1 AB

3、abC)()(bfaf 4Rolle定理定理:)(滿滿足足若若函函數(shù)數(shù)xf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2);),(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間在開區(qū)間ba(3),()(bfaf 羅爾羅爾 Rolle,(法法)1652-1719 ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在開開區(qū)區(qū)間間ba使得使得. 0)( f如如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf一、羅爾一、羅爾(Rolle)定理定理5物理解釋物理解釋: :變速直線運動

4、在變速直線運動在折返點處折返點處,瞬時速瞬時速度等于零度等于零.幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點處的切線是在該點處的切線是點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC6Fermat引理引理 費馬費馬 Fermat,(法法) 1601-1665 有定義有定義,如果對如果對 ),(0 xUx 有有 )()(0 xfxf ),()(0 xfxf 或或. 0)(0 xf那么那么內(nèi)內(nèi)的某鄰域的某鄰域在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))()(00 xUxxf,)(0存在存在且且xf 證證, 0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx),()(),(00 xfxfxU

5、x 對對,0)()(000 xxxfxfxx時時，有有當當, 0)()(lim)( 0000 xxxfxfxfxx,0)()(0 xfxf,0)()(000 xxxfxfxx時時，有有當當. 0)()()(000 xfxfxf.證畢證畢 函數(shù)導(dǎo)數(shù)為函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的點的點也稱為也稱為駐點、穩(wěn)定駐點、穩(wěn)定點點或或臨界點臨界點。7Rolle定理定理:)(滿滿足足若若函函數(shù)數(shù)xf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2);),(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間在開區(qū)間ba(3),()(bfaf ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在開開區(qū)區(qū)間間ba使得使得. 0)( f證證.)(mMa 若若.,)(m

6、Mbaxf和和最最小小值值有有最最大大值值在在.)(Mxf 則則. 0)( xf得得),(ba )( f都都有有. 0.)(mMb 若若 所以最值不可能同時在端點取得所以最值不可能同時在端點取得.),(afM 設(shè)設(shè),),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在ba.)(Mf 使使,ba 有有),()( fxf 由由 Fermat引理引理,. 0)( f8(1) 定理條件不全具備定理條件不全具備, , 1,010,)(xxxxf1 ,1, |)( xxxf注注結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立. . Rolle定理定理:)(滿滿足足若若函函數(shù)數(shù)xf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2);),

7、(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間在開區(qū)間ba(3),()(bfaf ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在開開區(qū)區(qū)間間ba使得使得. 0)( f1xyO11 yxO1yxO 1 ,0,)( xxxf這三個條件只是充分條件，而非必要條件這三個條件只是充分條件，而非必要條件(2) 羅爾定理的結(jié)論是在開區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)羅爾定理的結(jié)論是在開區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)等等0的點的點,有的函數(shù)這樣的點可能不止一個有的函數(shù)這樣的點可能不止一個.9例例上上在在對函數(shù)對函數(shù)2 , 1,1074)(23 xxxxf證證 (1),2 , 1)(上上連連續(xù)續(xù)在在 xf0)1( f(2), 0)( xf方程方程),2 ,

8、1(2 x其中其中定理的假設(shè)條件滿足定理的假設(shè)條件滿足)2(f 結(jié)論正確結(jié)論正確有有實實根根即即07832 xx),374(311 x)374(312 x.符符合合要要求求驗證驗證Rolle定理的正確性定理的正確性.Rolle定理肯定了定理肯定了 的存在性的存在性, 一般沒必要知道一般沒必要知道究竟等于什么數(shù)究竟等于什么數(shù), 只要知道只要知道 存在即可存在即可. ,)2 , 1(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在 10例例.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf, 1)0( f且且 零點定理零點定理),

9、1 , 0(0 x即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.(1) 存在性存在性. 3)1( f. 0)(0 xf使使11,),1 , 0(011xxx 設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1 xf使使)(xf),(10之之間間在在至至少少存存在在一一個個xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但, 0 .為為唯唯一一實實根根(2) 唯一性唯一性使得使得)1 , 0( x對可導(dǎo)函數(shù)對可導(dǎo)函數(shù) f(x), f (x)=0的兩實根之間的兩實根之間,在方程在方程0)( xf 的一個實根的一個實根.Rolle定理還指出定理還指出,至少存在方程至少存在方程之間之間在在10, xx滿足滿足Rolle定理的條件

10、定理的條件.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx矛盾矛盾, ,故假設(shè)不真故假設(shè)不真! !12 練習練習 不求導(dǎo)數(shù)不求導(dǎo)數(shù) 判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x) (x 1)(x 2)(x 3)的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)有幾個實根數(shù)有幾個實根 以及其所在范圍以及其所在范圍 解解 f(1) f(2) f(3) 0 f(x)在在1 2 2 3上滿足上滿足Rolle定理的三個條件定理的三個條件 在在(1 2)內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 1 使使 f ( 1) 0 1是是 f (x)的的一個實根一個實根 在在(2 3)內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 2 使使f ( 2) 0 2也是也是f

11、(x)的的一個實根一個實根 f (x)是二次多項式是二次多項式 只能有兩個實根只能有兩個實根 分別在區(qū)間分別在區(qū)間(1 2)及及(2 3)內(nèi)內(nèi) 13 現(xiàn)在，微積分里面最著名的定理之一，就要登場了。只要該定理一出場，真可以讓一大堆定理頓時黯然失色。不錯，我們所說的不是別的，正是中值定理。你大概做夢也不會想到，大名鼎鼎的中值定理，不過只是樸實無華的羅爾定理轉(zhuǎn)個角度，歪斜一下而已。你在看羅爾定理時，若是把腦袋歪向一邊，看到的就是中值定理！140)( fxyO)(xfy 2 1 ABabC)()(bfaf ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNMRolle定理定理Lagrange中值定理中值定理1

12、5結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange (法法) 1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:)(滿滿足足若若函函數(shù)數(shù)xf(1)(2),),( 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得)()()(abfafbf ).()()( fabafbf 二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba;),(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間在開區(qū)間baMeal Value Theorem16證證作作輔助函數(shù)輔助函數(shù),)()()()(xabafbfxfxg 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點故故在在開開區(qū)區(qū)間間,

13、),( ba. 0)()()()( abafbffg 由此得由此得).()()()( fabafbf )()(1)(bafabfabag Lagrange中值公式中值公式.也也成成立立對對ab ,)(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間baxg內(nèi)內(nèi)開區(qū)間開區(qū)間),(ba且且)(bg 易知易知,可導(dǎo)可導(dǎo)微分中值定理微分中值定理17 微積分里有許多決定性的結(jié)果，都要依賴于微積分里有許多決定性的結(jié)果，都要依賴于中值定理來證明，這個定理的重要性，使之不愧中值定理來證明，這個定理的重要性，使之不愧為為“最有價值定理最有價值定理”（MVT）。）。Meal Value Theorem它表明了函數(shù)在兩點處的函數(shù)值它表

14、明了函數(shù)在兩點處的函數(shù)值)()()()( fabafbf 的單調(diào)性及某些等式與不等式的證明的單調(diào)性及某些等式與不等式的證明.在微分學(xué)中占有在微分學(xué)中占有極重要的地位極重要的地位.與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數(shù)尤其可利用它研究函數(shù)18ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋: :.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧物理解釋物理解釋: :19例例證明不等式證明不等式證證).(21xx ,arctan)(xxf 如果如果f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo)在某區(qū)間上可導(dǎo),要分析函

15、數(shù)要分析函數(shù)在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關(guān)系在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關(guān)系,通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理. 記記,arctanarctan1212xxxx ,21上上在在xx利用微分中值定理利用微分中值定理, 得得)(11arctanarctan12212xxxx ),(21xx , 1112 12arctanarctanxx ,12xx )()()(abfafbf ),(ba 20Lagrange公式公式可以寫成下面的各種形式可以寫成下面的各種形式:.).)()()()1(時也成立時也成立當當baabfafbf )()()2(xfxxfxxxfy )()3( .的的精精

16、確確表表達達式式增增量量 y 它表達了函數(shù)增量和某點的它表達了函數(shù)增量和某點的注注, 未未定定這這里里 ,)(xf .之之間間和和在在xxx 但是增量、但是增量、這是十分方便的這是十分方便的.由由(3)式看出式看出,).10( 導(dǎo)數(shù)之間的直接關(guān)系導(dǎo)數(shù)之間的直接關(guān)系.導(dǎo)數(shù)是個等式關(guān)系導(dǎo)數(shù)是個等式關(guān)系.Lagrange中值定理又稱中值定理又稱Lagrange中值公式又稱中值公式又稱 有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.21？以得出其它的什么結(jié)論由拉格朗日中值定理可 )( )()()(abfafbf)( )()()(1212xxfxfxf). ,( 0)( ) 1 (baxxf.)(

17、常數(shù)xf. | )(| )2(Mxf. | | )()(|00 xxMxfxf).0( 0)( )3( xf)( )(xf還有什么？還有什么？)(f ?22推論 1. I , )( , I , 0)( xCxfxxf則若推論 2. I )()( , I )()( xCxgxfxxgxf則若( C 為常數(shù) )推論 3則且條件 ), ,( , | )(| ,baxMxf| )()(|abMafbf理上滿足拉格朗日中值定在若 , )( baxf 用來證明一些重要的不等式推論 4, )0)( 0)( , I )( xfxfxf且可導(dǎo)在區(qū)間若減少上單調(diào)增加在區(qū)間則)( I )( xf 用來判斷函數(shù)的單調(diào)

18、性23例例).11(2arccosarcsin xxx證證明明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx000由由推論推論自證自證).,( x,2cotarcarctan xx說明說明欲證欲證, Ix 只需證在只需證在 上上且且,0Ix 使使.)(00Cxf I,)(0Cxf , 0)( xf24例例 試證明下列不等式試證明下列不等式) 0(,1) 2 (xxex)0(,lnln) 1 (baaababbab (1

19、)設(shè)設(shè). ,ln)(baxxxf則則f(x)在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日定理得由拉格朗日定理得)(,1lnlnbaabab由于由于ab111故故)0(,lnlnbaaababbab證證25在在(0, x)（或（或 (x, 0) ）內(nèi)可導(dǎo)）內(nèi)可導(dǎo). efxeex)(00即即xeex1( 介于介于0與與x之間之間).則則 f (t)在在0, x（或（或x, 0）上連續(xù)，）上連續(xù)，(2)令令f (t) = e t ,.1xex故. ) 0(,1xxex于是，于是，, 1, 0,0ex時;1xex故, 1, 0,0 xxeex時26內(nèi)滿足關(guān)系式在若證明： ) ,(

20、 )( xf.)( , )()( , 1)0(xexfxfxff則. ) ,( , 1)( xexfx即要證), ,( ,)()( xexfxx令Cx )( 證問題轉(zhuǎn)化為xxxeexfexfx2)()()( ), ,( , 0 x例例證證). ,( ,)( xCx, 1)0( f又 )()( Cexfxx1)0()0( 0ef故 . 1C從而從而. ) ,( ,)(xexfx27柯西柯西 Cauchy (法法)1789-1859Chauchy中值定理中值定理:)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2),),(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在開開區(qū)區(qū)間間ba,),(

21、 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得, 0)( xF且且)()()()()()( FfaFbFafbf 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理28),(, )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabFaFbF ),(,)()()()()()(baFfaFbFafbf 這兩個這兩個錯錯 ! !柯西中值定理柯西中值定理:)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2),),(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在開開區(qū)區(qū)間間ba,),( 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得, 0)( xF且且)()(

22、)()()()( FfaFbFafbf 柯西定理的下述證法對嗎柯西定理的下述證法對嗎 ? ?不一定相同不一定相同 29 前面對前面對Lagrange中值定理的證明中值定理的證明,構(gòu)造了構(gòu)造了xabafbfxfxg )()()()( 現(xiàn)在對現(xiàn)在對兩個兩個給定的函數(shù)給定的函數(shù) f(x)、F(x), 構(gòu)造構(gòu)造 )()(xfx 即可證明即可證明Cauchy定理定理.輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù))(xF)()(afbf )()(aFbF )()()()()()( FfaFbFafbf ),(ba )()()()()()(aFbFFfafbf 分析分析 上式寫成上式寫成xxF )( 用類比法用類比法)

23、,(),()()()(bafabafbf 30Cauchy定理的幾何意義定理的幾何意義 )()(tfytFx)()(ddtFtfxy 注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理:)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2),),(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在開開區(qū)區(qū)間間ba,),( 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得, 0)( xF且且)()()()()()( FfaFbFafbf 切線斜率切線斜率XYO)(bF)(aF)( F)(bf)(af31例例).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使

24、使至少存在一點至少存在一點證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證分析分析結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff .)()(2 xxxf,)(2xxF 設(shè)設(shè)上上在在1 , 0)(),(xFxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在,)1 , 0( 01)0()1( ff).0()1(2)(fff 2)(f 即即思考：思考：此例是否可推廣到一般有限區(qū)間上？此例是否可推廣到一般有限區(qū)間上？ 滿足柯西中值定理滿足柯西中值定理32四、小結(jié)四、小結(jié)羅爾羅爾定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾羅爾(Rolle)

25、定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值中值定理、柯西定理、柯西(Cauchy)中值定理之間的關(guān)系中值定理之間的關(guān)系:推廣推廣推廣推廣 這三個定理的條件這三個定理的條件都是充分條件都是充分條件,換句話說換句話說, 滿足條件滿足條件,不滿足條件不滿足條件, 定理可能成立定理可能成立, 不是必要條件不是必要條件.而而成立成立;不成立不成立.定理定理也可能也可能33應(yīng)用三個中值定理常解決下列問題應(yīng)用三個中值定理常解決下列問題(1) 驗證定理的正確性驗證定理的正確性;(2) 證明方程根的存在性證明方程根的存在性;(3) 引入輔助函數(shù)證明等式引入輔助函數(shù)證明等式;(4) 證明不等式證明不等式

26、;(5) 綜合運用中值定理綜合運用中值定理(幾次運用幾次運用). 關(guān)鍵關(guān)鍵 逆向思維逆向思維,找輔找輔助函數(shù)助函數(shù)344412 3412思考與練習思考與練習1. 填空題填空題1) 函數(shù)函數(shù)4)(xxf在區(qū)間在區(qū)間 1, 2 上滿足上滿足Lagrange定理定理條件條件, 則中值則中值._2) 設(shè)設(shè)有有個根個根 , 它們分別在區(qū)間它們分別在區(qū)間341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(上上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程方程352.2.滿滿足足條條件件設(shè)設(shè)常常數(shù)數(shù)nccc,10. 01210 ncccn試證：方程試證：方程010 nnxcxcc.)1 ,

27、 0(內(nèi)存在一個實根內(nèi)存在一個實根在在,0)(Cxf且在且在),0(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存證明至少存在一點在一點, ),0(使使.cot)()(ff3. 設(shè)設(shè). , 1 xeexx 時當證明：4.4.362.2.滿滿足足條條件件設(shè)設(shè)常常數(shù)數(shù)nccc,10. 01210 ncccn試證方程試證方程010 nnxcxcc.)1 , 0(內(nèi)存在一個實根內(nèi)存在一個實根在在分析分析注意到注意到:)12(1210 nnxncxcxcnnxcxcc 10)(xf37證證 設(shè)設(shè),12)(1210 nnxncxcxcxf,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在xf0)0( f,)1 , 0(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在)1(f 且且 Rolle定理定理,)1 , 0( 內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根在在, 0)( f使使得得即即010 nnccc .為為所所求求實實根根即即 x滿滿足足條條件件設(shè)設(shè)常常數(shù)數(shù)nccc,10. 01210 ncccn試證方程試證方程010 nnxcxcc.)1 , 0(內(nèi)內(nèi)存存在在一一個個實實根根在在38,0)(Cxf且在且在),0(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存證明至少存在一點在一點, ),0(使使.cot)()(ff提示提示: 由結(jié)論可知由結(jié)論可知, 只需證只需證0cos)