數(shù)列與極限最新課件

1、數(shù)列與極限最新第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的概念一、函數(shù)極限的概念二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)數(shù)列與極限最新1.自變量自變量 函數(shù)的極限函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過(guò)過(guò)程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.0 xx 數(shù)列與極限最新例1 設(shè)有函數(shù) 。定點(diǎn) 。不難看出，當(dāng) ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 無(wú)限接近于5 然而，譬如說(shuō)對(duì)于函數(shù) 12 xxf20 x0 xx 2, 12, 12xxxxg或者對(duì)于函數(shù) , 2, 12 xxxh不難看出，當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 或者 依然無(wú)限接近于常數(shù)50 xx xg xh 21

2、fxx 數(shù)列與極限最新例2 設(shè)有函數(shù) ，定點(diǎn) ，不難看出，當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值無(wú)限制地增大，不能無(wú)限接近于任何一個(gè)確定的常數(shù) 11 xxf10 x0 xx 11 xxf數(shù)列與極限最新定義1 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的一個(gè)去心領(lǐng)域 內(nèi)有定義。如果當(dāng) 時(shí)，函數(shù)值 無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A,那么就稱(chēng)當(dāng) 時(shí)函數(shù) 的極限是A，亦稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) 的極限是A，記為 xf0 x 0 xu0 xx xf0 xx xf xf0 x ;lim00 xxAxfAxfxx 或或者者如果這樣的常數(shù)A不存在，就稱(chēng)當(dāng) 時(shí)函數(shù) 沒(méi)有極限，亦稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) 處沒(méi)有極限，習(xí)慣上也常常表達(dá)為 不存在。0 xx xf xf0 x xfxx

3、0lim數(shù)列與極限最新定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的一個(gè)左領(lǐng)域內(nèi)有定義。的一個(gè)左領(lǐng)域內(nèi)有定義。如果當(dāng)如果當(dāng) 時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值 無(wú)限接近于某確定無(wú)限接近于某確定的常數(shù)的常數(shù)A,那么稱(chēng)為那么稱(chēng)為 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 的左極限是的左極限是A，亦稱(chēng)函數(shù)，亦稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的左極限是處的左極限是A,記為記為 xf0 x 0 xx xf 0 xx xf xf0 x AxfAxfxx 00lim或或者者數(shù)列與極限最新定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的一個(gè)右領(lǐng)域內(nèi)有定義。的一個(gè)右領(lǐng)域內(nèi)有定義。如果當(dāng)如果當(dāng) 時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值 無(wú)限接近于某確定無(wú)限接近于某確定的常數(shù)的常數(shù)A,那么稱(chēng)為那么稱(chēng)為

4、 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 的右極限是的右極限是A，亦稱(chēng)函數(shù)，亦稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的右極限是處的右極限是A,記為記為 xf0 x 0 xx xf 0 xx xf xf0 x AxfAxf0 xx0 或或者者lim左極限與右極限稱(chēng)為單側(cè)極限左極限與右極限稱(chēng)為單側(cè)極限.數(shù)列與極限最新2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo0,( ),2.xxyf xyA 當(dāng)當(dāng) 在在 的的去去心心 鄰鄰域域時(shí)時(shí) 函函數(shù)數(shù)圖圖形形完完全全落落在在以以直直線線為為中中心心線線寬寬為為的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf2. 與

5、與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 有有關(guān)關(guān).,越越小小越越好好后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 數(shù)列與極限最新000: lim( )()().xxf xAf xf xA 定定理理.lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxxyx11 o00limlimxxxxxx 左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim11x 數(shù)列與極限最新.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx播放播放2.自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限數(shù)列與極限最新問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x

6、的的過(guò)過(guò)程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A. 0sin)(,無(wú)無(wú)限限接接近近于于無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:數(shù)列與極限最新定義定義3 記為記為在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限是在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限是，并稱(chēng)函數(shù)，并稱(chēng)函數(shù)極限是極限是的的時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)，那么，就稱(chēng)當(dāng)，那么，就稱(chēng)當(dāng)?shù)某?shù)的常數(shù)無(wú)限接近于某個(gè)確定無(wú)限接近于某個(gè)確定時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值當(dāng)當(dāng)。如果。如果大于某一正數(shù)時(shí)有定義大于某一正數(shù)時(shí)有定義當(dāng)當(dāng)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),AxfAxfxAxfxxxf lim.xfxAfxA x 或或者者數(shù)列與極限最新類(lèi)似于函數(shù)類(lèi)似于函數(shù) 在

7、在 處的左、右極限，我們有處的左、右極限，我們有 xf0 x定義定義4 記為記為限是限是的極的極時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值，那么就稱(chēng)當(dāng)，那么就稱(chēng)當(dāng)常數(shù)常數(shù)無(wú)限接近于某個(gè)確定的無(wú)限接近于某個(gè)確定的時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值，如果當(dāng)，如果當(dāng)大于某一正數(shù)時(shí)有定義大于某一正數(shù)時(shí)有定義當(dāng)當(dāng)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),AxfxAxfxxxf lim;xfxAfxA x 或或者者數(shù)列與極限最新 記為記為限是限是的極的極時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值，那么就稱(chēng)當(dāng)，那么就稱(chēng)當(dāng)常數(shù)常數(shù)無(wú)限接近于某個(gè)確定的無(wú)限接近于某個(gè)確定的時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值，如果當(dāng)，如果當(dāng)小于某一負(fù)數(shù)時(shí)有定義小于某一負(fù)數(shù)時(shí)有定義當(dāng)當(dāng)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),AxfxAxfxxxf lim.

8、xfxAfxA x 或或者者定義類(lèi)似地，我們有定義類(lèi)似地，我們有 AxfAxfAxfxxx limlimlim且且的的充充分分必必要要條條件件是是命題命題2數(shù)列與極限最新例例6 1011lim0,0 xxfxxyyxx 由由于于當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)值值無(wú)無(wú)限限接接近近于于 ，所所以以有有以以及及直直線線是是曲曲線線的的一一條條水水平平 漸漸近近線線. 數(shù)列與極限最新:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng):.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Axfx )(lim2.另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定理定

9、理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且數(shù)列與極限最新xxysin 3.幾何解釋幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXx A數(shù)列與極限最新xxysin 例例1. 0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0sin x1 X1 , ,0 ,1 X取取時(shí)恒有時(shí)恒有則當(dāng)則當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如果果定定義義xfycycxfx 數(shù)列與極限最新二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函

10、數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定定理理 若若在在某某個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在過(guò)過(guò)程程的的一一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)刻刻, ,在在此此時(shí)時(shí)刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.數(shù)列與極限最新推論推論0000lim( ), lim( ),0,(, ),( )( ).xxxxf xAg xBABxU xf xg x 設(shè)設(shè)且且則則有有3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) )0000lim( ), lim( ).0,(, ),( )( ),.xxxxf xAg xBxU xf xg xAB 設(shè)設(shè)若若有有則則數(shù)列與極限最新000lim( ),0(0),0,(, ),( )0( )0).xxf xAAAxU xf xf x 若若且且或或則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)或或定理定